अपेक्षाओं में सदस्यता संकेतन

माप सिद्धांत के ढांचे में सशर्त अपेक्षाओं में सबस्क्रिप्ट नोटेशन का सटीक अर्थ क्या है ? ये सदस्यता सशर्त अपेक्षा की परिभाषा में प्रकट नहीं होती हैं, लेकिन हम विकिपीडिया के इस पृष्ठ में उदाहरण के लिए देख सकते हैं । (ध्यान दें कि यह हमेशा ऐसा नहीं होता था, कुछ महीने पहले वही पेज )। $\mathbb{E}_X[f(X)]$

उदाहरण के लिए और साथ का अर्थ क्या होना चाहिए ? $\mathbb{E}_X[X+Y]$ $X\sim\mathcal{N}(0,1)$ $Y=X+1$

conditional-expectation notation

— एमिल
स्रोत

कोई संदेह नहीं है कि कोई व्यक्ति औपचारिक परिभाषाओं के साथ झंकार करेगा, अनौपचारिक रूप से, सभी उम्मीदें कुछ (संभवत: बहुभिन्नरूपी) यादृच्छिक चर के संबंध में (/ उम्मीद के वितरण) पर उम्मीदें हैं, चाहे वह स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट या छोड़ दिया गया हो। कई मामलों में यह स्पष्ट है ( का अर्थ है के बजाय )। दूसरी बार, भेद करना आवश्यक है; उदाहरण के लिए कुल विचरण के नियम पर विचार करें: ।

E (X)

$\text{E}(X)$

E_{X} (X)

$\text{E}_X(X)$

E_{W} (X)

$\text{E}_W(X)$

Var [Y] = E_{X} [Var [Y ∣ X]] + {Var}_{X} [E [Y ∣ X]]

$\text{Var}[Y] = \text{E}_X\left[\text{Var}[Y\mid X]\right] + \text{Var}_X\left[\text{E}[Y\mid X]\right]$

— Glen_b

@Glen_b कुल विचरण के कानून में निर्दिष्ट करना वास्तव में आवश्यक है? जैसा कि , कुछ , यह स्पष्ट नहीं है कि ऊपर है ?

E [Y | X] = f (X)

$E[Y|X]=f(X)$

f

$f$

Var [E [Y | X]]

$\text{Var}[E[Y|X]]$

X

$X$

— थॉमस अहले

@ThomasAhle आप काफी सही हैं - "आवश्यक" उस उदाहरण के लिए बहुत मजबूत शब्द था। कड़ाई से बोलते हुए यह स्पष्ट होना चाहिए, अक्सर इसके साथ काम करने के लिए असामान्य पाठकों के लिए भ्रम की बात है, इसलिए इसके बारे में स्पष्ट होने के लिए यह आवश्यक होने के बजाय आम है। उम्मीदों से जुड़े कुछ ऐसे भाव हैं जहाँ आप निर्दिष्ट किए बिना सुनिश्चित नहीं हो सकते, लेकिन यह वास्तव में उनमें से एक नहीं है

— Glen_b

एक ऐसी अभिव्यक्ति में जहां एक से अधिक यादृच्छिक चर शामिल होते हैं, केवल प्रतीक ही इस संबंध में स्पष्ट नहीं करता है कि यादृच्छिक चर अपेक्षित मान "लिया" गया है। उदाहरण के लिए $E$

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E[h(X,Y)] =\text{?} \int_{-\infty}^{\infty} h(x,y) f_X(x)\,dx$ या

E [h (X, Y)] = ? \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{Y} (y) d y

$E[h(X,Y)] = \text{?} \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_Y(y)\,dy$

न ही । जब कई यादृच्छिक चर शामिल होते हैं, और प्रतीक में कोई सबस्क्रिप्ट नहीं होता है , तो उनके संयुक्त वितरण के संबंध में अपेक्षित मूल्य लिया जाता है: $E$

E [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X Y} (x, y) d x d y

$E[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dy$

जब एक सबस्क्रिप्ट मौजूद होता है ... कुछ मामलों में यह हमें बताता है कि हमें किस चर पर शर्त लगानी चाहिए । इसलिए

E_{X} [h (X, Y)] = E [h (X, Y) ∣ X] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{h (X, Y) ∣ X} (h (x, y) ∣ x) d h

$E_X[h(X,Y)] = E[h(X,Y)\mid X] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{h(X,Y)\mid X}(h(x,y)\mid x)\,dh$

... लेकिन अन्य मामलों में, यह हमें बताता है कि "औसत" के लिए किस घनत्व का उपयोग करना है

E_{X} [h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, y) f_{X} (x) d x

$E_X[h(X,Y)] = \int_{-\infty}^\infty h(x,y) f_{X}(x) \, dx$

भ्रमित करने के बजाय मैं कहूंगा, लेकिन किसने कहा कि वैज्ञानिक संकेतन पूरी तरह से अस्पष्टता या एकाधिक उपयोग से मुक्त है? आपको यह देखना चाहिए कि प्रत्येक लेखक ऐसे प्रतीकों के उपयोग को कैसे परिभाषित करता है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

मेरे दो सवाल हैं। 1) निश्चित नहीं है कि अगर मैं इसे ठीक से समझता हूं, तो क्या मैं पहले दो समीकरणों में से एक के रूप में अपेक्षा की व्याख्या कर सकता हूं, अगर या तो एक्स या वाई तय हो गया है? 2) क्या आप EQ 4 और EQ 5 के लिए एक उदाहरण दे सकते हैं? मेरे पास उनकी व्याख्या करने में कठिन समय है और मुझे लगता है कि ठोस उदाहरणों से मदद मिलेगी। धन्यवाद!

— छत बिल्ली

@ceiling cat 1) सही है क्योंकि अनिवार्य रूप से आपके पास नहीं है दो यादृच्छिक चर किसी भी अधिक। इसी तरह को to ठीक करने के लिए ।

E [h (X, \bar{y})] = \int_{- \infty}^{\infty} h (x, \bar{y}) f_{X} (x) d x

$E[h(X,\bar y)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x,\bar y) f_X(x)dx$

X

$X$

\bar{x}

$\bar x$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@ceiling cat 2) -EQ5: । एक यादृच्छिक चर ठीक है (एक उपयुक्त समर्थन के लिए)। फिर शॉर्ट हैंड नोटेशन के लिए विशिष्ट अर्थ का उपयोग करते हुए, जहां का घनत्व है (जो कुछ भी है)। जाहिर है एकीकृत नहीं है, और यह बरकरार रहेगा। लेकिन परिणाम आपको प्राप्त होगा। t एक संख्या हो (जैसा कि मेरी पिछली टिप्पणी में है), लेकिन एक यादृच्छिक चर ( का एक कार्य ), चूंकि यहाँ निश्चित नहीं है, बस एकीकृत नहीं है।

Z = X^{2} (Y - (Y + 2)^{3}) = h (X, Y)

$Z = X^2(Y-(Y+2)^3) = h(X,Y)$

Z

$Z$

E_{X} (Z) = E_{X} [(h (X, Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} (y - (y + 2)^{2}) f_{X} (x) d x

$E_X(Z)=E_X[(h(X,Y)] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2(y-(y+2)^2) f_{X}(x)dx$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

X

$X$

Y

$Y$

Y

$Y$

Y

$Y$

— एलेकोस पापड़ोपोलोस

@ ऐसिंग कैट मेरी पिछली दो टिप्पणियों में गणितीय गणनाओं के "मैकेनिक्स" समान होंगे। अंतिम परिणाम हालांकि अलग व्याख्याएं हैं।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@ceiling cat 2) -EQ4: समान यादृच्छिक चर पर विचार करें । पर इसका अपेक्षित मूल्य सशर्त है (शॉर्टहैंड नोटेशन के लिए दूसरे अर्थ का उपयोग करते हुए) । ध्यान दें कि यहाँ और सीधे इंटीग्रैंड में नहीं दिखाई देते हैं, वे सिंबल में "संघनित" हैं ।

Z

$Z$

X

$X$

E_{X} [Z] = E (Z ∣ X) = \int_{- \infty}^{\infty} z f_{Z | X} (z ∣ x) d z

$E_X[Z] = E(Z\mid X) = \int_{-\infty}^{\infty} z f_{Z|X}(z\mid x)dz$

x

$x$

y

$y$

z

$z$

— एलेकोस पापाडोपोलस