कुल पर सशर्त, नकारात्मक द्विपद का वितरण क्या है

Question

यदि iid नकारात्मक द्विपद हैं, तो का वितरण क्या दिया जाता है$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$x_1 + x_2 + \ldots + x_n = N\quad$ ?

$N$ तय है।

यदि तो कुल पर सशर्त, है। मुझे यकीन नहीं है कि यह नकारात्मक द्विपद के लिए सच है, क्योंकि यह एक मिश्रण पॉइज़न है।$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

यदि आप जानना चाहते हैं, तो यह एक होमवर्क समस्या नहीं है।

Comments

गामा वितरण और डिरिक्लेट के बीच संबंध को देखते हुए, मेरा पहला अनुमान यह होगा कि - नकारात्मक द्विपद पर कम से कम उचित प्रतिबंध दिया गया हो - यह कुछ मामलों में डिरिचलेट-बहुराष्ट्रीय हो सकता है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

आपकी पोस्ट और मेरी टिप्पणी में शर्तों के आसपास गुगली कुछ हिट पैदा करती है जो सुझाव देती है कि यह आगे बढ़ने के लिए एक उपयोगी रेखा हो सकती है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 1

देर से जवाब के लिए क्षमा करें, लेकिन यह मुझे भी खराब कर दिया और मुझे जवाब मिल गया। वितरण वास्तव में डिरिचलेट-मल्टीमोमियल और व्यक्तिगत नकारात्मक है। द्विपद वितरण को भी समान होने की आवश्यकता नहीं है, जब तक कि उनके Fano कारक (माध्य के अनुपात का अनुपात) समान हो।

लंबा जवाब:

यदि आप NB को निम्न के रूप में परिभाषित करते हैं:

$p(X = x | \lambda, \theta) = NB(x | \lambda, \theta) = {{\theta^{-1} \lambda + x - 1} \choose {x}} \left ( \frac{1}{1 + \theta^{-1}} \right)^x \left ( \frac{\theta^{-1}}{1 + \theta^{-1}} \right)^{\theta^{-1} \lambda}$

फिर और और$E(X) = \lambda$$Var(X) = \lambda (1 + \theta)$

$\forall i: X_i \sim NB(\lambda_i, \theta)$ का तात्पर्य है

$\sum X_i \sim NB(\sum \lambda_i, \theta)$

फिर संभावना को देखते हुए योग:

$\frac{\prod NB(x_i | \lambda_i, \theta)}{NB(\sum x_i | \sum \lambda_i, \theta)} = \frac{\left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} \prod {{\theta^{-1} \lambda_i + x_i - 1} \choose {x_i}}} { \left(\frac{1}{1+\theta^{-1} } \right) ^{\sum x_i} \left(\frac{\theta^{-1} }{1+\theta^{-1} } \right) ^{\theta^{-1} \sum \lambda_i} {{\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i - 1} \choose {\sum x_i}}} = \\ = \frac{\Gamma(\sum x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i) }{\Gamma(\theta^{-1} \sum\lambda_i + \sum x_i) } \prod \frac{ \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i + x_i)}{\Gamma(x_i + 1) \Gamma(\theta^{-1}\lambda_i)} \\ =DM(x_1, ..., x_n| \theta^{-1}\lambda_1, ... , \theta^{-1} \lambda_n)$

जहां को डिरिक्लेट-मल्टीनोमियल संभावना है। यह केवल इस तथ्य से निकलता है कि बहुराष्ट्रीय गुणांक को छोड़कर, बाईं ओर के अंश में बहुत सारे शब्द रद्द हो जाते हैं, आपको केवल गामा फ़ंक्शन शब्दों के साथ छोड़ देते हैं जो डीएम संभावना के समान होते हैं।$DM$

यह भी ध्यान दें कि इस मॉडल के मापदंडों को पहचानने योग्य नहीं हैं क्योंकि सभी में एक साथ कमी के साथ में वृद्धि होती है और वास्तव में एक ही संभावना में परिणाम होता है।$\theta$$\lambda_i$

इसके लिए मेरे पास सबसे अच्छा संदर्भ Guimarães & Lindrooth (2007) के खंड 2 से 3.1 है : समूहबद्ध सशर्त लॉग मॉडल में अतिविशिष्टता के लिए नियंत्रण: ड्यूरिचलेट-बहुराष्ट्रीय प्रतिगमन का कम्प्यूटेशनल रूप से सरल अनुप्रयोग - यह दुर्भाग्य से देय है, लेकिन मैं सक्षम नहीं था एक गैर-भुगतान किए गए संदर्भ को ढूंढें।