क्या लिए मानक विचलन से पूर्ण विचलन छोटा है ?

Question

मैं इस परिभाषा के साथ सामान्य मामले में मानक विचलन के साथ पूर्ण निरपेक्ष विचलन की तुलना करना चाहता हूं:

$$MAD = \frac{1}{n-1}\sum_1^n|x_i - \mu|, \qquad SD = \sqrt{\frac{\sum_1^n(x_i-\mu)^2}{n-1}}$$

जहां ।$\mu =\frac{1}{n}\sum_1^n x_i$

क्या यह सच है कि प्रत्येक ?$MAD \le SD$$\{x_i\}^n_1$

यह , becouse , हर लिए गलत है ।$n=2$$x+y \ge \sqrt{x^2+y^2}$$x, y \ge 0$

यह दिखाना आसान है:

$$MAD \le \sqrt{\frac{n}{n-1}} \times SD$$

Answer 1

नहीं, सामान्य तौर पर यह सच नहीं है।

इसे देखने का एक सरल तरीका अनुकरण करना है। मैं आमतौर पर एक अनंत लूप को एक साथ हैक करता हूं जो काउंटरटेम्पल का पता लगाने पर बंद हो जाता है। यदि यह लंबे समय तक चलता है, तो मैं यह सोचना शुरू करता हूं कि क्या यह दावा सही हो सकता है। वर्तमान मामले में, मेरा आर कोड इस तरह दिखता है:

while ( TRUE ) {
    xx <- runif(3)
    mad <- sum(abs(xx-mean(xx)))/(length(xx)-1)
    sd <- sqrt(sum((xx-mean(xx))^2)/(length(xx)-1))
    if ( mad > sd ) break
}
xx

यह इस प्रतिरूप की पैदावार देता है:

[1] 0.7852480 0.0760231 0.8295893

Comments

यह सिमुलेशन का उपयोग करने का एक चतुर तरीका है! मुझे गलत तरीके से जवाब देने जेन्सेन की असमानता ... जो जाहिरा तौर पर लागू नहीं है की वजह से है कि परिणाम हमेशा धारण से सहेजा गया है जब आप से विभाजित के बजाय$n-1$$n$

— CloseToC

हालाँकि मुझे लगता है कि शायद एक जवाब जो तुलना करता है हर के साथ माध्य विचलन की तुलना में , मुझे लगता है, उपयोगी हो, क्योंकि यह को संदर्भ देगा। $s_n$$n$

— Glen_b -Reinstate Monica

Answer 2

यहां गणितीय दृष्टिकोण अधिक है। सबसे पहले, यह शायद सच है कि चर के परिवर्तन से, कोई यह मान सकता है कि माध्य शून्य है। निश्चित रूप से एक काउंटर उदाहरण खोजने के दृष्टिकोण से, यह स्वीकार्य है। तो, की स्थापना , प्रस्तावित असमानता के दोनों ओर के वर्ग और से (n-1) एक के माध्यम से गुणा प्रस्तावित असमानता के साथ छोड़ दिया जाता है -$\mu = 0$

$(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|)^2 \leq (n-1)(\sum_{i=1}^{i=n}|x_i|^2))$

यह गड़बड़ लग रहा है। (n-1) सभी के लिए बनाने के लिए पर्याप्त नहीं हैशर्तें। विशेष रूप से अगर सभी निरपेक्ष मूल्य में समान हैं। मेरा पहला अनुमान n = 4 और । इससे । मुझे लगता है कि इस तरह की बात असमानताओं में रुचि रखने वाले लोगों को अच्छी तरह से पता है।$|x_i| |x_j|$$x_i$$x_1 = x_2 =1, x_3=x_4 = -1$$\frac{4}{3} \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$

Comments

सभी लिए भी आप अपने निर्माण का उपयोग कर सकते हैं (हर ) और इस प्रकार यह कर सकते हैं यह सच नहीं है कि सभी । $n$$x_i = \pm 1$ $$MAD = \frac {n}{n-1} > \sqrt{\frac {n}{n-1}} = SD$$ $MAD \leq SD$$x_i$

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

सभी विषम आप मेरे निर्माण का उपयोग कर सकते हैं ( , और फिर हर दूसरे को प्रत्यावर्ती प्लस माइनस के साथ)। तो फिर तुम है जहां असमानता से गुणा करके स्पष्ट किया जा सकता है और ऐसा चुकता करना कि यह$n$$x_0=-2$$x_1=x_2=1$$x_i = \pm1$ $$MAD = \frac {n+1}{n-1} > \sqrt {\frac {n+3}{n-1}} = SD$$ $n-1$ $$n^2+2n+1 = (n+1)^2 \> (n+3)(n-1) =n^2+2n-3$$

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

लेकिन यह सच नहीं है कि सभी संभव । शर्तें( उनमें से है) के लिए शब्द द्वारा बनाया जा सकता है जब की पर्याप्त संख्या छोटी हो। $MAD > SD$$x_i$$|x_i| |x_j|$$n^2$$(n-1)$$x_i$

— सेक्सटस एम्पिरिकस

@ मैर्टिज़न ऑल मैं कह रहा था कि थोड़ा बीजगणित करने से काउंटर-उदाहरणों को खोजने का तरीका बताया गया। मैं किसी भी तरह से नहीं सोचता, और मुझे नहीं लगता कि मैंने यह धारणा भी दी कि मैंने सोचा था, कि असमानता हमेशा झूठी या सच थी।

— meh

टिप्पणी "(एन -1) के लिए बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है ..." मेरे लिए थोड़ा मुश्किल लग रहा था। कुछ मामलों में यह पर्याप्त हो सकता है।

— सेक्सटस एम्पिरिकस