अज्ञात पूर्वाग्रह के साथ एक सिक्के को देखते हुए, एक निष्पक्ष सिक्के से कुशलता से वेरिएंट उत्पन्न करें

Question

अज्ञात पूर्वाग्रह साथ एक सिक्के को देखते हुए , मैं कैसे वेरिएंट उत्पन्न कर सकता हूं - जितना संभव हो उतना कुशलता से - कि बर्नौली को प्रायिकता 0.5 के साथ वितरित किया जाता है? यही है, प्रति उत्पन्न चर की न्यूनतम फ़्लिप संख्या का उपयोग करना।$p$

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एक सरल उपाय सिक्के को दो बार फ्लिप करना है: यदि यह मैप है तो यह हेड्स के लिए है, अगर यह मैप टू टेल्स है। अन्यथा, प्रयोग को तब तक दोहराएं जब तक कि इन दोनों में से एक प्राप्त न हो जाए। टी $HT$$TH$

— कार्डिनल

@ कार्डिनल: अच्छा! जवाब क्यों नहीं जोड़ते?

— नील जी

@Glen_b: ठीक है, लेकिन क्या आप इसे प्रति उत्पन्न फ़्लिप की न्यूनतम संख्या के साथ कर सकते हैं?

— नील जी

@MichaelLugo: मेरा कहना है कि यह निश्चित रूप से पर निर्भर करता है । :-) यदि हमें पता है कि हम इसे एक फ्लिप में कर सकते हैं। यदि हमें पता है कि हम इसे दो में कर सकते हैं और, हम जानते हैं कि यह दोनों मामलों में इष्टतम है। उत्तर एन्ट्रापी से संबंधित होना चाहिए । यदि हम उस अलावा बारे में कुछ भी नहीं जानते हैं , तो मुझे संदेह है कि एक सरल गेम-थ्योरी परिणाम मेरे पहले कमेंट में योजना के करीब आएगा, जो कि उपयुक्त तरीके से "इष्टतम" होगा। पी = 1 / 2 पी = 1 / 4 एच ( पी $p$$p = 1/2$$p = 1/4$$H(p)$पी ∈ ( 0 , 1 $p$$p \in (0,1)$

— कार्डिनल

नमस्कार, Giorgio1927, और साइट पर आपका स्वागत है! कृपया इस प्रश्न के लिए "स्व-अध्ययन" टैग जोड़ें, क्योंकि यह लोगों को यह देखने देता है कि उन्हें आपको केवल एक प्रदान करने के बजाय उत्तर के लिए मार्गदर्शन करना चाहिए।

— जूलमैन

Answer 1

यह कई अच्छे समाधानों के साथ एक प्रसिद्ध समस्या है, जिसकी चर्चा यहाँ और स्टैकओवरफ़्लो में की गई है (ऐसा लगता है कि मैं एक से अधिक लिंक पोस्ट नहीं कर सकता लेकिन एक त्वरित Google खोज आपको कुछ दिलचस्प प्रविष्टियाँ देता है)। विकिपीडिया प्रविष्टि पर एक नज़र डालें

http://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_biased_coin

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क्षमा करें, मैंने प्रश्न को संशोधित किया ताकि यह इतनी आसानी से Google- सक्षम न हो ...

— नील जी

प्रश्न का उत्तर देने के बारे में सोचने वाले लोगों के लिए, ध्यान दें कि यह उत्तर मेरे संपादित प्रश्न के लिए इष्टतम नहीं है।

— नील जी

Answer 2

यह एक क्लासिक समस्या है, मेरा मानना ​​है कि मूल रूप से वॉन न्यूमैन को जिम्मेदार ठहराया गया है। एक समाधान जोड़े में सिक्के को अलग रखने तक है, जब तक कि जोड़े अलग-अलग न हों, और फिर जोड़ी में पहले सिक्के के परिणाम के लिए स्थगित कर दें।

स्पष्ट रूप से टॉस का परिणाम है , जिसमें पहला सिक्का है, और दूसरा सिक्का है। प्रत्येक सिक्के में प्रमुखता के होते हैं। फिर समरूपता के कारण, जिसका अर्थ है | इस समरूपता को स्पष्ट रूप से देखने के लिए कि तात्पर्य है कि परिणाम या , दोनों स्वतंत्रता के कारण समान रूप से संभावित हैं।मैं एक्स मैं Y मैं पी पी ( एक्स मैं = एच | एक्स मैं ≠ वाई मैं ) = पी ( एक्स मैं = टी | एक्स मैं ≠ वाई मैं ) पी ( एक्स मैं = एच | एक्स मैं ≠ वाई मैं ) = 1 / 2 एक्स मैं ≠ $(X_i,Y_i)$$i$$X_i$$Y_i$$p$$P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=P(X_i=T|X_i\neq Y_i)$$P(X_i=H|X_i\neq Y_i)=1/2$ ( एच , टी ) ( टी , एच $X_i\neq Y_i$$(H,T)$$(T,H)$

जाहिर है, ऐसी असमान जोड़ी तक प्रतीक्षा समय है

$$1/P(X\neq Y)=\frac{1}{1-p^2-(1-p)^2}=\frac{1}{2p(1-p)},$$

जो ऊपर चल रही है के रूप में हो जाता है करीब करने के लिए 0 या 1 (जो समझ में आता है)।$p$

Answer 3

मुझे यकीन नहीं है कि शब्दों को कुशलता से कैसे योग किया जाए, लेकिन जब भी रोल की कुल संख्या और की कुल संख्या इस तरह की हो सकती है, तो हम रोक सकते हैं कि तब भी है जब हम अलग-अलग विभाजन कर सकते हैं। आदेश जो हम प्राप्त कर सकते हैं और अलग-अलग आउटपुट लेबल के अनुरूप प्रत्येक के बराबर संभावना के दो समूहों में । हम सावधान रहने की है कि हम पहले से ही इन तत्वों, अर्थात् के लिए बंद कर दिया है नहीं, कि कोई भी तत्व लंबाई का एक उपसर्ग है की जरूरत है के साथ सफलताओं ऐसी है कि भी है। मुझे यकीन नहीं है कि कैसे इसे अपेक्षित संख्या में फ़्लिप किया जाए।टी ($n$$t$ ntn′t′ ( n$\binom{n}{t}$$n$$t$$n'$$t'$$\binom{n'}{t'}$

उदाहरण देकर स्पष्ट करने के लिए:

हम TH या HT पर रोक सकते हैं क्योंकि इनमें समान संभावना है। पास्कल के त्रिभुज को नीचे ले जाने पर, अगली पंक्ति भी चौथी पंक्ति में है: 4, 6, 4. इसका मतलब है कि हम रोल्स के बाद रुक सकते हैं यदि एक सिर ऊपर आ गया है क्योंकि हम एक द्विदलीय मिलान बना सकते हैं: एचएचएचटी एचएचटीएच के साथ, और तकनीकी रूप से एचटीएचएच के साथ यद्यपि हम पहले ही उन लोगों के लिए रुक गए थे। इसी तरह, TTHH के साथ मैचिंग एचएचटीटी (बाकी, हम उन तक पहुँचने से पहले ही रोक दिया जाता है) की पैदावार करते हैं।$\binom42$

के लिए , दृश्यों के सभी उपसर्गों बंद कर दिया है। यह पर थोड़ा और दिलचस्प हो जाता है, जहाँ हम FFFFTTFT को FFFFTTTF से मिलाते हैं।($\binom52$$\binom83$

के लिए 8 रोल के बाद, बंद नहीं होने की संभावना है अगर हम में से बंद कर दिया है रोल के अपेक्षित संख्या के साथ । समाधान के लिए जहां हम जोड़े को अलग-अलग रखने तक रोकते हैं, रुके हुए नहीं होने की संभावना अपेक्षित संख्या में रोल के साथ होती है यदि हम 4 से बंद हो गए हैं। पुनरावृत्ति द्वारा, अपेक्षित फ़्लिप पर एक ऊपरी सीमा प्रस्तुत एल्गोरिथ्म के लिए । $p=\frac12$$\frac1{128}$$\frac{53}{16}$$\frac{1}{16}$$\frac{128}{127} \cdot \frac{53}{16} = \frac{424}{127} < 4$

मैंने रुकने के बिंदुओं के बारे में जानने के लिए एक पायथन प्रोग्राम लिखा:

import scipy.misc
from collections import defaultdict


bins = defaultdict(list)


def go(depth, seq=[], k=0):
    n = len(seq)
    if scipy.misc.comb(n, k, True) % 2 == 0:
        bins[(n,k)].append("".join("T" if x else "F"
                                   for x in seq))
        return
    if n < depth:
        for i in range(2):
            seq.append(i)
            go(depth, seq, k+i)
            seq.pop()

go(8)

for key, value in sorted(bins.items()):
    for i, v in enumerate(value):
        print(v, "->", "F" if i < len(value) // 2 else "T")
    print()

प्रिंट:

FT -> F
TF -> T

FFFT -> F
FFTF -> T

FFTT -> F
TTFF -> T

TTFT -> F
TTTF -> T

FFFFFT -> F
FFFFTF -> T

TTTTFT -> F
TTTTTF -> T

FFFFFFFT -> F
FFFFFFTF -> T

FFFFFFTT -> F
FFFFTTFF -> T

FFFFTTFT -> F
FFFFTTTF -> T

FFFFTTTT -> F
TTTTFFFF -> T

TTTTFFFT -> F
TTTTFFTF -> T

TTTTFFTT -> F
TTTTTTFF -> T

TTTTTTFT -> F
TTTTTTTF -> T

Comments

जब अज्ञात होता है, तो किसी भी समाधान को _ के मान को सीमित करने के लिए काम करना पड़ता है और । यह स्पष्ट करना चाहिए कि @ कार्डिनल का समाधान इष्टतम है। Flips की अपेक्षित संख्या (अज्ञात दिया ज़ाहिर है,) है।p → 0 p → 1 p 2 / ( ( p ( 1 - p ) $p$$p\to 0$$p\to 1$$p$$2/((p(1-p))$

— whuber

@ शुभकर्ता: मैं यह नहीं देखता कि यह इष्टतम क्यों होना चाहिए। मेरा समाधान उसके सभी मामलों में बंद हो जाता है। हालांकि, वह उदाहरण के लिए tthh के बाद रोल करना जारी रखेगा, जबकि इसे रोकना संभव है।

— नील जी

आपका समाधान क्या है? मुझे यहाँ वर्णित एक नहीं दिख रहा है। मुझे लगता है कि हमारे पास कार्डिनल के समाधान की विभिन्न अवधारणाएँ हो सकती हैं। मैं इसका मतलब समझता हूं "जब भी सिर की संख्या पूंछों की संख्या के बराबर होती है और नक्शे को अनुक्रम में पहले के मूल्य के बराबर होती है।"

— whuber

@whuber: इसका मतलब यह है: "एक सरल उपाय यह है कि सिक्के को दो बार फ्लिप किया जाए: यदि यह एचटी मैप है तो इसे हेड्स, यदि यह TH मैप्स टू टेल्स है। अन्यथा, इन दोनों में से किसी एक को प्राप्त होने तक प्रयोग को दोहराएं।" यह HHTT के लिए बंद नहीं होगा। यह एक इंडेक्स पर एक जोड़ी एचटी या टीएच का इंतजार करता है।

— नील जी

मेरा समाधान यह है कि द्विध्रुवीय मिलान उपसर्गों (जिनमें से कोई भी एक उपसर्ग कोई और हो) का मिलान ढूंढना है और मिलान के प्रत्येक आधे को या तो सिर या पूंछ के साथ जोड़ना है।

— नील जी