Nlm () फ़ंक्शन में कोड चर

Question

R में एक फंक्शन nlm () है जो न्यूटन-राफसन एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए फंक्शन f का न्यूनीकरण करता है। विशेष रूप से, यह फ़ंक्शन निम्न के रूप में परिभाषित चर कोड के मूल्य को आउटपुट करता है:

कोड एक पूर्णांक को दर्शाता है कि अनुकूलन प्रक्रिया क्यों समाप्त हुई।

1: सापेक्ष ढाल शून्य के करीब है, वर्तमान पुनरावृति शायद समाधान है।

2: सहिष्णुता के भीतर क्रमिक पुनरावृत्तियों, वर्तमान पुनरावृति शायद समाधान है।

3: अंतिम वैश्विक कदम अनुमान से कम एक बिंदु का पता लगाने में विफल रहा। या तो अनुमान फ़ंक्शन का एक अनुमानित स्थानीय न्यूनतम है या स्टीप्टोल बहुत छोटा है।

4: पुनरावृति सीमा पार हो गई।

5: अधिकतम स्टेप साइज स्टेपमैक्स लगातार पांच बार पार किया। या तो फ़ंक्शन नीचे से अनबाउंड है, किसी दिशा में ऊपर से एक परिमित मूल्य के लिए स्पर्शोन्मुख हो जाता है या स्टेफ़मैक्स बहुत छोटा है।

क्या कोई मुझे समझा सकता है (शायद केवल एक चर के एक समारोह के साथ एक सरल चित्रण का उपयोग करके) 1-5 स्थितियों के अनुरूप क्या है?

उदाहरण के लिए, स्थिति 1 निम्नलिखित चित्र के अनुरूप हो सकती है:

आपका अग्रिम में ही बहुत धन्यवाद!

Answer 1

इन स्थितियों को और अधिक स्पष्ट रूप से समझा जाता है जब यह ध्यान में रखा जाता है कि वास्तव में न्यूनतमकरण या अधिकतमकरण क्या है और अनुकूलन कैसे काम करता है।

मान लीजिए हमारे पास फ़ंक्शन है $f$ जिस पर स्थानीय न्यूनतम है $x_0$। अनुकूलन के तरीके अनुक्रम के निर्माण की कोशिश करते हैं$x_i$ जो करने के लिए परिवर्तित $x_0$। यह हमेशा दिखाया जाता है कि सिद्धांत रूप में निर्मित अनुक्रम कुछ वर्गों के कार्यों के लिए स्थानीय न्यूनतम के बिंदु पर परिवर्तित होता है$f$।

अगले उम्मीदवार को पुनरावृत्ति में प्राप्त करने के लिए $i$एक लंबी प्रक्रिया हो सकती है, इसलिए यह सामान्य है कि सभी एल्गोरिदम पुनरावृत्तियों की संख्या को सीमित करते हैं। यह स्थिति 4 से मेल खाती है ।

फिर प्रत्येक के लिए $x$ पास में $x_0$ हमारे पास वह है $f(x)>f(x_0)$। तो अगर$f(x_i)>f(x_{i-1})$यह एक संकेत है कि हम न्यूनतम तक पहुंच गए हैं। यह स्थिति 3 से मेल खाती है

अब अगर फं $f$ में एक व्युत्पन्न है $x_0$ फिर जरूरी है $\nabla f(x_0)=0$। न्यूटन-रफसन विधि प्रत्येक चरण पर ढाल की गणना करती है, इसलिए यदि$\nabla f(x_i)\approx 0$, $x_i$शायद एक समाधान है, जो स्थिति 1 से मेल खाता है ।

वास्तविक वैक्टर का प्रत्येक अभिसरण क्रम कौची अनुक्रम है और इसके विपरीत, मोटे तौर पर इसका अर्थ है कि यदि $x_i$ इसके करीब है $x_0$, फिर $x_i$ इसके करीब है $x_{i+1}$ और इसके विपरीत, जहां $i$पुनरावृति संख्या है। तो अगर$|x_i-x_{i-1}|<\varepsilon$, और हम जानते हैं कि सिद्धांत में $x_i$ के लिए अभिसरण करता है $x_0$, तो हम न्यूनतम बिंदु के करीब होना चाहिए। यह स्थिति 2 से मेल खाती है ।

सीक्वेंसिंग सीक्वेंस में वह संपत्ति होती है जो वे अनुबंधित करते हैं, अर्थात यदि हम अभिसरण के करीब हैं तो अनुक्रम के शेष सभी तत्व छोटे क्षेत्र में समाहित हैं। इसलिए अगर सिद्धांत में जो अनुक्रम जुटाना चाहिए वह बड़े कदम उठाने लगता है तो यह एक संकेत है कि शायद कोई अभिसरण नहीं है। यह स्थिति 5 से मेल खाती है

नोट सख्त गणितीय परिभाषाओं को जानबूझकर छोड़ दिया गया था।