फिशर सूचना मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए शर्तें

Question

विभिन्न पाठ्यपुस्तक फिशर सूचना मैट्रिक्स के अस्तित्व के लिए विभिन्न स्थितियों का हवाला देती हैं। ऐसी कई शर्तें नीचे सूचीबद्ध हैं, जिनमें से प्रत्येक "फिशर सूचना मैट्रिक्स" की परिभाषाओं में से कुछ में नहीं, बल्कि सभी में दिखाई देती है।

1. क्या कोई मानक, शर्तों का न्यूनतम सेट है?
2. नीचे दी गई 5 शर्तों में से किसके साथ दूर किया जा सकता है?
3. यदि शर्तों में से एक के साथ दूर किया जा सकता है, तो आप इसे पहले स्थान पर शामिल क्यों करते हैं?
4. यदि शर्तों में से एक के साथ दूर नहीं किया जा सकता है, तो क्या इसका मतलब यह है कि जिन पाठ्यपुस्तकों ने इसे निर्दिष्ट नहीं किया था, वे एक गलत, या कम से कम एक अपूर्ण, परिभाषा है?

1. जैक्स, द थ्योरी ऑफ़ स्टैटिस्टिकल इन्वेंशन (1971), पी। 194.
   मैट्रिक्स सभी लिए सकारात्मक निश्चित है । θ ∈ $\mathcal{I}\left(\theta\right)$$\theta\in\Theta$
2. स्कर्विश, सांख्यिकी का सिद्धांत (1997, द्वितीय मुद्रण), परिभाषा 2.78, पी। 111
   सेट सभी लिए समान है । $C=\left\{x:f\left(x;\theta\right)>0\right\}$$\theta$
3. बोरोवकोव, गणितीय सांख्यिकी (1998)। पी। 147 कर रहे हैं लगातार विभेदक wrt ।
   $f\left(x;\theta\right)$$\theta_i$
4. बोरोवकोव, गणितीय सांख्यिकी (1998)। पी। 147 निरंतर और उल्टा है।
   $\mathcal{I}\left(\theta\right)$
5. गॉइरियॉक्स और मोनफोर्ट, सांख्यिकी और अर्थमितीय मॉडल, वॉल्यूम I (1995)। परिभाषा (ए), पीपी। 81-82 मौजूद हैं;
   $\frac{\partial^2}{\partial\theta_i\partial\theta_j}f\left(x;\theta\right)$

इसकी तुलना में, यहाँ लेहमैन और कैसेला की स्थितियों की पूरी सूची दी गई है। बिंदु अनुमान का सिद्धांत (1998)। पी। 124 :

1. $\Theta$ एक खुला अंतराल है (परिमित, अनंत या अर्ध-अनंत)
2. सेट सभी लिए समान है । θ ∈ $C=\left\{x:f\left(x,\theta\right)>0\right\}$$\theta\in\Theta$
3. $\frac{\partial f\left(x;\theta\right)}{\partial\theta_i}$ मौजूद है और परिमित है।

और यहां बारा, नॉटीज़ फोंडामेंटल डी स्टेटिस्टिक मैथमेटिक्स (1971) की स्थितियों की पूरी सूची है । परिभाषा 1, पी। 35 :

स्कोर के लिए परिभाषित किया गया है सभी , उसके घटकों में से प्रत्येक वर्ग समाकलनीय है और अभिन्न है । = $\theta\in\Theta$$=0$

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि न तो लेहमैन और कैसैला और न ही बर्रा उस , जो प्रत्येक हस्ताक्षर के लिए अभिन्न हस्ताक्षर के तहत अलग-अलग हो सकता है , a अधिकांश सर्वेक्षणों में आई स्थिति जो मैंने सर्वेक्षण की थी। θ $\int f\left(x;\theta\right)\space \mu\left(dx\right)$$\theta_i$

Answer 1

मेरे पास सभी संदर्भों तक पहुंच नहीं है, लेकिन मैं आपके कुछ बिंदुओं पर कुछ टिप्पणी करना चाहता हूं:

• बोरोवकोव, गणितीय सांख्यिकी (1998)। पी। 140 एक और धारणा, शर्त (R) प्रस्तुत करता है, जो काफी मजबूत है। यह शर्त मानती है कि । फिर, लेखक मूल रूप से मानता है कि फिशर सूचना मैट्रिक्स (FIM) के प्रत्येक प्रविष्टि को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है।$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]<\infty$

• इंटीग्रल और डिफरेंशियल ऑपरेटर्स धारणाओं की दोहरी भिन्नता और विनिमयशीलता समानता the को घटाने के लिए नियोजित की जाती है । यह समानता अक्सर सहायक होती है, लेकिन कड़ाई से आवश्यक नहीं है।$E[(\partial\log f(x;\theta)/\partial\theta)^2]=-E[\partial^2\log f(x;\theta)/\partial\theta^2]$

• एफआईएम के अस्तित्व के लिए सामान्य परिस्थितियों को स्थापित करना मुश्किल है, कुछ मॉडलों को त्यागने के बिना जिनके लिए एफआईएम वास्तव में मौजूद है। उदाहरण के लिए, FIM के अस्तित्व के लिए विभिन्नता की स्थिति एक आवश्यक शर्त नहीं है। इसका एक उदाहरण डबल एक्सपोनेंशियल या लाप्लास मॉडल है। इसी FIM को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, लेकिन मोड में घनत्व दोगुना भिन्न नहीं है। कुछ अन्य मॉडल जो दोगुने भिन्न होते हैं, उनके साथ बुरा व्यवहार किया जाता है FIM और उन्हें कुछ अतिरिक्त स्थितियों की आवश्यकता होती है ( इस पेपर को देखें )।

बहुत सामान्य पर्याप्त स्थितियों के साथ आना संभव है, लेकिन वे बहुत सख्त हो सकते हैं। एफआईएम के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्तों का पूरी तरह से अध्ययन नहीं किया गया है। फिर, आपके पहले प्रश्न का उत्तर सरल नहीं हो सकता है।