उलटा-विचरण भार के बारे में प्रश्न

मान लीजिए हम एक अप्राप्य प्रतीति पर अनुमान लगाना चाहते हैं $x$ एक यादृच्छिक चर की $\tilde x$ , जो आम तौर पर माध्य साथ वितरित किया जाता है $\mu_x$ और विचरण $\sigma^2_x$ । मान लीजिए कि एक और यादृच्छिक चर है $\tilde y$ (जिनके अप्राप्य बोध को हम इसी प्रकार कहेंगे $y$ ) जो सामान्य रूप से माध्य से वितरित किया जाता है $\mu_y$ और विचरण $\sigma^2_y$ । चलो $\sigma_{xy}$ के covariance हो $\tilde x$ तथा $\tilde y$ ।

अब मान लें कि हम एक संकेत का निरीक्षण करते हैं $x$ ,

\begin{aligned} a = x + \tilde{u}, \end{aligned}

$\begin{align}a=x+\tilde u,\end{align}$ कहाँ पे

\tilde{u} \sim N (0, ϕ_{x}^{2})

$\tilde u\sim\mathcal{N}(0,\phi_x^2)$ , और एक संकेत पर

y

$y$ ,

\begin{aligned} b = y + \tilde{v}, \end{aligned}

$\begin{align}b=y+\tilde v,\end{align}$ कहाँ पे

\tilde{v} \sim N (0, ϕ_{y}^{2})

$\tilde v\sim\mathcal{N}(0,\phi_y^2)$ । मान लो की

\tilde{u}

$\tilde u$ तथा

\tilde{v}

$\tilde v$ स्वतंत्र हैं।

का वितरण क्या है $x$ सशर्त $a$ तथा $b$ ?

अब तक मुझे क्या पता है: उलटा-विचरण भार का उपयोग करना,

\begin{aligned} E (x | a) = \frac{\frac{1}{σ_{x}^{2}} μ_{x} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}} a}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}}, \end{aligned}

$\begin{align}\mathbb{E}(x\,|\,a)=\frac{\frac{1}{\sigma_x^2}\mu_x+\frac{1}{\phi_x^2}a}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}},\end{align}$ तथा

\begin{aligned} V ar (x | a) = \frac{1}{\frac{1}{σ_{x}^{2}} + \frac{1}{ϕ_{x}^{2}}} . \end{aligned}

$\begin{align} \mathbb{V}\text{ar}(x\,|\,a)=\frac{1}{\frac{1}{\sigma_x^2}+\frac{1}{\phi_x^2}}. \end{align}$

जबसे $x$ तथा $y$ संयुक्त रूप से तैयार हैं, $b$ के बारे में कुछ जानकारी ले जाना चाहिए $x$ । इसे साकार करने के अलावा, मैं फंस गया हूं। किसी भी मदद की सराहना की है!

meta-analysis

— bad_at_math
स्रोत

यह बिल्कुल एक कलमन फ़िल्टर की व्युत्पत्ति पर पहले कुछ चरणों जैसा दिखता है। आप व्युत्पत्ति को देख सकते हैं और सोच सकते हैं कि राज्य कोविरियन अनुमान अपडेट के लिए कलमन लाभ के बारे में। cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf

— EngrStudent

उत्तर के लिए धन्यवाद! मैंने आपके लिंक में दस्तावेज़ पढ़ा है, लेकिन मैं कलमन फ़िल्टरिंग के साथ कनेक्शन नहीं देखता हूं। किसी भी मौका आप विस्तृत कर सकते हैं? मैं मदद की सराहना करता हूं!

— bad_at_math

@EngrStudent यदि ओपी कलमन फिल्टर से अपरिचित है, तो मुझे नहीं लगता कि यह कैसे मदद करने वाला है। शायद आप इसके बजाय यह समझा सकते हैं कि KF के साथ शामिल किसी भी बारीकियों (या शब्दजाल) को शामिल किए बिना समस्या को कैसे हल किया जाए, हालांकि शायद यहाँ की बारीकियों पर प्रतिक्रिया देने के लिए आपकी समझ का उपयोग करना।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

गणित में क्रॉस-पोस्ट किया गया । यहाँ

— Glen_b -Reinstate Monica

मुझे यकीन नहीं है कि उलटा-वज़निंग फॉर्मूला यहाँ लागू होता है या नहीं। हालाँकि मुझे लगता है कि आप सशर्त वितरण की गणना कर सकते हैं $x$ दिया हुआ $a$ तथा $b$ ऐसा मानकर $x$ , $y$ , $a$ तथा $b$ एक संयुक्त बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का पालन करें।

विशेष रूप से, यदि आप मान लेते हैं (जो कि प्रश्न में निर्दिष्ट है)

[\begin{matrix} x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{y} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x y} & 0 & 0 \\ σ_{x y} & σ_{y}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ϕ_{x}^{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ϕ_{y}^{2} \end{matrix}])

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ y \\ u \\ v \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_y \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma_{xy} & 0 & 0 \\ \sigma_{xy} & \sigma^2_y & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \phi^2_x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \phi^2_y \end{matrix}\right] \right) \end{equation}$ फिर, देना

a = x + u

$a=x+u$ तथा

b = y + v

$b=y+v$ , आप पा सकते हैं

[\begin{matrix} x \\ a \\ b \end{matrix}] \sim N ([\begin{matrix} μ_{x} \\ μ_{x} \\ μ_{y} \end{matrix}], [\begin{matrix} σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x}^{2} & σ_{x}^{2} + ϕ_{x}^{2} & σ_{x y} \\ σ_{x y} & σ_{x y} & σ_{y}^{2} + ϕ_{y}^{2} \end{matrix}]) .

$\begin{equation} \left[\begin{matrix}x \\ a \\ b \end{matrix}\right] \sim N\left( \left[\begin{matrix}\mu_x \\ \mu_x \\ \mu_y \end{matrix}\right], \left[\begin{matrix} \sigma^2_x & \sigma^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma^2_x & \sigma^2_x + \phi^2_x & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_{xy} & \sigma^2_y + \phi^2_y \end{matrix}\right] \right). \end{equation}$ (ध्यान दें कि उपरोक्त में यह अनुमान लगाया गया है कि

u

$u$ तथा

v

$v$ एक दूसरे के बीच स्वतंत्र हैं और साथ भी

x

$x$ तथा

y

$y$ ।)

इससे आप सशर्त वितरण पा सकते हैं $x$ दिया हुआ $a$ तथा $b$ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के मानक गुणों का उपयोग करना (उदाहरण के लिए यहां देखें: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distributions )।

— a.arfe
स्रोत