"सीमित" और "स्थिर" वितरण के बीच अंतर क्या है?

मैं मार्कोव श्रृंखला पर एक सवाल कर रहा हूं और पिछले दो भाग यह कहते हैं:

क्या यह मार्कोव श्रृंखला एक सीमित वितरण के अधिकारी हैं। यदि आपका उत्तर "हां" है, तो सीमित वितरण ढूंढें। यदि आपका उत्तर "नहीं" है, तो क्यों समझाएं।

क्या इस मार्कोव श्रृंखला में एक स्थिर वितरण है। यदि आपका उत्तर "हां" है, तो स्टेशनरी वितरण ढूंढें। यदि आपका उत्तर "नहीं" है, तो क्यों समझाएं।

अंतर क्या है? इससे पहले, मैंने सोचा था कि जब आप का उपयोग करके इसे सीमित करते हैं तो वितरण वितरण होता $P = CA^n C^{-1}$ है, लेकिन यह $n$ 'th' ट्रांजिशन मैट्रिक्स है। वे का उपयोग कर सीमित वितरण गणना की $\Pi = \Pi P$ है, जो मैंने सोचा था कि स्थिर वितरण किया गया था।

जो तब है?

markov-process

— Kaish
स्रोत

आपकी पाठ्यपुस्तक एक ऐसा अंतर पैदा कर सकती है जो सार्वभौमिक नहीं है: उदाहरण के लिए, वितरण को सीमित करने पर कार्ल सिगमैन के नोट्स "सीमित" और "स्थिर" वितरण को समानार्थी बताते हैं (परिभाषा पी। 5 के तल पर 2.3)। इसलिए आपको अंतर को निर्धारित करने के लिए अपनी पाठ्यपुस्तक में परिभाषाओं से परामर्श करना चाहिए ।

— whuber

@whuber यह काम की तरह कुछ कह रहा है

lim_{n \to \infty} P_{i i}^{(n)}

$\lim_{n \rightarrow \infty} P_{ii}^{(n)}$ और इस मौजूद नहीं है। यह तो पर चला जाता है कहते हैं "भले ही सीमित वितरण मौजूद नहीं है, स्थिर है। Let

Π = (π_{0}, π_{1}, . . ., π_{n})

$\Pi = (\pi_0, \pi_1, ... ,\pi_n)$ स्थिर वितरण हो ...." लेकिन मैं गारंटी आप पहले प्रश्न में सीमित वितरण की गणना करने के लिए, उन्होंने इसे इस तरह हल किया। क्या इससे आपको कोई मतलब है?

— काश

@whuber वास्तव में, मैं काफी अब उलझन में हूँ क्योंकि पिछले सीमित वितरण सवाल में, वे satisy नहीं है

समानता है, तो हो सकता है कि अलग है?

π_{0} + π_{1} + π_{2} = 1

$\pi_0 + \pi_1 + \pi_2 = 1$

— काश

एक स्थिर वितरण वह है जो समय के साथ स्थिर होता है। जहां तक मुझे पता है, एक मार्कोव श्रृंखला का सीमित वितरण स्थिर है और यदि एक मार्कोव श्रृंखला में एक स्थिर वितरण है तो यह एक सीमित वितरण भी है।

— छायाकार जू

एंड्रियास द्वारा यहां दिए गए उत्तर quora.com/ ... की

— सिद्धार्थ शाक्य

जवाबों:

से स्टोकेस्टिक मॉडलिंग के लिए एक परिचय Pinsky और कार्लिन (2011) से:

एक सीमित वितरण, जब यह मौजूद होता है, तो हमेशा एक स्थिर वितरण होता है, लेकिन रूपांतरण सही नहीं होता है। एक स्थिर वितरण मौजूद हो सकता है लेकिन कोई सीमित वितरण नहीं। उदाहरण के लिए, समय-समय पर मार्कोव श्रृंखला जिसका संक्रमण संभावना मैट्रिक्स है के लिए कोई सीमित वितरण है लेकिन
$P = ‖ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ‖$ $\mathbf{P}=\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|$ एक स्थिर वितरण है, क्योंकि $\pi=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ (पी। 205)। $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ‖ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ‖ = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\left\|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right\|=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

एक पूर्व अनुभाग में, उन्होंने पहले से ही " सीमित संभावना वितरण " को किया था $\pi$

$lim_{n \to \infty} P_{i j}^{(n)} = π_{j} f o r j = 0, 1, \dots, N$ $\lim_{n\rightarrow\infty}P_{ij}^{(n)}=\pi_j~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$

और समान रूप से

(पृष्ठ 165)।
$lim_{n \to \infty} \Pr {X_{n} = j | X_{0} = i} = π_{j} > 0 f o r j = 0, 1, \dots, N$ $\lim_{n\rightarrow\infty}\operatorname{Pr}\{X_n=j|X_0=i\}=\pi_j>0~\mathrm{for}~j=0,1,\dots,N$

ऊपर दिए गए उदाहरण निश्चित रूप से दोलनों में होते हैं, और इसलिए उसी सीमा में विफल होते हैं जिस तरह से अनुक्रम एक सीमा तक विफल रहता है। $\{1,0,1,0,1,\dots\}$

वे कहते हैं कि एक नियमित मार्कोव श्रृंखला (जिसमें सभी एन-स्टेप संक्रमण संभावनाएं सकारात्मक हैं) में हमेशा एक सीमित वितरण होता है, और यह साबित होता है कि यह अद्वितीय गैर-समाधानकारी समाधान होना चाहिए

(पी। 168)
$π_{j} = \sum_{k = 0}^{N} π_{k} P_{k j}, j = 0, 1, \dots, N, \sum_{k = 0}^{N} π_{k} = 1$ $\pi_j=\sum_{k=0}^N\pi_kP_{kj},~~j=0,1,\dots,N,\\ \sum_{k=0}^N\pi_k=1$

फिर उदाहरण के रूप में उसी पृष्ठ पर, वे लिखते हैं

किसी भी सेट संतोषजनक (4.27) एक कहा जाता है स्थिर संभावना वितरण मार्कोव श्रृंखला की। "स्थिर" शब्द उस संपत्ति से प्राप्त होता है, जो एक स्थिर वितरण के अनुसार एक मार्कोव श्रृंखला शुरू हुई थी, इस वितरण का सभी बिंदुओं पर पालन करेगी। औपचारिक रूप से, अगर , तो सभी के लिए $(\pi_i)_{i=0}^{\infty}$ $\operatorname{Pr}\{X_0=i\}=\pi_i$ $\operatorname{Pr}\{X_n=i\}=\pi_i$ । $n=1,2,\dots$

जहाँ (4.27) समीकरणों का समुच्चय है

$π_{i} \geq 0, \sum_{i = 0}^{\infty} π_{i} = 1, a n d π_{j} = \sum_{i = 0}^{\infty} π_{i} P_{i j} .$ $\pi_i \geq 0, \sum_{i=0}^{\infty} \pi_i=1,~\mathrm{and}~\pi_j = \sum_{i=0}^{\infty} \pi_iP_{ij}.$

जो ठीक उसी तरह की स्थिर स्थिति है, जैसा कि अब अनंत राज्यों के अलावा है।

स्टेशनरिटी की इस परिभाषा के साथ, पृष्ठ 168 पर दिए गए बयान को पूर्वव्यापी रूप से बहाल किया जा सकता है:

एक नियमित मार्कोव श्रृंखला का सीमित वितरण एक स्थिर वितरण है।
यदि मार्कोव श्रृंखला का सीमित वितरण एक स्थिर वितरण है, तो स्थिर वितरण अद्वितीय है।

— shadowtalker
स्रोत

क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि स्थिरता के लिए 'संक्रमण संभावनाएं समय के साथ नहीं बदलती हैं' से आपका क्या मतलब है? दोनों सीमित और स्थिर वितरण राज्यों की संभावनाओं के बारे में हैं।

— जुहो कोक्कल जूला

हाँ, मैं देख रहा हूँ कि आपने अपना उत्तर लिखा है लेकिन मैंने अपने को और अधिक सही होने के लिए पुनर्गठित किया है।

— छायाकार

मैं अभी भी नहीं मिला। मेरा मतलब है कि जब आप कहते हैं "अनंत राज्यों की संख्या को छोड़कर ...."? क्या आप कृपया इसे और अधिक स्पष्ट रूप से स्पष्ट कर सकते हैं।

— रोनी

@roni दो भाव समान यदि आप जाने हैं

N = \infty

$N=\infty$

— shadowtalker

पहले प्रकाश डाला ब्लॉक में

उदाहरण के लिए स्थिर वितरण, है, हालांकि यह बाद से कोई सीमित वितरण है

थरथराना जाएगा, और यह इसलिए कोई स्थिर अवस्था है। क्या इसका मतलब यह है कि यह स्थिर स्थिति के अस्तित्व की गारंटी नहीं देगा यदि केवल स्थिर वितरण की गणना की जाती है?

π = (1 / 2, 1 / 2)

$\pi=(1/2,1/2)$

P^{n}

$P^{n}$

— गुआयांग किन

एक स्थिर वितरण इस तरह के एक वितरण है कि अगर कदम पर राज्यों में वितरण है भी कदम पर राज्यों में वितरण, तो है । अर्थात्, एक सीमित वितरण इस तरह के एक वितरण है कि कोई बात नहीं प्रारंभिक वितरण है, राज्यों और converges से अधिक वितरण के लिए : चरणों की संख्या अनंत को जाता है के रूप में $\pi$ $k$ $\pi$ $k+1$ $\pi$

π = π P .

$\begin{equation} \pi = \pi P. \end{equation}$

π

$\pi$

π

$\pi$

lim_{k \to \infty} π^{(0)} P^{k} = π,

$\begin{equation} \lim_{k\rightarrow \infty} \pi^{(0)} P^k = \pi, \end{equation}$ के स्वतंत्र

। उदाहरण के लिए, हमें एक मार्कोव श्रृंखला जिसका दोनों राज्यों एक सिक्के के पहलू हैं, पर विचार करते हैं

। प्रत्येक चरण में सिक्के को उल्टा करना होता है (संभावना 1 के साथ)। ध्यान दें कि जब हम राज्य वितरण की गणना करते हैं, तो वे पिछले चरणों पर सशर्त नहीं होते हैं, अर्थात, जो व्यक्ति संभावनाओं की गणना करता है, वह सिक्का नहीं देखता है। तो, संक्रमण मैट्रिक्स

हम पहले यह बेतरतीब ढंग से flipping द्वारा सिक्का प्रारंभ करते हैं (

π^{(0)}

$\pi^{(0)}$

{h e a d s, t a i l s}

$\{heads, tails\}$

P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. \end{equation}$

), फिर बाद के सभी समय कदम भी इस वितरण का अनुसरण करते हैं। (यदि आप एक उचित सिक्का फ्लिप करते हैं, और फिर इसे उल्टा कर देते हैं, तो सिर की संभावना अभी भी

)। इस प्रकार,

इस मार्कोव श्रृंखला के लिए एक स्थिर वितरण है।

π^{(0)} = (\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\pi^{(0)} = \begin{pmatrix}0.5 & 0.5\end{pmatrix}$

0.5

$0.5$

(\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

$2/3$ $2/3$ $1/3$

$6$

P = (\begin{matrix} 1 / 6 & 5 / 6 \\ 5 / 6 & 1 / 6 \end{matrix}) .

$\begin{equation} P = \begin{pmatrix} 1/6 & 5/6 \\ 5/6 & 1/6 \end{pmatrix}. \end{equation}$

0.5

$0.5$

(\begin{matrix} 0.5 & 0.5 \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

— जुहो कोक्कल
स्रोत

प्रारंभिक स्थिति को भूलने के बारे में अच्छी बात है, मैंने अपने जवाब में इस पर पूरी तरह से काम किया।

— छायाकार

P = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$P = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

@GuoyangQin यदि आपके पास कोई नया प्रश्न है, तो आप इसे एक प्रश्न के रूप में पोस्ट कर सकते हैं (यदि यह प्रश्न प्रदान करने में मदद करता है तो इसे लिंक करना)। हालाँकि मैंने इस संदर्भ में "स्थिर स्थिति" पर विचार किया होगा, इसका मतलब "स्थिर वितरण" होगा, इसलिए इस प्रश्न में इस शब्द को स्पष्ट रूप से परिभाषित करना सबसे अच्छा होगा

— जुहो कोक्कल

संकेतन को एक तरफ रखकर, "स्थिर" शब्द का अर्थ है "एक बार जब आप वहां पहुंचेंगे, तो आप वहां रहेंगे"; जबकि शब्द "सीमित" का अर्थ है "यदि आप बहुत दूर जाते हैं तो आप अंततः वहां पहुंचेंगे"। बस सोचा कि यह मददगार हो सकता है।

— नीला आकाश
स्रोत

यह स्पष्ट नहीं है कि यह प्रश्न पर कैसे लागू होता है। क्या आप समझाएँगे?

— whuber

Hi @whuber, मेरा कहने का मतलब यह है कि एक सीमित वितरण आवश्यक रूप से एक स्थिर वितरण है, जबकि एक स्थिर वितरण आवश्यक रूप से एक सीमित वितरण नहीं है। इसलिए एक अंतर है। यह अनिवार्य रूप से अन्य उत्तरों के समान है लेकिन मुझे लगता है कि इसे याद रखना आसान है।

— BlueSky

स्पष्टीकरण के लिए धन्यवाद: यह हमें दिखाता है कि आप क्या हासिल करने का प्रयास कर रहे हैं। हालाँकि, मैं "स्थिर" के आपके वर्णन की व्याख्या करने का कोई उचित तरीका नहीं ढूँढ सकता जो गणितीय परिभाषा के अनुरूप हो।

— व्हिबर

@whuber BlueSky की फंतासिंग मुझे "निश्चित बिंदु" की एक बेहद सीधी सादी अंग्रेजी धारणा की तरह लगती है - मुझे यकीन नहीं है कि आपकी वस्तु का क्या मतलब हो सकता है।

— रिचर्ड रैस्ट