सामान्य वितरण के मिश्रण से यादृच्छिक चर उत्पन्न करना

Question

मैं मिश्रण वितरण और विशेष रूप से सामान्य वितरणों के मिश्रण से कैसे नमूना ले सकता हूं R? उदाहरण के लिए, अगर मैं से नमूना लेना चाहता था:

$$0.3\!\times\mathcal{N}(0,1)\; + \;0.5\!\times\mathcal{N}(10,1)\; + \;0.2\!\times\mathcal{N}(3,.1)$$

ऐसा कैसे किया जा सकता था?

Comments

मैं वास्तव में एक मिश्रण को निरूपित करने का यह तरीका पसंद नहीं करता। मुझे पता है कि यह परंपरागत रूप से इस तरह से किया जाता है, लेकिन मुझे यह भ्रामक लगता है। नोटेशन से पता चलता है कि नमूना लेने के लिए, आपको सभी तीन मानदंडों का नमूना लेने की जरूरत है और उन गुणांकों द्वारा परिणामों को तौलना चाहिए जो स्पष्ट रूप से सही नहीं होंगे। किसी को भी एक बेहतर संकेतन पता है?

— StijnDeVuyst

मुझे वह धारणा कभी नहीं मिली। मैं कार्यों के रूप में वितरण (इस मामले में तीन सामान्य वितरण) के बारे में सोचता हूं और फिर परिणाम एक और कार्य है।

— राउंडसक्वार

: यदि आप यात्रा करने के लिए इस सवाल का अपनी टिप्पणी से उत्पन्न चाहते हो सकता है @StijnDeVuyst stats.stackexchange.com/questions/431171/...

— ankii

@ankii: यह इंगित करने के लिए धन्यवाद!

— स्टिजेनडेविस्ट

Answer 1

प्रदर्शन कारणों से forछोरों से बचने के लिए यह अच्छा अभ्यास है R। एक वैकल्पिक समाधान जो इस तथ्य rnormका फायदा उठाता है:

N <- 100000

components <- sample(1:3,prob=c(0.3,0.5,0.2),size=N,replace=TRUE)
mus <- c(0,10,3)
sds <- sqrt(c(1,1,0.1))

samples <- rnorm(n=N,mean=mus[components],sd=sds[components])

Comments

वैकल्पिक रूप से, आप अंतिम वितरण को बदलने के लिए सामान्य वितरण के गुणों का उपयोग कर सकते हैं samples <- rnorm(N)*sds[components]+mus[components]। मुझे पढ़ना आसान लगता है :)

— एल्विस

बहुत सुंदर (cc @Elvis)!

— इटमार

Answer 2

सामान्य तौर पर, मिश्रण वितरण से नमूना लेने के सबसे आसान तरीकों में से एक निम्नलिखित है:

एल्गोरिदम कदम

1) एक यादृच्छिक चर उत्पन्न $U\sim\text{Uniform}(0,1)$

$U\in\left[\sum_{i=1}^kp_{k},\sum_{i=1}^{k+1}p_{k+1}\right)$$p_{k}$$k^{th}$$k^{th}$

3) दोहराएँ चरण 1) और 2) जब तक आपके पास मिश्रण वितरण से वांछित मात्रा में नमूने न हों

अब ऊपर दिए गए सामान्य एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, आप निम्न Rकोड का उपयोग करके अपने उदाहरणों के मानदंडों के मिश्रण से नमूना ले सकते हैं :

#The number of samples from the mixture distribution
N = 100000                 

#Sample N random uniforms U
U =runif(N)

#Variable to store the samples from the mixture distribution                                             
rand.samples = rep(NA,N)

#Sampling from the mixture
for(i in 1:N){
    if(U[i]<.3){
        rand.samples[i] = rnorm(1,0,1)
    }else if(U[i]<.8){
        rand.samples[i] = rnorm(1,10,1)
    }else{
        rand.samples[i] = rnorm(1,3,.1)
    }
}

#Density plot of the random samples
plot(density(rand.samples),main="Density Estimate of the Mixture Model")

#Plotting the true density as a sanity check
x = seq(-20,20,.1)
truth = .3*dnorm(x,0,1) + .5*dnorm(x,10,1) + .2*dnorm(x,3,.1)
plot(density(rand.samples),main="Density Estimate of the Mixture Model",ylim=c(0,.2),lwd=2)
lines(x,truth,col="red",lwd=2)

legend("topleft",c("True Density","Estimated Density"),col=c("red","black"),lwd=2)

जो उत्पन्न करता है:

और एक पवित्रता की जाँच के रूप में:

Comments

नमस्ते! बहुत बहुत धन्यवाद! इस जवाब ने मुझे बहुत मदद की। मैं एक शोध परियोजना में इसका उपयोग कर रहा हूं। मैं ऊपर के लिए एक संदर्भ उद्धृत करना चाहता हूं। क्या आप कृपया एक शोध लेख उद्धरण का सुझाव दे सकते हैं।

— अभिषेक भाटिया

Answer 3

$k$R

set.seed(8)               # this makes the example reproducible
N     = 1000              # this is how many data you want
probs = c(.3,.8)          # these are *cumulative* probabilities; since they 
                          #   necessarily sum to 1, the last would be redundant
dists = runif(N)          # here I'm generating random variates from a uniform
                          #   to select the relevant distribution

# this is where the actual data are generated, it's just some if->then
#   statements, followed by the normal distributions you were interested in
data = vector(length=N)
for(i in 1:N){
  if(dists[i]<probs[1]){
    data[i] = rnorm(1, mean=0, sd=1)
  } else if(dists[i]<probs[2]){
    data[i] = rnorm(1, mean=10, sd=1)
  } else {
    data[i] = rnorm(1, mean=3, sd=.1)
  }
}

# here are a couple of ways of looking at the results
summary(data)
#    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
# -3.2820  0.8443  3.1910  5.5350 10.0700 13.1600 

plot(density(data))

Comments

अच्छा जवाब, आपने मुझे पोस्ट करने के लिए

टिप के लिए धन्यवाद, @BabakP। मुझे यकीन नहीं है कि यह क्या था। यह ifelse()बयान में कुछ था , लेकिन मुझे बाद में इसका पता लगाना होगा। मैंने उस कोड w / एक लूप को बदल दिया।

— गूँग - मोनिका

RfindInterval()cumsum()$\mu$mu$\sigma^2$spmix <- function(n,mu,s,p) { ii <- findInterval(runif(n),cumsum(p))+1; x <- rnorm(n,mean=mu[ii],sd=sqrt(s[ii])); return(x); }

@ मैक्रो, बहुत सही और बहुत अच्छा कोड! मैंने findInterval()इससे पहले कमांड नहीं देखा है , हालांकि, मुझे यहां पर कोड को सरल रूप से लिखना पसंद है क्योंकि मैं इसे दक्षता के बजाय समझने के लिए एक उपकरण बनना चाहता हूं।

मैंने कहा ये अच्छे जवाब थे। मेरा उद्देश्य आपकी आलोचना करना नहीं था, बल्कि एक ऐसे दृष्टिकोण की पेशकश करना था जो केवल एक ही तर्क को बदलकर तीन से अधिक आयामों का सामान्यीकरण करता है, किसी भी कोड का नहीं। यह मेरे लिए स्पष्ट नहीं है कि आपने जो क्यों लिखा है वह मेरे द्वारा लिखे गए से अधिक पारदर्शी है, लेकिन मैं निश्चित रूप से उस बारे में बहस नहीं करना चाहता हूं। चीयर्स।

— मैक्रों

Answer 4

पहले से ही सही जवाब दिए गए हैं, इसलिए जो लोग इसे पाइथन में हासिल करना चाहते हैं, उनके लिए यहां मेरा समाधान है:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

mu = [0, 10, 3]
sigma = [1, 1, 1]
p_i = [0.3, 0.5, 0.2]
n = 10000

x = []
for i in range(n):
    z_i = np.argmax(np.random.multinomial(1, p_i))
    x_i = np.random.normal(mu[z_i], sigma[z_i])
    x.append(x_i)

def univariate_normal(x, mean, variance):
    """pdf of the univariate normal distribution."""
    return ((1. / np.sqrt(2 * np.pi * variance)) * 
            np.exp(-(x - mean)**2 / (2 * variance)))

a = np.arange(-7, 18, 0.01)
y = p_i[0] * univariate_normal(a, mean=mu[0], variance=sigma[0]**2) + p_i[1] * univariate_normal(a, mean=mu[1], variance=sigma[0]**2)+ p_i[2] * univariate_normal(a, mean=mu[2], variance=sigma[0]**2)

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 4))

ax.hist(x, bins=100, density=True)
ax.plot(a, y)