एफडब्ल्यूआर को नियंत्रित करने की तुलना में एफडब्ल्यूआर को कम कठोर क्यों नियंत्रित किया जाता है?

मैंने पढ़ा है कि एफडीआर को नियंत्रित करना एफडब्ल्यूईआर को नियंत्रित करने की तुलना में कम कठोर है, जैसे कि विकिपीडिया में :

एफडीआर नियंत्रण प्रक्रियाएं फैमिलीवाइज एरर रेट (एफडब्ल्यूईआर) प्रक्रियाओं (जैसे बोनफेरोनी करेक्शन) की तुलना में झूठी खोज पर कम कड़े नियंत्रण को बढ़ाती हैं। यह टाइप I त्रुटियों की दर को बढ़ाने की लागत पर शक्ति को बढ़ाता है, अर्थात, बिना किसी प्रभाव के अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करना जब इसे स्वीकार किया जाना चाहिए।

लेकिन मैं सोच रहा था कि इसे गणितीय रूप से सच कैसे दिखाया जाए?

क्या एफडीआर और एफडब्ल्यूईआर के बीच कुछ संबंध है?

hypothesis-testing multiple-comparisons false-discovery-rate

— सभी के लिए StackExchange
स्रोत

क्या आपने मूल पेपर पढ़ा? यह एक कागज़ के पेपर में सबसे अधिक उम्मीद की जा सकने वाली हर चीज़ है: एक एकल मौलिक विचार, एक स्पष्ट उदाहरण और स्पष्ट कहानी, एक उपयोगी उदाहरण और (संक्षिप्त!) सटीक प्रमाण।

— कार्डिनल

वास्तव में, @ कार्डिनल काफी सही है कि पेपर उतना ही स्पष्ट है जितना कि यह हो जाता है। तो, यह क्या है इसके लिए, यदि आपके पास कागज तक पहुंच नहीं है, तो यहां बेनजामिनी-होचबर्ग का तर्क थोड़ा विस्तृत है:

FDR , सभी अस्वीकृति के गलत के अनुपात का अपेक्षित मान है । अब, , स्पष्ट रूप से, गलत और सही अस्वीकृति का योग है; बाद के बुलाओ । $Q_e$ $v$ $r$ $r$ $s$

सारांश में, (यादृच्छिक मूल्यों के लिए बड़े अक्षरों का उपयोग करना और वास्तविक मूल्यों के लिए अक्षरों को कम करना),

Q_{e} = E (\frac{V}{R}) = E (\frac{V}{V + S}) =: E (Q) .

$Q_e=E\left(\frac{V}{R}\right)=E\left(\frac{V}{V+S}\right)=:E\left(Q\right).$

एक लेता है यदि । $Q=0$ $R=0$

अब, दो संभावनाएँ हैं: या तो सभी null सही हैं या उनमें से केवल सच हैं। पहले मामले में, सही अस्वीकृति नहीं हो सकती है, इसलिए । इस प्रकार, अगर कोई अस्वीकृति (हैं ), , अन्यथा । इसलिये, $m$ $m_0<m$ $r=v$ $r\geq 1$ $q=1$ $q=0$

F D R = E (Q) = 1 \cdot P (Q = 1) + 0 \cdot P (Q = 0) = P (Q = 1) = P (V \geq 1) = F W E R

$\newcommand{\FDR}{\mathrm{FDR}}\newcommand{\FWER}{\mathrm{FWER}}\FDR=E(Q)=1\cdot P(Q=1)+0\cdot P(Q=0)=P(Q=1)=P(V \geq 1)=\FWER$

तो, इस मामले में , ऐसी कोई भी प्रक्रिया जो तुच्छता से नियंत्रित करती है, वह और इसके विपरीत को भी नियंत्रित करती है । $\FDR=\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

दूसरे मामले में जिसमें , यदि (इसलिए यदि कम से कम एक गलत अस्वीकृति है), तो हम स्पष्ट रूप से ( भाजक में साथ एक अंश होने के नाते ) कि । इसका मतलब यह है कि संकेतक फ़ंक्शन जो मान 1 लेता है यदि कम से कम एक गलत अस्वीकृति है, तो कभी भी , से कम नहीं होगा । अब, असमानता के दोनों ओर अपेक्षा को लें, जो कि एकरसता से असमानता को बरकरार रखती है, $m_0<m$ $v>0$ $v$ $v/r\leq 1$ $\mathbf 1_{V\geq 1}$ $Q$ $\mathbf 1_{V\geq 1}\geq Q$ $E$

E (1_{V \geq 1}) \geq E (Q) = F D R

$E(\mathbf 1_{V\geq 1})\geq E(Q)=\FDR$

एक संकेतक फ़ंक्शन का अपेक्षित मान संकेतक में घटना की संभावना है, हमारे पास , जो फिर से । $E(\mathbf 1_{V\geq 1})=P(V\geq 1)$ $\FWER$

इस प्रकार, जब हमारे पास एक ऐसी प्रक्रिया होती है जो को इस अर्थ में नियंत्रित करती है कि , तो हमारे पास वह होना चाहिए । $\FWER$ $\FWER\leq \alpha$ $\FDR\leq\alpha$

इसके विपरीत, कुछ पर नियंत्रण होने से काफी बड़ा आ सकता है । वास्तव में, परीक्षण किए गए संभावित बड़े परिकल्पनाओं में से एक असत्य प्रत्याशित अंश ( ) को स्वीकार करने से कम से कम एक गलत अस्वीकृति ( ) की बहुत अधिक संभावना हो सकती है । $\FDR$ $\alpha$ $\FWER$ $\FDR$ $\FWER$

इसलिए, केवल नियंत्रण के वांछित होने पर एक प्रक्रिया को कम सख्त होना पड़ता है, जो कि शक्ति के लिए भी अच्छा है। यह किसी भी मूल परिकल्पना परीक्षण के समान विचार है: जब आप 5% के स्तर पर परीक्षण करते हैं तो आप 1% के स्तर पर परीक्षण करने की तुलना में अधिक बार (दोनों सही और झूठे नल) अस्वीकार करते हैं क्योंकि आपके पास एक छोटा महत्वपूर्ण मूल्य है। $\FDR$

— क्रिस्टोफ हांक
स्रोत

(+1) अच्छा प्रदर्शन। जाहिर है, पहले मामले में हम यह भी कह सकते हैं कि एफडब्ल्यूआर नियंत्रण एफडीआर नियंत्रण का अर्थ है (जो कि प्रश्न में मामला है)। इसके अलावा, यह इंगित करने के लायक हो सकता है कि यह संपत्ति एफडीआर के नियंत्रण के लिए मूल कागज में दी गई प्रक्रिया के विपरीत, परीक्षण के आंकड़ों पर कोई वितरण संबंधी धारणाओं (जैसे, स्वतंत्रता) के साथ नहीं आती है।

— कार्डिनल