क्या नेमन-पीयरसन लेम्मा उस मामले पर लागू हो सकता है जब वितरण के एक ही परिवार के लिए सरल नल और विकल्प नहीं हैं?

क्या नेमन-पीयरसन लेम्मा मामले पर लागू हो सकता है जब एक साधारण नल और एक साधारण विकल्प वितरण के एक ही परिवार से संबंधित नहीं हैं? इसके प्रमाण से, मैं यह नहीं देख सकता कि यह क्यों नहीं हो सकता।

उदाहरण के लिए, जब साधारण नल एक सामान्य वितरण है और सरल विकल्प एक घातीय वितरण है।
जब दोनों वितरणों के विभिन्न परिवारों के होते हैं, तो क्या संभावना अनुपात एक संयुक्त विकल्प के खिलाफ एक समग्र शून्य का परीक्षण करने का एक अच्छा तरीका है?

धन्यवाद एवं शुभकामनाएँ!

hypothesis-testing mathematical-statistics

— टिम
स्रोत

अब यह एक अच्छा सवाल है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

जैसा कि आप सवाल में कहते हैं, प्रमाण दो वितरणों के रूप के बारे में कोई धारणा नहीं बनाता है। गणित पर भरोसा करो।

— सियान

@ सायन: क्या संभावना अनुपात का परीक्षण समग्र अशक्त और समग्र विकल्प के लिए एक अच्छा तरीका है जो वितरण के विभिन्न परिवार से संबंधित है?

— टिम

अपनी पूर्व टिप्पणी को स्पष्ट करने के लिए: मैं अक्सर लोगों को "नहीं" कहता हूं - वास्तव में यह कागजों में भी लगता है : - "[संभावना अनुपात परीक्षण] ... डेटा के वितरण के कार्यात्मक रूप के बारे में अनुमान लगाने के लिए उपयोग नहीं किया जा सकता है। " यह अच्छा होगा यदि उन प्रकार के दावे अक्सर अनुत्तरित नहीं रह जाते।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

यह एक गैर सवाल है, क्योंकि किसी भी दो अलग-अलग वितरण

और

एक सतत एक पैरामीटर परिवार का हिस्सा हैं

।

F

$F$

G

$G$

{p F + (1 - p) G},

$\{pF + (1-p)G\},$

0 \leq p \leq 1

$0\le p \le 1$

— whuber

जवाबों:

हां, नेमन पियरसन लेम्मा मामले पर लागू हो सकता है जब सरल नल और सरल विकल्प वितरण के एक ही परिवार से संबंधित नहीं होते हैं।

चलो हम की एक सबसे शक्तिशाली (मध्य प्रदेश) परीक्षण का निर्माण करना चाहते हैं के खिलाफ $H_0:X\sim N(0,1)$ अपने आकार की। $H_1 : X\sim \text{Exp}(1)$

एक विशेष , नेमैन पियर्सन लेम्मा द्वारा हमारा महत्वपूर्ण कार्य है $k$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} > k \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}>k \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$

का एक एमपी टेस्ट है $H_0$ के खिलाफ इसके आकार की। $H_1$

यहाँ

r (x) = \frac{f_{1} (x)}{f_{0} (x)} = \frac{e^{- x}}{\frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}} = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)}

$r(x)=\dfrac{f_1(x)}{f_0(x)}=\dfrac{e^{\displaystyle -x}}{\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{\displaystyle -x^2/2}}=\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}$

ध्यान दें कि अब यदि आपचित्र बनाते हैं [तो मुझे नहीं पता कि उत्तर में चित्र कैसे बनाया जाए], ग्राफ़ से यह स्पष्ट होगा कि

r^{'} (x) = \sqrt{2 π} e^{(\frac{x^{2}}{2} - x)} (x - 1) {\begin{cases} < 0, & x < 1 \\ > 0, & x > 1 \end{cases}

$r'(x) =\sqrt{2 \pi}\,\,e^{\displaystyle \left(\frac{x^2} 2-x\right)}(x-1)\\ \begin{cases}<0 ,& x<1\\>0 ,& x>1 \end{cases}$

r (x)

$r(x)$

।

r (x) > k ⟹ x > c

$r(x)>k \implies x>c$

तो, एक कण के लिए $c$

ϕ (x) = {\begin{cases} 1, & x > c \\ 0, & Otherwise \end{cases}

$\phi(x) =\begin{cases} 1,&x>c \\0, &\text{Otherwise} \end{cases}$ की एक सांसद परीक्षण है

के खिलाफ

H_{o}

$H_o$

इसके आकार की।

H_{1}

$H_1$

आप परीक्षण कर सकते हैं

1. के खिलाफ $H_0:X\sim N(0,\dfrac{1}{2})$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
2. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Cauchy}(0,1)$
3. $H_0:X\sim N(0,1)$ $H_1:X\sim \text{Double Exponential}(0,1)$

नेमन पियरसन लेम्मा द्वारा।

आम तौर पर संभावना राशन परीक्षण (LRT) समग्र अशक्त और समग्र विकल्प के लिए एक अच्छा तरीका नहीं है जो वितरण के विभिन्न परिवार से संबंधित है। LRT विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब $\mathbb{\theta}$ एक बहु पैरामीटर है और हम एक पैरामीटर के विषय में परीक्षण परिकल्पना करना चाहते हैं ।

वह सब मुझसे है।

— ई
स्रोत

Q2। संभावना अनुपात एक समझदार पर्याप्त परीक्षण आँकड़ा है लेकिन (ए) नेमन-पीयरसन लेम्मा समग्र परिकल्पना पर लागू नहीं होता है, इसलिए एलआरटी आवश्यक रूप से सबसे शक्तिशाली नहीं होगा; & (b) विलक्स प्रमेय केवल नेस्टेड परिकल्पनाओं पर लागू होता है, इसलिए जब तक कि एक परिवार दूसरे का एक विशेष मामला नहीं है (जैसे घातीय / वीबुल, पॉसन / नकारात्मक द्विपद) आप शून्य के तहत संभावना अनुपात के वितरण को नहीं जानते हैं। यहां तक कि asymptotically भी।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका
स्रोत

"... आप शून्य के तहत संभावना अनुपात के वितरण को नहीं जानते हैं, यहां तक कि asymptotically भी।" यह दुनिया में इतनी बड़ी चिंता का विषय नहीं है जहां आप कम से कम शून्य के तहत एक अनुकरण कर सकते हैं कि आर। की 20 पंक्तियाँ

— सियान

@ सायन: उन 20 पंक्तियों को लिखने के लिए कुछ विचार की आवश्यकता हो सकती है। यह ध्यान में रखें कि यह एक समग्र अशक्त है, सामान्य तौर पर हमारे पास पिवोट्स नहीं होंगे, और मुझे नहीं लगता कि एलआर जरूरी एक अनुमानित धुरी होगा। मैं तुम्हें एलआर studentize सकता है लगता है ...

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

आप बिलकुल सही कह रहे हैं। सामान्य तस्वीर यह है: हम एक परीक्षण आँकड़ा चाहते हैं जो हमें दिए गए महत्व के स्तर पर अधिकतम शक्ति प्रदान करता है $\alpha$ । दूसरे शब्दों में, एक मूल्य की गणना करने का तरीका $\phi$ ताकि अंक जिसके लिए पैरामीटर स्पेस का हिस्सा हो $\phi$ से अधिक है $\alpha^\mathrm{th}$ के तहत मात्रात्मक $H_0$ के तहत कम से कम संभव वजन है $H_1$ । नेमन-पीयरसन लेम्मा यह प्रदर्शित करता है कि यह आँकड़ा संभावना अनुपात है।
नेमन एंड पियर्सन के मूल पत्र में समग्र परिकल्पनाओं पर भी चर्चा की गई है। कुछ मामलों में इसका उत्तर सीधा है - यदि प्रत्येक परिवार में विशेष वितरण का विकल्प है, जिसकी संभावना पूरे परिवार पर लागू होने पर रूढ़िवादी है। यह अक्सर होता है, उदाहरण के लिए, नेस्टेड परिकल्पना के लिए। हालांकि ऐसा न होना आसान है; कॉक्स का यह पत्र आगे क्या करने के लिए चर्चा करता है। मुझे लगता है कि दो परिवारों के ऊपर पुजारी लगाकर, यहां एक अधिक आधुनिक दृष्टिकोण एक बायेशियन तरीके से संपर्क करना होगा।

— petrelharp
स्रोत

वहाँ महान संदर्भ - कॉक्स पेपर।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका