क्या संयुक्त मानक विचलन खोजना संभव है?

मान लीजिए मेरे पास 2 सेट हैं:

सेट एक : आइटम्स की संख्या $n= 10$ , $\mu = 2.4$ , $\sigma = 0.8$

सेट बी : आइटम की संख्या , , $n= 5$ $\mu = 2$ $\sigma = 1.2$

मैं संयुक्त माध्य ( ) आसानी से पा सकता हूं, लेकिन मैं संयुक्त मानक विचलन कैसे खोजूं? $\mu$

standard-deviation

— kype
स्रोत

en.wikipedia.org/wiki/Pooled_variance#Pooled_standard_deviation

— क्रिस

जवाबों:

इसलिए, यदि आप चाहते हैं कि इनमें से दो नमूने आपके पास एक साथ लाएं:

$s_1 = \sqrt{\frac{1}{n_1}\Sigma_{i = 1}^{n_1} (x_i - \bar{y}_1)^2}$

$s_2 = \sqrt{\frac{1}{n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_2} (y_i - \bar{y}_2)^2}$

जहां और नमूना साधन हैं और और नमूना मानक विचलन कर रहे हैं। $\bar{y}_1$ $\bar{y}_2$ $s_1$ $s_2$

उन्हें जोड़ने के लिए आपके पास:

$s = \sqrt{\frac{1}{n_1 + n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_1 + n_2} (z_i - \bar{y})^2}$

जो कि सरल नहीं है के बाद से नया माध्य से अलग है और : $\bar{y}$ $\bar{y}_1$ $\bar{y}_2$

$\bar{y} = \frac{1}{n_1 + n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_1 + n_2} z_i = \frac{n_1 \bar{y}_1 + n_2 \bar{y}_2}{n_1 + n_2}$

अंतिम सूत्र है:

$s = \sqrt{\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }}$

मानक विचलन के सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले बेसेल-सही (" -डिनॉमिनेटर") संस्करण के लिए, साधनों के परिणाम पहले की तरह हैं, लेकिन $n-1$

$s = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2 + n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1+n_2 - 1} }$

आप अधिक जानकारी यहां पढ़ सकते हैं: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation

— sashkello
स्रोत

यदि ओपी नमूना मानक विचलन के संस्करण के अनुसार बेसेल- करेक्ट ( विचरण के लिए

-डोमिनेटर) का उपयोग कर रहा है (जैसा कि लगभग हर कोई जो यहां पूछता है वह कर रहा होगा), यह जवाब उन्हें काफी नहीं देगा जो वे चाहते हैं।

n - 1

$n-1$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

उस स्थिति में, यह अनुभाग ट्रिक करता है। (नए से हटाए जाने के बाद से पुराने विकिपीडिया संस्करण से लिंक करने के लिए संपादित करें)

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b अच्छी पकड़। क्या आप इसे और अधिक उपयोगी बनाने के लिए उत्तर में संपादित कर सकते हैं?

— शशकेलो

मैं सबूत खोजने के लिए विकिपीडिया गया, लेकिन दुर्भाग्य से यह फार्मूला अब नहीं है। विकिपीडिया पर विस्तृत (प्रमाण) सुधारने या सुधारने की देखभाल? :)

— Rauni Lillemets

@RauniLillemets en.wikipedia.org/wiki/Pooled_variance#Pooled_standard_deviation

— क्रिस

यह स्पष्ट रूप से समूहों तक फैला है : $K$

s = \sqrt{\frac{\sum_{k = 1}^{K} (n_{k} - 1) s_{k}^{2} + n_{k} ({\bar{y}}_{k} - \bar{y})^{2}}{(\sum_{k = 1}^{K} n_{k}) - 1}}

$s = \sqrt{ \frac{\sum_{k=1}^K (n_k-1)s_k^2 + n_k(\bar{y}_k-\bar{y})^2} {(\sum_{k=1}^K n_k) -1} }$

— रवि वरदान
स्रोत

यह मानकों से थोड़ा संक्षिप्त है। क्या आप इसके बारे में थोड़ा और बता सकते हैं कि यह कैसे व्युत्पन्न है और यह सही उत्तर क्यों है?

— साइकोरैक्स

मुझे एक ही समस्या थी: खाली चौराहे के साथ कई सबसेट के मानक विचलन, साधन और आकार होने से, उन सबसेट के संघ के मानक विचलन की गणना करें।

I like the answer of sashkello and Glen_b ♦, but I wanted to find a proof of it. I did it in this way, and I leave it here in case it is of help for anybody.

So the aim is to see that indeed:

s = {(\frac{n_{1} s_{1}^{2} + n_{2} s_{2}^{2} + n_{1} ({\bar{y}}_{1} - \bar{y})^{2} + n_{2} ({\bar{y}}_{2} - \bar{y})^{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2}

$s = \left(\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2}$

Step by step:

{(\frac{n_{1} s_{1}^{2} + n_{2} s_{2}^{2} + n_{1} ({\bar{y}}_{1} - \bar{y})^{2} + n_{2} ({\bar{y}}_{2} - \bar{y})^{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i} - \bar{y_{1}})^{2} + \sum_{i = 1}^{n_{2}} (y_{i} - \bar{y_{2}})^{2} + n_{1} ({\bar{y}}_{1} - \bar{y})^{2} + n_{2} ({\bar{y}}_{2} - \bar{y})^{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} ((x_{i} - \bar{y_{1}})^{2} + ({\bar{y}}_{1} - \bar{y})^{2}) + \sum_{i = 1}^{n_{2}} ((y_{i} - \bar{y_{2}})^{2} + ({\bar{y}}_{2} - \bar{y})^{2})}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} + 2 {\bar{y_{1}}}^{2} - 2 x_{i} \bar{y_{1}} - 2 \bar{y_{1}} \bar{y})}{n_{1} + n_{2}} + \frac{\sum_{i = 1}^{n_{2}} (y_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} + 2 {\bar{y_{2}}}^{2} - 2 y_{i} \bar{y_{2}} - 2 \bar{y_{2}} \bar{y})}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{1}} \frac{x_{j}}{n_{1}}) + 2 n_{1} {\bar{y_{1}}}^{2} - 2 \bar{y_{1}} \sum_{i = 1}^{n_{1}} x_{i}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{\sum_{i = 1}^{n_{2}} (y_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{2}} \frac{y_{j}}{n_{2}}) + 2 n_{2} {\bar{y_{2}}}^{2} - 2 \bar{y_{2}} \sum_{i = 1}^{n_{2}} y_{i}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{1}} \frac{x_{j}}{n_{1}}) + 2 n_{1} {\bar{y_{1}}}^{2} - 2 \bar{y_{1}} n_{1} \bar{y_{1}}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{\sum_{i = 1}^{n_{2}} (y_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{2}} \frac{y_{j}}{n_{2}}) + 2 n_{2} {\bar{y_{2}}}^{2} - 2 \bar{y_{2}} n_{2} \bar{y_{2}}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{1}} \frac{x_{j}}{n_{1}})}{n_{1} + n_{2}} + \frac{\sum_{i = 1}^{n_{2}} (y_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{2}} \frac{y_{j}}{n_{2}})}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2}

$\left(\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(x_i - \bar{y_1})^2 + \sum_{i=1}^{n_2}(y_i - \bar{y_2})^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left((x_i - \bar{y_1})^2 + (\bar{y}_1-\bar{y})^2\right) + \sum_{i=1}^{n_2}\left((y_i - \bar{y_2})^2 + (\bar{y}_2-\bar{y})^2\right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 + 2\bar{y_1}^2 -2x_i\bar{y_1} -2\bar{y_1}\bar{y} \right)}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 + 2\bar{y_2}^2 -2y_i\bar{y_2} -2\bar{y_2}\bar{y} \right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right) + 2n_1\bar{y_1}^2 -2\bar{y_1}\sum_{i=1}^{n_1}x_i}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right) + 2n_2\bar{y_2}^2 -2\bar{y_2}\sum_{i=1}^{n_2}y_i}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right) + 2n_1\bar{y_1}^2 -2\bar{y_1}n_1\bar{y_1}}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right) + 2n_2\bar{y_2}^2 -2\bar{y_2}n_2\bar{y_2}}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right)}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2}$

Now the trick is to realize that we can reorder the sums: since each

- 2 \bar{y} \sum_{j = 1}^{n_{1}} \frac{x_{j}}{n_{1}}

$-2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}$ term appears

n_{1}

$n_1$ times, we can re-write the numerator as

\sum_{i = 1}^{n_{1}} (x_{i}^{2} + {\bar{y}}^{2} - 2 \bar{y} x_{i}),

$\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}x_i\right),$

and hence, continuing with the equality chain:

= {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1}} {(x_{i} - \bar{y})}^{2}}{n_{1} + n_{2}} + \frac{\sum_{i = 1}^{n_{2}} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = {(\frac{\sum_{i = 1}^{n_{1} + n_{2}} {(z_{i} - \bar{y})}^{2}}{n_{1} + n_{2}})}^{1 / 2} = s ◻

$= \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1 + n_2}\left(z_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = s \qquad \square$

This been said, there is probably a simpler way to do this.

The formula can be extended to $k$ subsets as stated before. The proof would be induction on the number of sets. The base case is already proven, and for the induction step you should apply a similar equality chain to the latter.

— iipr
स्रोत

मैं यह नहीं देखता कि प्रश्न कैसे स्पष्ट है। क्या एक ही वितरण से आने वाले दो डेटा सेटों को माना जाता है? क्या ओपी के पास वास्तविक अवलोकन उपलब्ध हैं या केवल माध्य और मानक विचलन का नमूना अनुमान है?

— माइकल आर। चेरिक

Yes they are assumed to come from the same distribution. Observations are not available, just the mean and standard deviation of the subsets.

— iipr

फिर एक सूत्र का उपयोग क्यों किया जा रहा है जिसमें व्यक्तिगत अवलोकन शामिल हैं?

— माइकल आर। चेरिक

शायद मेरा जवाब स्पष्ट नहीं है। मैं बस उपरोक्त सूत्र का एक गणितीय प्रमाण पोस्ट कर रहा हूं sजो मानक विचलन, साधनों और दो सबसेट के आकार से गणना करने की अनुमति देता है । सूत्र में व्यक्तिगत टिप्पणियों का कोई संदर्भ नहीं है। प्रमाण में है, लेकिन इसका सिर्फ एक प्रमाण है, और मेरे दृष्टिकोण से, सही है।

— इप्र