बहुआयामी बिंदुओं के बीच विचरण कैसे खोजें?

मान लीजिए कि मेरे पास एक मैट्रिक्स X है जो p द्वारा n है, अर्थात इसमें n अवलोकन हैं, जिसमें प्रत्येक अवलोकन p- आयामी स्थान के साथ है।

मुझे इन n अवलोकनों का विचरण कैसे पता चलेगा?

मामले में जहां पी = 1, मुझे बस नियमित रूप से विचरण सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है। उन मामलों के बारे में जहां पी> 1।

variance

— statnub
स्रोत

एक के लिए आयामी यादृच्छिक चर , हम विचरण के निम्नलिखित परिभाषा है: $p$ $X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

V a r (X) = E [(X - E X) {(X - E X)}^{⊺}] = (\begin{matrix} V a r (X_{1}) & \dots & C o v (X_{1}, X_{p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ C o v (X_{p}, X_{1}) & \dots & V a r (X_{p}) \end{matrix})

$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$

यही है, एक यादृच्छिक वेक्टर के विचरण को मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो मुख्य विकर्ण और अन्य घटकों के बीच विभिन्न घटकों के बीच सहसंबंध के सभी प्रकारों को संग्रहीत करता है। नमूना कोविर्सियस मैट्रिक्स तब जनसंख्या चर के लिए नमूना एनालॉग्स में प्लगिंग द्वारा गणना की जाएगी: $p \times p$

\frac{1}{n - 1} (\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1})}^{2} & \dots & \sum_{i = 1}^{n} (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \sum_{i = 1}^{n} (X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p}) (X_{i 1} - {\bar{X}}_{\cdot 1}) & \dots & \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i p} - {\bar{X}}_{\cdot p})}^{2} \end{matrix})

$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$ जहां फीचर लिए th अवलोकन को निरूपित करता है और नमूना नमूना

X_{i j}

${X_{ij}}$

i

$i$

j

$j$

{\bar{X}}_{\cdot j}

${{\bar X}_{ \cdot j}}$

j

$j$ वें फ़ीचर। संक्षेप में, एक यादृच्छिक वेक्टर के विचरण को मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें व्यक्तिगत संस्करण और सहसंयोजक होते हैं। इसलिए यह सभी सदिश घटकों के लिए व्यक्तिगत रूप से नमूना भिन्नताओं और सहसंयोजकों की गणना करने के लिए पर्याप्त है।

— फिलिप बर्कहार्ट
स्रोत