मान लीजिए कि आपके पास एक यादृच्छिक नमूना है X1,…,Xn एक वितरण से जिसमें एक पैरामीटर शामिल है θ जो मान को एक स्पेस स्पेस में मान लेता है Θ। आप पैरामीटर स्थान को इस रूप में विभाजित करते हैंΘ=Θ0∪Θ1, और आप परिकल्पना का परीक्षण करना चाहते हैं
H0:θ∈Θ0,
H1:θ∈Θ1,
जिन्हें क्रमशः शून्य और वैकल्पिक परिकल्पना कहा जाता है।
चलो X यादृच्छिक वेक्टर के सभी संभावित मूल्यों के नमूना स्थान को निरूपित करें X=(X1,…,Xn)। एक परीक्षण प्रक्रिया के निर्माण में आपका लक्ष्य इस नमूना स्थान को विभाजित करना हैXदो टुकड़ों में: महत्वपूर्ण क्षेत्र Cके मूल्यों से युक्त X जिसके लिए आप अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करेंगे H0 (और, इसलिए, विकल्प को स्वीकार करें H1), और स्वीकृति क्षेत्र Aके मूल्यों से युक्त X जिसके लिए आप अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार नहीं करेंगे H0 (और, इसलिए, विकल्प को अस्वीकार करें H1)।
औपचारिक रूप से, एक परीक्षण प्रक्रिया को एक मापने योग्य कार्य के रूप में वर्णित किया जा सकता है φ:X→{0,1}प्रत्येक परिकल्पना के पक्ष में किए गए निर्णयों के संदर्भ में स्पष्ट व्याख्या के साथ। महत्वपूर्ण क्षेत्र हैC=φ−1({1}), और स्वीकृति क्षेत्र है A=φ−1({0})।
प्रत्येक परीक्षण प्रक्रिया के लिए φ, हम इसके पावर फंक्शन को परिभाषित करते हैं πφ:Θ→[0,1] द्वारा
πφ(θ)=Pr(φ(X)=1∣θ)=Pr(X∈C∣θ).
शब्दों में, आपको को अस्वीकार करने की संभावना देता है जब पैरामीटर मान ।πφ(θ)H0θ
निर्णय को अस्वीकार करने के जब है गलत । इसलिए, किसी दी गई समस्या के लिए, आप केवल उन परीक्षण प्रक्रियाओं पर विचार करना चाह सकते हैं जिनके लिए , के लिए प्रत्येक , जिसमें कोई कुछ स्तर है महत्व ( )। ध्यान दें कि महत्व का स्तर परीक्षण प्रक्रियाओं के एक वर्ग की संपत्ति है । हम इस वर्ग का ठीक-ठीक वर्णन रूप में कर सकते हैं।
H0θ∈Θ0φπφ(θ)≤αθ∈Θ0α0<α<1Tα={φ∈{0,1}X:πφ(θ)≤α,for everyθ∈Θ0}.
प्रत्येक अलग - अलग परीक्षण प्रक्रिया , अधिकतम प्रायिकता को गलत तरीके से अस्वीकार करने के लिए को परीक्षण प्रक्रिया का आकार कहा जाता है ।φαφ=supθ∈Θ0πφ(θ)H0φ
यह इन परिभाषाओं कि, एक बार हम एक महत्व स्तर की स्थापना की है से सीधे इस प्रकार , और इसलिए वर्ग निर्धारित स्वीकार्य परीक्षण प्रक्रियाओं की, प्रत्येक परीक्षण प्रक्रिया इस वर्ग के भीतर आकार होगा , और इसके विपरीत। संक्षेप में, यदि और केवल यदि ।αTαφαφ≤αφ∈Tααφ≤α