क्या अशक्त परिकल्पना सिद्ध करना संभव है?

Question

जैसा कि प्रश्न में कहा गया है - क्या अशक्त परिकल्पना सिद्ध करना संभव है? परिकल्पना की मेरी (सीमित) समझ से, इसका उत्तर नहीं है, लेकिन मैं इसके लिए कठोर स्पष्टीकरण नहीं दे सकता। प्रश्न का एक निश्चित उत्तर है?

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यह इस बात पर निर्भर करता है कि आप "साबित" से क्या मतलब है जैसा कि कहा गया है, यह एक दार्शनिक सवाल है, न कि एक सांख्यिकीय, और इसका कोई निश्चित उत्तर नहीं है (हालांकि, डेविड ह्यूम के समय से कम से कम, ज्यादातर लोग "नहीं" का जवाब देंगे)।

— whuber

यह कुछ हद तक एक गलत प्रश्न है। हमें उन परिस्थितियों को जानना होगा जिनके तहत यह "प्रमाण" होना है।

— probabilityislogic

शायद एक बेहतर प्रश्न यह है कि "किन परिस्थितियों / धारणाओं के तहत अशक्त परिकल्पना सिद्ध करना संभव है?"

— probabilityislogic

संबंधित: सांख्यिकीविदों का कहना है कि गैर-महत्वपूर्ण परिणाम का अर्थ है "आप अशक्त को अस्वीकार नहीं कर सकते" के रूप में अशक्त परिकल्पना को स्वीकार करने का विरोध किया?

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

Answer 1

यदि आप वास्तविक दुनिया के बारे में बात कर रहे हैं और औपचारिक तर्क नहीं है, तो इसका उत्तर निश्चित रूप से है। अनुभवजन्य साधनों द्वारा किसी भी चीज़ का "सबूत" उस अनुमान की ताकत पर निर्भर करता है जो कोई भी बना सकता है, जो बदले में परीक्षण प्रक्रिया की वैधता द्वारा निर्धारित किया जाता है जैसा कि दुनिया में काम करने के तरीके (यानी, सिद्धांत) के बारे में सब कुछ पता है। जब भी कोई यह स्वीकार करता है कि कुछ अनुभवजन्य परिणाम "अशक्त" परिकल्पना को खारिज करने को सही ठहराते हैं, तो आवश्यक रूप से इस प्रकार के निर्णय लेने (डिजाइन की वैधता; दुनिया कुछ तरीकों से काम करती है) है, इसलिए सबूत का औचित्य साबित करने के लिए अनुरूप मान्यताओं को बनाने के लिए आवश्यक है। " अशक्त " समस्याग्रस्त नहीं है।

तो क्या अनुरूप धारणाएं हैं? यहाँ "शून्य साबित करने" का एक उदाहरण है जो स्वास्थ्य विज्ञान और सामाजिक विज्ञान में आम है। (1) "शून्य" या "कोई प्रभाव नहीं" किसी तरह से परिभाषित करें जो व्यावहारिक रूप से सार्थक है। मान लीजिए कि मेरा मानना ​​है कि मुझे स्वयं का आचरण करना चाहिए जैसे कि किसी बीमारी के लिए 2 उपचारों, t1 & t2 के बीच कोई सार्थक अंतर नहीं है, जब तक कि एक व्यक्ति दूसरे की तुलना में 3% से बेहतर पुनर्प्राप्ति का मौका नहीं देता। (2) परीक्षण के लिए एक वैध डिजाइन का पता लगाएं कि क्या कोई प्रभाव है - इस मामले में, क्या टी 1 और टी 2 के बीच वसूली की संभावना में अंतर है। (3) यह निर्धारित करने के लिए एक शक्ति विश्लेषण करें कि क्या पर्याप्त रूप से उच्च संभावना उत्पन्न करने के लिए नमूना का आकार आवश्यक है - एक यह कि मुझे दिए गए भरोसे पर भरोसा है 'यह मानते हुए कि यह मौजूद है। आमतौर पर लोग कहते हैं कि शक्ति पर्याप्त है यदि किसी निर्दिष्ट अल्फा पर एक निर्दिष्ट प्रभाव देखने की संभावना कम से कम 0.80 है, लेकिन आत्मविश्वास का सही स्तर वास्तव में यह मामला है कि आप त्रुटि के लिए कितने विपरीत हैं - जैसा कि आप का चयन करते समय पी। "शून्य को अस्वीकार" के लिए -थ्यू थ्रॉल्ड। (4) अनुभवजन्य परीक्षण करें और प्रभाव का निरीक्षण करें। यदि यह निर्दिष्ट "सार्थक अंतर" मूल्य से नीचे है - मेरे उदाहरण में 3% - आप "सिद्ध" हैं कि "कोई प्रभाव नहीं है।"

इस मामले के अच्छे उपचार के लिए, स्ट्रेनर, डीएल यूनिकॉर्न्स डू एक्स्टिस्ट : अ ट्यूटोरियल ऑन द नूल हाइपोथीसिस "प्रोविंग" देखें । कनाडाई जर्नल ऑफ साइकेट्री 48, 756-761 (2003)।

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+1। यह "प्रमाण" के मानक के बारे में स्पष्ट होने के महत्व का एक अच्छा उदाहरण है। कई अनुप्रयोगों में जिसे आप यहां आमंत्रित करते हैं - "कार्य यदि" मानक, यदि मैं इसे कह सकता हूं - तो यह इतना कमजोर है कि कोई भी इसे "प्रमाण" के रूप में स्वीकार नहीं करेगा। मैं इसकी उपयोगिता से इनकार नहीं करता, हालांकि, तर्कसंगत निर्णय लेने के समर्थन के लिए इस तरह के दृष्टिकोण की वकालत करता हूं। (लेकिन शायद बायेसियन तरीकों बेहतर रहे हैं ... :-)

— whuber

(+1) अच्छा जवाब। मैंने स्ट्रेइनर के लेख के एक ऑनलाइन संस्करण के लिए एक लिंक जोड़ा; मुझे आशा है कि आप बुरा नहीं मानेंगे (बेझिझक हटा दें)।

— CHL

कुछ और बातें: (1) में साक्ष्य के रूप अशक्त अस्वीकार करने के लिए विफलता का इलाज समर्थन अशक्त की एक आश्चर्यजनक सामान्य त्रुटि और Streiner के दृष्टिकोण के लिए हमेशा की तरह अवसर है। यह गलती अनिवार्य रूप से टाइप 2 में "पी <0.05" मानदंड में 1 त्रुटि टाइप करने के लिए मजबूत फैलाव को बदल देती है। एस कहते हैं, "रुको - आपको शक्ति की आवश्यकता है ..." (2) ह्यूम के प्रसिद्ध तर्क का हवाला देते हुए। एच का पीटी वास्तव में अनुभवजन्य साक्ष्यों के विध्वंसक के रूप में है जो अशक्त को शून्य के प्रमाण के रूप में अस्वीकार करता है । एच का कहना है कि इंडक्शन कारण के समर्थन का समर्थन नहीं कर सकता। ठीक है; लेकिन अनुभवजन्य अध्ययन के लिए कोई विकल्प नहीं है! जाओ मोती (और बेयस), ह्यूम नहीं, कार्य-कारण पर!

— dmk38

समतुल्यता परीक्षण के इस प्रश्न में कुछ अच्छे सुझाव भी दिए गए हैं। आँकड़े backexchange.com/questions/3038/…

— जेरोमी एंग्लीम

क्या यह "शून्य नहीं" को नए शून्य परिकल्पना के रूप में मानने और फिर इस नई शून्य परिकल्पना को खारिज करने के बराबर है?

Answer 2

गणितीय पक्ष से उत्तर: यह संभव है अगर और केवल "परिकल्पना परस्पर एकवचन" हो।

यदि "साबित" करने से आपका मतलब एक नियम है जो "स्वीकार" कर सकता है (क्या मुझे कहना चाहिए कि :) :) एक गलती करने की संभावना के साथ जो शून्य है, तो आप खोज रहे हैं जिसे "आदर्श परीक्षण" कहा जा सकता है और यह मौजूद है :$H_0$

आप एक यादृच्छिक चर मौसम परीक्षण कर रहे हैं से ली गई है या से (यानी परीक्षण बनाम फिर वहाँ एक आदर्श परीक्षण मौजूद है) यदि और केवल यदि ( और "पारस्परिक रूप से एकवचन") हैं। $X$$P_0$$P_1$$H_0: X\leadsto P_0$$H_1: X\leadsto P_1$ $P_1\bot P_0$$P_1$$P_0$

यदि आप नहीं जानते कि "पारस्परिक रूप से एकवचन" का अर्थ है कि मैं आपको एक उदाहरण दे सकता हूं: और ( और पर वर्दी ) परस्पर एकवचन हैं। इसका मतलब है अगर आप परीक्षण करना चाहते हैं$\mathcal{U}[0,1]$$\mathcal{U}[3,4]$$[0,1]$$[3,4]$

$H_0: X\leadsto \mathcal{U}[0,1]$ बनाम$H_1: X\leadsto \mathcal{U}[3,4]$

तब एक आदर्श परीक्षण मौजूद होता है (लगता है कि यह क्या है :)): एक ऐसा परीक्षण जो कभी गलत नहीं होता!

यदि और पारस्परिक रूप से एकवचन नहीं हैं, तो यह मौजूद नहीं है (यह "केवल अगर भाग" से परिणाम है)!$P_1$$P_0$

गैर गणितीय शब्दों में इसका मतलब है कि आप शून्य को साबित कर सकते हैं यदि और केवल अगर सबूत पहले से ही आपकी मान्यताओं में है (यानी अगर और केवल अगर आपने परिकल्पना और को चुना है तो यह इतना अलग है कि से एक भी अवलोकन की पहचान नहीं की जा सकती है और vise versa में से एक के रूप में )। $H_0$$H_1$$H_0$$H_1$

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+1 अच्छा जवाब। गणित का एक सरल प्रतिपादन यह है कि अशक्त और इसके विकल्प को परिणामों के निराशाजनक सेट प्राप्त करने के लिए माना जाता है; उदाहरण के लिए, या तो इस कमरे में एक ज़ेबरा है या वहाँ नहीं है। बेशक "साबित" यहां स्पष्ट रूप से "मॉडल पर सशर्त" शामिल है, जो खुद को कभी भी उसी कठोरता के साथ स्थापित नहीं किया जाता है, जैसे कि, एक गणितीय प्रमेय; यह संक्षेप में "टिप्पणियों की सटीकता पर सशर्त" शामिल है; और इसमें निहित है कि परिकल्पना की स्पष्ट व्याख्या की जा सकती है। (उत्तरार्द्ध की आलोचना के लिए, जॉर्ज लैकोफ देखते महिलाओं, अग्नि, और खतरनाक हालात। )

— whuber

Answer 3

हाँ एक निश्चित उत्तर है। इसका उत्तर है: नहीं, अशक्त परिकल्पना साबित करने का कोई तरीका नहीं है। सबसे अच्छा आप कर सकते हैं, जहां तक ​​मुझे पता है, आपके अनुमान के आसपास विश्वास अंतराल फेंक रहा है और प्रदर्शित करता है कि प्रभाव इतना छोटा है कि यह अनिवार्य रूप से अस्तित्वहीन हो सकता है।

Comments

अधिक आम तौर पर आंकड़ों में समस्या यह नहीं है कि आप अशक्त परिकल्पना को साबित करने में असमर्थ हैं, यह है कि आप निश्चितता के साथ किसी भी बिंदु का अनुमान लगाने में सक्षम नहीं हैं। यही है, जैसे आप यह नहीं कह सकते कि "चर का कोई प्रभाव नहीं है" आप यह कहने में असमर्थ हैं कि "चर का प्रभाव आकार 1.95" है। सांख्यिकी में हमेशा आत्मविश्वास अंतराल होता है।

— रुसलपिएरेस

इस बात से सहमत हैं कि उत्तर एक बड़ा NO है, और एक बहुत मजबूत कारण के लिए: सांख्यिकीय परिकल्पना के निर्माण के द्वारा। यह तथ्य कि स्वीकृत उत्तर दावा कर रहा है अन्यथा बिल्कुल दुखद है। एक उत्तर के रूप में परिकल्पना परीक्षण क्या प्रदान करता है: मान लेना मेरी परिकल्पना सच है , क्या डेटा है कि मैंने इसके अनुरूप नमूना लिया है? और किसी भी तरह से आसपास के रास्ते से नहीं। यह समझने में अधिक तर्क नहीं है कि आप इस बात से नहीं डिग सकते हैं कि यह परिकल्पना सच है या नहीं।

— क्रिस्टोफ़

Answer 4

मेरे लिए, निर्णय सैद्धांतिक ढांचा "अशक्त परिकल्पना" को समझने का सबसे आसान तरीका प्रस्तुत करता है। यह मूल रूप से कहता है कि कम से कम दो विकल्प होने चाहिए: अशक्त परिकल्पना और कम से कम एक विकल्प। फिर "निर्णय समस्या" विकल्पों में से एक को स्वीकार करना है, और दूसरों को अस्वीकार करना है (हालांकि हमें "स्वीकार करने" और "परिकल्पना को अस्वीकार करने" से क्या मतलब है) के बारे में सटीक होना चाहिए। मैं देख रहा हूँ "क्या हम अशक्त परिकल्पना सिद्ध कर सकते हैं?" "क्या हम हमेशा सही निर्णय ले सकते हैं?" के अनुरूप है। एक निर्णय सिद्धांत के दृष्टिकोण से उत्तर स्पष्ट रूप से हाँ है अगर

1) निर्णय लेने की प्रक्रिया में कोई अनिश्चितता नहीं है, तब यह सही निर्णय क्या है, यह जानने के लिए एक गणितीय अभ्यास है।

2) हम समस्या के अन्य सभी परिसरों / मान्यताओं को स्वीकार करते हैं। सबसे महत्वपूर्ण एक (मुझे लगता है) यह है कि हम जिस परिकल्पना के बीच फैसला कर रहे हैं वह संपूर्ण है, और उनमें से एक (और केवल एक) सच होना चाहिए, और दूसरों को गलत होना चाहिए।

अधिक दार्शनिक दृष्टिकोण से, कुछ भी "साबित" करना संभव नहीं है, इस अर्थ में कि "प्रमाण" पूरी तरह से उन मान्यताओं / स्वयंसिद्धों पर निर्भर करता है जो उस "प्रमाण" की ओर ले जाते हैं। मैं प्रमाण को एक "तथ्य" या "सत्य" के बजाय एक तार्किक समानता के रूप में देखता हूं, इस अर्थ में कि यदि प्रमाण गलत है, तो जो धारणाएँ थीं, वे भी गलत हैं।

इसे "शून्य परिकल्पना साबित करने के लिए" मैं "साबित कर सकता हूं" को लागू करने को केवल यह मानकर कि यह सत्य है, या यह मानकर कि यह सत्य है यदि कुछ शर्तें पूरी होती हैं (जैसे कि एक आंकड़े का मूल्य)।

Answer 5

हां, अशक्त को सिद्ध करना संभव है - ठीक उसी अर्थ में कि अशक्त के लिए किसी भी विकल्प को सिद्ध करना संभव है। एक बायेसियन विश्लेषण में, मनमाने ढंग से बड़े बनने के लिए यह प्रस्तावित विकल्पों में से किसी भी अशक्त बनाम शून्य के पक्ष में बाधाओं के लिए पूरी तरह से संभव है। इसके अलावा, यह मुखर करने के लिए झूठ है, जैसा कि ऊपर दिए गए कुछ उत्तर मुखर करते हैं, कि कोई केवल शून्य को साबित कर सकता है यदि इसके लिए विकल्प असंतुष्ट हैं (शून्य के साथ ओवरलैप नहीं करते हैं)। एक बायेसियन विश्लेषण में प्रत्येक परिकल्पना का एक पूर्व संभाव्यता वितरण है। यह वितरण प्रस्तावित विकल्पों पर पूर्व संभाव्यता के एक इकाई द्रव्यमान को फैलाता है। अशक्त परिकल्पना एक ही विकल्प पर पूर्व संभाव्यता के सभी डालता है। सिद्धांत रूप में, शून्य के विकल्प कुछ गैर-शून्य विकल्प (किसी अन्य "बिंदु" पर) पर पूर्व संभाव्यता के सभी डाल सकते हैं, लेकिन यह दुर्लभ है। सामान्य तौर पर, विकल्प हेज, अर्थात्, वे अन्य विकल्पों पर पूर्व संभाव्यता का एक ही द्रव्यमान फैलाते हैं - या तो शून्य विकल्प के बहिष्करण, या, अधिक सामान्यतः, शून्य विकल्प सहित। फिर सवाल यह है कि कौन सी परिकल्पना सबसे अधिक पूर्व संभावना रखती है जहां प्रायोगिक डेटा वास्तव में गिरता है। यदि डेटा चारों ओर से कसकर गिर जाता है जहां नल कहता है कि उन्हें गिरना चाहिए, तो यह ऑड-ऑन पक्षपात होगा (प्रस्तावित परिकल्पनाओं में) EVEN THOUGH IT IN INCLUDED IN (NESTED IN, NOT NOTUTUALLY EXCLUSIVE with WITH) ALTERNATIVES TO IT। यह माना जाता है कि एक नेस्टेड विकल्प के लिए संभव नहीं है कि वह सेट से अधिक होने की संभावना है जिसमें वह नेस्टेड है, संभावना और संभावना के बीच अंतर करने में विफलता को दर्शाता है। जबकि सेट के एक घटक के लिए पूरे सेट की तुलना में कम संभावित होना असंभव है, यह पूरी तरह से सेट के पीछे की संभावना से अधिक होने के लिए हाइपोथेसिस के सेट के घटक के पीछे की संभावना के लिए पूरी तरह से संभव है। एक परिकल्पना की पूर्ववर्ती संभावना संभावना फ़ंक्शन और पूर्व संभाव्यता वितरण का उत्पाद है जो परिकल्पना प्रस्तुत करती है। यदि एक परिकल्पना सभी पूर्व संभाव्यता को सही जगह पर रखती है (जैसे, अशक्त पर), तो यह एक परिकल्पना की तुलना में एक उच्च पश्चवर्ती संभावना होगी जो कुछ पूर्व संभावना को गलत जगह पर डालती है (शून्य पर नहीं)। एक परिकल्पना की पूर्ववर्ती संभावना संभावना फ़ंक्शन और पूर्व संभाव्यता वितरण का उत्पाद है जो परिकल्पना प्रस्तुत करती है। यदि एक परिकल्पना सभी पूर्व संभाव्यता को सही जगह पर रखती है (जैसे, अशक्त पर), तो यह एक परिकल्पना की तुलना में एक उच्च पश्चवर्ती संभावना होगी जो कुछ पूर्व संभावना को गलत जगह पर डालती है (शून्य पर नहीं)। एक परिकल्पना की पूर्ववर्ती संभावना संभावना फ़ंक्शन और पूर्व संभाव्यता वितरण का उत्पाद है जो परिकल्पना प्रस्तुत करती है। यदि एक परिकल्पना सभी पूर्व संभाव्यता को सही जगह पर रखती है (जैसे, अशक्त पर), तो यह एक परिकल्पना की तुलना में एक उच्च पश्चवर्ती संभावना होगी जो कुछ पूर्व संभावना को गलत जगह पर डालती है (शून्य पर नहीं)।

Answer 6

तकनीकी रूप से, नहीं, एक शून्य परिकल्पना सिद्ध नहीं की जा सकती है। किसी भी निश्चित, परिमित नमूने के आकार के लिए, हमेशा कुछ छोटे लेकिन गैर-अक्षीय प्रभाव आकार होंगे जिनके लिए आपके सांख्यिकीय परीक्षण में लगभग कोई शक्ति नहीं होती है। व्यावहारिक रूप से, हालांकि, आप यह साबित कर सकते हैं कि आप अशक्त परिकल्पना के कुछ छोटे एप्सिलॉन के भीतर हैं, जैसे कि इस एप्सिलॉन से कम विचलन व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण नहीं हैं।

Answer 7

एक मामला है जहां एक सबूत संभव है। मान लीजिए आपके पास एक स्कूल है और आपकी अशक्त परिकल्पना है कि लड़कों और लड़कियों की संख्या बराबर है। जैसे ही नमूना आकार बढ़ता है, लड़कियों के लिए लड़कों के अनुपात में अनिश्चितता कम हो जाती है, अंततः संपूर्ण पुतली आबादी का नमूना होने पर निश्चितता तक पहुंचना (जो मैं आपको सबूत से मतलब रखता हूं)।

लेकिन अगर आपके पास परिमित आबादी नहीं है, या यदि आप प्रतिस्थापन के साथ नमूना कर रहे हैं और फिर से तैयार किए गए व्यक्तियों को हाजिर नहीं कर सकते हैं, तो आप परिमित नमूने के साथ अनिश्चितता को शून्य नहीं कर सकते।

Answer 8

मैं यहां चर्चा करना चाहता हूं कि बहुत सारे उपयोगकर्ता कुछ हद तक भ्रमित हैं। नल की परिकल्पना कथन H0: p = 0 का वास्तविक अर्थ क्या है? क्या हम यह निर्धारित करने की कोशिश कर रहे हैं कि क्या पैरामीटर p शून्य है? बेशक, इस तरह के लक्ष्य को प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं है।

जो हम स्थापित करने का इरादा रखते हैं, वह डेटा सेट को देखते हुए, मूल्यांकन किया गया पैरामीटर मान शून्य से अंधाधुंध है (या नहीं)। याद रखें कि एनएचएसटी वैकल्पिक परिकल्पनाओं के प्रति "अनुचित" है: अशक्त को 95% कॉन्फिडेंस स्तर, और केवल 5% विकल्प के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। परिणाम में "गैर-महत्वपूर्ण" परिणाम का मतलब यह नहीं है कि H0 धारण करता है, लेकिन बस यह कि हमें पर्याप्त सबूत नहीं मिला कि विकल्प की संभावना है।