पाइथागोरस प्रमेय के रूप में कुल विचरण का नियम

मान लें कि $X$ और $Y$ पास दूसरा क्षण है। दूसरा परिमित पल के साथ यादृच्छिक चर के हिल्बर्ट अंतरिक्ष में (के भीतरी उत्पाद के साथ $T_1,T_2$ द्वारा परिभाषित $E(T_1T_2)$ , $||T||^2=E(T^2)$ ), हम व्याख्या कर सकते हैं $E(Y|X)$ के प्रक्षेपण के रूप में $Y$ के कार्यों में से अंतरिक्ष पर $X$ ।

हम यह भी जानते हैं कि लॉ ऑफ टोटल वेरिएंस पढ़ता है।

V a r (Y) = E (V a r (Y | X)) + V a r (E (Y | X))

$Var(Y)=E(Var(Y|X)) + Var(E(Y|X))$

क्या ऊपर के ज्यामितीय चित्र के संदर्भ में इस कानून की व्याख्या करने का कोई तरीका है? मुझे बताया गया है कि क़ानून साथ समकोण त्रिभुज के लिए पायथागॉरियन प्रमेय के समान है । मैं समझता हूं कि त्रिभुज समकोण क्यों है, लेकिन यह नहीं है कि पाइथागोरस प्रमेय कैसे कुल वारिस के कानून पर कब्जा कर रहा है। $Y, E(Y|X), Y-E(Y|X)$

variance conditional-expectation

— renrenthehamster
स्रोत

जवाबों:

मुझे लगता है कि आप जिसका अर्थ है कि के रूप में समकोण त्रिभुज के बारे में के साथ सहज हैं और हैं असहसंबद्ध यादृच्छिक परिवर्तनीय। के लिए असहसंबद्ध यादृच्छिक परिवर्तनीय और , और $E[Y\mid X]$ $Y - E[Y\mid X]$ $A$ $B$ और इसलिए यदि हमसेट करते हैं।

\begin{matrix} (1) & var (A + B) = var (A) + var (B), \end{matrix}

$\operatorname{var}(A+B) = \operatorname{var}(A) + \operatorname{var}(B),\tag{1}$

A = Y - E [Y ∣ X]

$A = Y - E[Y\mid X]$

ताकि

, हमें वह

के रूप में ही है

ताकि हम फिर से राज्य कर सकते हैं

के रूप में

B = E [Y ∣ X]

$B = E[Y\mid X]$

A + B = Y

$A+B = Y$

\begin{matrix} (2) & var (Y) = var (Y - E [Y ∣ X]) + var (E [Y ∣ X]) . \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y) = \operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) + \operatorname{var}(E[Y\mid X]).\tag{2}$ ऐसा नहीं है कि दिखाने के लिए बनी हुई है

var (Y - E [Y ∣ X])

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X])$

E [var (Y ∣ X)]

$E[\operatorname{var}(Y\mid X)]$

(2)

$(2)$

जो कुल विचरण सूत्र है।

\begin{matrix} (3) & var (Y) = E [var (Y ∣ X)] + var (E [Y ∣ X]) \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y) = E[\operatorname{var}(Y\mid X)] + \operatorname{var}(E[Y\mid X])\tag{3}$

यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि यादृच्छिक चर के मूल्य की उम्मीद है है , यह है कि, । तो हम देखते हैं कि $E[Y\mid X]$ $E[Y]$ $E\biggr[E[Y\mid X]\biggr] = E[Y]$

E [A] = E [Y - E [Y ∣ X]] = E [Y] - E [E [Y ∣ X]] = 0,

$E[A] = E\biggr[Y - E[Y\mid X]\biggr] = E[Y] - E\biggr[E[Y\mid X]\biggr] = 0,$ जिसमें से यह इस प्रकार है कि

, कि है,

Let

निरूपित यादृच्छिक चर

var (A) = E [A^{2}]

$\operatorname{var}(A) = E[A^2]$

\begin{matrix} (4) & var (Y - E [Y ∣ X]) = E [(Y - E [Y ∣ X])^{2}] . \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) = E\left[(Y-E[Y\mid X])^2\right].\tag{4}$

C

$C$

ताकि हम उस लिख सकते हैं

(Y - E [Y ∣ X])^{2}

$(Y-E[Y\mid X])^2$

लेकिन,

जहां

अब,यह देखते हुएकि

, की सशर्त वितरण

मतलब है

और इतने

\begin{matrix} (5) & var (Y - E [Y ∣ X]) = E [C] . \end{matrix}

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) = E[C].\tag{5}$

E [C] = E [E [C ∣ X]]

$E[C] = E\biggr[E[C\mid X]\biggr]$

E [C ∣ X] = E [(Y - E [Y ∣ X])^{2} | X] .

$E[C\mid X] = E\biggr[(Y-E[Y\mid X])^2{\bigr\vert} X\biggr].$

X = x

$X = x$

Y

$Y$

E [Y ∣ X = x]

$E[Y\mid X=x]$

दूसरे शब्दों में,

इतना है कियादृच्छिक चर

बस है

। इसलिए,

E [(Y - E [Y ∣ X = x])^{2} | X = x] = var (Y ∣ X = x) .

$E\biggr[(Y-E[Y\mid X=x])^2{\bigr\vert} X=x\biggr] = \operatorname{var}(Y\mid X = x).$

E [C ∣ X = x] = var (Y ∣ X = x)

$E[C\mid X = x] = \operatorname{var}(Y\mid X = x)$

E [C ∣ X]

$E[C\mid X]$

var (Y ∣ X)

$\operatorname{var}(Y\mid X)$

जिसमें प्रतिस्थापन पर

से पता चलता है कि

यह

के दाईं ओर बनाता है

\begin{matrix} (6) & E [C] = E [E [C ∣ X]] = E [var (Y ∣ X)], \end{matrix}

$E[C] = E\biggr[E[C\mid X]\biggr] = E[\operatorname{var}(Y\mid X)], \tag{6}$

(5)

$(5)$

var (Y - E [Y ∣ X]) = E [var (Y ∣ X)] .

$\operatorname{var}(Y-E[Y\mid X]) = E[\operatorname{var}(Y\mid X)].$

है जो हमें चाहिए और इसलिए हमने कुल विचरण सूत्र

सिद्ध किया है।

(2)

$(2)$

(3)

$(3)$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

Y - E (Y | X)

$Y-E(Y|X)$

v a r (Y - E (Y | X)) = E [Y - E (Y | X)]^{2}

$var(Y-E(Y|X))=E[Y-E(Y|X)]^2$

E v a r (Y | X) = E [E ((Y - E (Y | X))^{2} | X)] = E [Y - E (Y | X)]^{2}

$Evar(Y|X)=E[E((Y-E(Y|X))^2|X)]=E[Y-E(Y|X)]^2$

— mpiktas

E [(Y - E [Y | X])^{2}]

$E\bigr[(Y-E[Y|X])^2\bigr ]$

दिलीप, कई संभावनावादी लिखित रूप से @ mpiktas के समीकरण की सही व्याख्या करेंगे; कोष्ठकों के अतिरिक्त सेट को अक्सर गिरा दिया जाता है। शायद मेरी आँखें मुझे धोखा दे रही हैं, लेकिन मुझे लगता है कि उनकी धारणा पूरे समय के अनुरूप है। मैं चीजों को ठीक करने में मदद करने के लिए खुश हूं, अगर वांछित है, हालांकि। :-)

— कार्डिनल

E X

$EX$

E X

$\mathbb EX$

X

$X$

E X^{2}

$EX^2$ , खासकर जब से PEMDAS इसके बारे में कुछ भी नहीं कहना है। उम्मीद है कि प्रतिपादक पर प्राथमिकता है या नहीं? मुझे लगता है कि मैं वर्ग ब्रैकेट के अंदर सब कुछ लागू करने के लिए बस उम्मीद ऑपरेटर के लिए उपयोग किया जाता हूं। कृपया मी [iktas की टिप्पणी को संपादित न करें, लेकिन अगर आप मेरी पिछली टिप्पणी में "संयोग से" इस धागे में सब कुछ हटाना चाहते हैं , तो कृपया आगे बढ़ें।

— दिलीप सरवटे

v a r \dots

$var\ldots$

बयान:

$T_1$ तथा $T_2$ परिमित मानदंडों के साथ एक आंतरिक उत्पाद की जगह $\langle T_1,T_2\rangle = 0$ ,

\begin{matrix} (1) & | | {टी}_{1} + {टी}_{2} | |^{2} = | | {टी}_{1} | |^{2} + | | {टी}_{2} | |^{2} । \end{matrix}

$||T_1+T_2||^2 = ||T_1||^2 + ||T_2||^2 \tag{1}.$ या दूसरे शब्दों में, ओर्थोगोनल वैक्टर के लिए, वर्ग की लंबाई लंबाई वर्ग लंबाई का योग है।

हमारा मामला:

हमारे मामले में $T_1 = E(Y|X)$ तथा $T_2 = Y - E[Y|X]$ यादृच्छिक चर हैं, वर्ग आदर्श है $||T_i||^2 = E[T_i^2]$ और आंतरिक उत्पाद $\langle T_1,T_2\rangle = E[T_1T_2]$ । अनुवाद $(1)$ सांख्यिकीय भाषा में हमें देता है:

\begin{matrix} (2) & E [Y^{2}] = E [{E (Y | X)}^{2}] + E [(Y - E [Y | X])^{2}], \end{matrix}

$E[Y^2] = E[\{E(Y|X)\}^2] + E[(Y - E[Y|X])^2] \tag{2},$ because

E [T_{1} T_{2}] = Cov (T_{1}, T_{2}) = 0

$E[T_1T_2] = \operatorname{Cov}(T_1,T_2) = 0$ . We can make this look more like your stated Law of Total Variance if we change

(2)

$(2)$ by...

Subtract $(E[Y])^2$ from both sides, making the left hand side $\operatorname{Var}[Y]$ ,
Noting on the right hand side that $E[\{E(Y|X)\}^2] - (E[Y])^2 = \operatorname{Var}(E[Y|X])$ ,
Noting that $E[(Y - E[Y|X])^2] = E[E\{(Y - E[Y|X])^2\}|X] = E[\operatorname{Var}(Y|X)]$ .

For details about these three bullet points see @DilipSarwate's post. He explains this all in much more detail than I do.

— Taylor
स्रोत