गैर-वर्ग पूर्णांक कार्यों के लिए मोंटे कार्लो एकीकरण

मुझे आशा है कि यह पूछने के लिए सही जगह है, अगर इसे और अधिक उपयुक्त मंच पर स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र नहीं है।

मैं काफी समय से सोच रहा था कि मोंटे कार्लो एकीकरण के साथ गैर-स्क्वायर पूर्णांक कार्यों का इलाज कैसे किया जाए । मुझे पता है कि एमसी अभी भी एक उचित अनुमान देता है, लेकिन इस तरह के कार्यों के लिए त्रुटि अवास्तविक (विचलन?) है।

आइए हमें एक आयाम तक सीमित करें। मोंटे कार्लो एकीकरण का मतलब है कि हम अभिन्न को अनुमानित करते हैं

I = \int_{0}^{1} d x f (x)

$I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, f(x)$

अनुमान का उपयोग करना

E = \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (x_{i})

$E = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$

साथ में $x_i \in [0,1]$ समान रूप से यादृच्छिक अंक वितरित। बड़ी संख्या का कानून यह सुनिश्चित करता है $E \approx I$ । नमूना विचरण

S^{2} = \frac{1}{N - 1} \sum_{i = 1}^{N} (f (x_{i}) - E)^{2}

$S^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N (f (x_i) - E)^2$

प्रसरण का अनुमान लगाता है $\sigma^2$ द्वारा वितरित वितरण के $f$ । हालांकि, यदि $f$ वर्ग-विभेदक नहीं है, अर्थात् स्क्वर्ट फंक्शन डायवर्ज का अभिन्न अंग है, इसका अर्थ है

σ^{2} = \int_{0}^{1} d x {(f (x) - I)}^{2} = \int_{0}^{1} d x f^{2} (x) - I^{2} ⟶ \infty

$\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, \left( f(x) - I \right)^2 = \int_0^1 \mathrm{d} x \, f^2(x) - I^2 \longrightarrow \infty$

इसका अर्थ है कि विचरण भी विचलन करता है।

एक सरल उदाहरण फ़ंक्शन है

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$

जिसके लिए $I = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \frac{1}{\sqrt{x}} = 2$ तथा $\sigma^2 = \int_0^1 \mathrm{d}x \, \left( \frac{1}{x} - 2 \right) = \left[ \ln x - 2x \right]_0^1 \rightarrow \infty$ ।

अगर $\sigma^2$ मतलब की त्रुटि को लगभग सीमित कर सकता है $E$ द्वारा $\frac{S}{\sqrt{N}} \approx \frac{\sigma}{\sqrt{N}}$ , लेकिन क्या अगर $f(x)$ वर्ग-पूर्ण नहीं है?

monte-carlo numerical-integration

— cschwan
स्रोत

मुझे यह नहीं मिलता है: आप यह देखते हुए शुरू करते हैं कि इनमें से कोई भी नहीं है

E_{i}

$E_i$ एक विचरण है और फिर पूछते हैं कि क्या उनके औसत का विचरण एक उचित अनुमानक होगा - कि कोई नहीं विचरण करता है! या क्या मैं इस सवाल को गलत मानता हूं: शायद "सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र अनुमानों" द्वारा आपके मन में अभिन्न अंग के कुछ अलग (शायद मजबूत) अनुमानक हैं?

— whuber

मैंने कहा नहीं

E

$E$ एक विचरण नहीं करता है, केवल यह कि मैं इसके लिए विचरण को परिभाषित नहीं कर सकता

S^{2}

$S^2$ । तो सवाल यह है कि क्या मैं एक त्रुटि को परिभाषित कर सकते है सब पर है और अगर

{\bar{S}}^{2}

$\bar{S}^2$ एक उचित उम्मीदवार है। सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होने से मेरा मतलब है कि द

E_{i}

$E_i$ विभिन्न रैंडम नंबरों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, उदाहरण के लिए अलग-अलग राउंडेड रैंडम नंबर जनरेटर का उपयोग करके (मुझे उम्मीद है कि सही अवधि के बाद)।

— सीएसचवन

कृपया समझाएं कि आपके द्वारा इसका मतलब क्या नहीं है "इसके द्वारा एक विचरण को परिभाषित करने में सक्षम नहीं है।"

S^{2}

$S^2$ "मैं विचरण की मानक परिभाषाओं का उपयोग करके इसका अर्थ नहीं समझ सकता हूं और

S^{2}

$S^2$ ।

— whuber

ठीक है, फ़ंक्शन चौकोर-पूर्ण नहीं है, इसलिए यदि मैं गलत नहीं हूँ,

S^{2}

$S^2$ डायवर्ट करना चाहिए । यदि इस मामले के लिए परिभाषा है

S^{2}

$S^2$ पहली जगह में कोई मतलब नहीं है, है ना? केंद्रीय सीमा प्रमेय के माध्यम से, हालांकि,

E

$E$ अभी भी अभिन्न के वास्तविक मूल्य में परिवर्तित हो जाएगा, लेकिन एक त्रुटि के बिना इस मूल्य का कोई मतलब नहीं है (यह परिणाम कितना अच्छा है?)।

— सीएसचवन

क्षमा करें, मेरा मतलब "बड़ी संख्या के कानून" से था, न कि सीएलटी से।

— सीएसचवन

आप बस अन्य पैमाने / फैलाव के उपायों का उपयोग कर सकते हैं जैसे कि इंटरक्वांटाइल रेंज, जो टेल एसिम्पोटिक्स से प्रभावित नहीं होते हैं और इस प्रकार वर्ग पूर्णता। अतिरिक्त लाभ के साथ कि अक्सर वे सामान्य रूप से अधिक मजबूत होते हैं।

जाहिर है कि कोई भी उन्हें औसत अनुमानक द्वारा सीधे प्रतिसाद / बूटस्ट्रैप पर लागू करेगा, न कि सीधे औसत से पहले फ़ंक्शन के एमसी नमूने से कच्चे आउटपुट के लिए। आप सामान्य एल-आकलनकर्ताओं में भी जांच कर सकते हैं और प्रदर्शन के लिए इन दो चरणों को एक में विलय करने के लिए उनमें से किसी एक को अनुकूलित कर सकते हैं, लेकिन मानसिक रूप से दोनों वितरण भ्रमित नहीं होंगे, भले ही अनुमानक पीडीएफ स्वाभाविक रूप से कुछ विशेषताओं को विरासत में मिलाएगा (इसमें शायद वर्ग की कमी भी शामिल है) integrability)।

— क्वार्ट्ज
स्रोत

+1, मुझे यह जोड़ना चाहिए कि बड़ी संख्या के कानून को दूसरे क्षण की आवश्यकता नहीं है, इसलिए यह पूरी तरह से अच्छी सलाह है।

— mpiktas

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद! मुझे यह स्वीकार करना होगा कि मैंने पहली बार उन शर्तों को पढ़ा है, लेकिन उन्हें WP पर देखने से मुझे लगता है कि आपका उत्तर मुझे सही दिशा में इंगित करता है। क्या आप या कोई और कुछ लेख या किताबें सुझा सकते हैं जो विषयों को अधिक विस्तार से बताते हैं?

— 14

मैं अब नोटिस करता हूं कि शायद मेरा जवाब थोड़ा अस्पष्ट था। चूंकि आप अनुकरण कर रहे हैं, इसलिए आपको वास्तव में रेज़मैप्लिंग / बूटस्ट्रैपिंग की आवश्यकता नहीं है , सिद्धांत रूप में आप इसके बजाय आगे नए नमूने जोड़ सकते हैं और मतलब अनुमानक के लिए एक अनुभवजन्य वितरण प्राप्त कर सकते हैं। केवल अगर संसाधन एक चिंता का विषय है तो आप आंशिक औसत का पूर्वाभ्यास कर सकते हैं और उन्हें फिर से तैयार कर सकते हैं, लेकिन आंकड़े भी अच्छी तरह से तुच्छ नहीं होंगे। मैं कोई बूस्टर एक्सपर्ट नहीं हूं, इसलिए मैं उस पर दूसरों को सलाह देना चाहूंगा, अगर आप सीधे सूत्रीकरण से परे जाने की जरूरत है तो बस इसे इंगित करना चाहते हैं। पहले फैलाव के उपायों पर ध्यान दें, बाद में अनुकूलित करें।

— क्वार्ट्ज

प्रस्तावित अनुमानक का अर्थ परिमित विचरण नहीं है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई और नमूने जोड़ता है, अनुमानक का अनुभवजन्य वितरण ALSO में गैर-परिमित संस्करण होगा। आप कुछ सिमुलेशन के साथ इसकी पुष्टि कर सकते हैं।

— रजब245

निश्चित रूप से, वास्तव में यही चर्चा की जा रही थी और यही कारण है कि कोई अन्य फैलाव मापक का उपयोग करेगा।

— क्वार्ट्ज