क्या तीसरे क्रम में स्पर्शोन्मुखता मौजूद है?

Question

आँकड़ों में अधिकांश असममित परिणाम यह साबित करते हैं कि $n \rightarrow \infty$ एक अनुमानक (जैसे कि MLE) एक समान वितरण के लिए एक दूसरे क्रम टेलर विस्तार के कार्य के आधार पर एक सामान्य वितरण में परिवर्तित होता है। मेरा मानना ​​है कि बायेसियन साहित्य में एक समान परिणाम है, "बायेसियन सेंट्रल लिमिट थ्योरीम", जो दर्शाता है कि पोस्टीरियर समान रूप से n को सामान्य रूप से परिवर्तित करता है → result$n \rightarrow \infty$

मेरा सवाल है - क्या वितरण कुछ "से पहले" सामान्य हो जाता है, टेलर श्रृंखला में तीसरे शब्द के आधार पर? या यह सामान्य रूप से करना संभव नहीं है?

Comments

(+1) .. अच्छा सवाल। बायेसियन सेंट्रल लिमिट प्रमेय को लैप्सल अप्रूवल कहा जाता है यानी पीछे की ओर एक सामान्य वितरण की तरह "अधिक या कम" व्यवहार होता है। (औपचारिक रूप से पीछे की ओर वितरण में एक सामान्य वितरण में परिवर्तित होता है)

— suncoolsu

संबंधित: आंकड़े.स्टैकएक्सचेंज.com

— kjetil b halvorsen

Answer 1

आप Edgeworth श्रृंखला के लिए खोज रहे हैं आप नहीं हैं?

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

(ध्यान दें कि 1926 में एडगेवर्थ का निधन हो गया, जो सबसे प्रसिद्ध सांख्यिकीविदों में होना चाहिए?)

Answer 2

एक अनुक्रम के लिए एक चीज़ को "अभिसरण" करना और फिर दूसरे के लिए संभव नहीं है। एक स्पर्शोन्मुख विस्तार में उच्च-क्रम की शर्तें शून्य पर जाएंगी। क्या वे आपको बता है शून्य से कितनी दूर वे के किसी भी मूल्य के लिए कर रहे हैं ।$n$

केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिए (उदाहरण के रूप में) उपयुक्त विस्तार विशेषता फ़ंक्शन के लघुगणक के लिए है: क्यूम्युलेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन (cgf)। वितरण का मानकीकरण, जीजीओटी को, cgf की पहली और दूसरी शर्तों को ठीक करता है। शेष शर्तें, जिनके गुणांक सहकर्मी हैं , क्रमबद्ध तरीके से पर निर्भर हैं । मानकीकरण कि CLT में होता है (की राशि को विभाजित n के लिए कुछ आनुपातिक द्वारा यादृच्छिक परिवर्तनीय एन 1 / 2 --without जो अभिसरण घटित नहीं होगा) का कारण बनता है मीटर वें cumulant - जो सब के बाद पर निर्भर करता है मीटर वें क्षणों - करने के लिए द्वारा विभाजित किया जाना ( $n$$n$$n^{1/2}$$m^\text{th}$$m^\text{th}$ , लेकिन एक ही समय में, क्योंकि हम संक्षेप रहे हैंnशर्तों, शुद्ध परिणाम यह है कि मीटर वें क्रम अवधि के लिए आनुपातिक हैn / n मीटर / 2 = n - ( मीटर - 2 ) / २ । इस प्रकार मानकीकृत राशि के तीसरे cumulant के लिए आनुपातिक है1 / n 1 / 2 , चौथे cumulant के लिए आनुपातिक है1 /$(n^{1/2})^m = n^{m/2}$$n$$m^\text{th}$$n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$$1/n^{1/2}$$1/n$, और इसी तरह। ये उच्च-क्रम की शर्तें हैं। (विवरण के लिए, उदाहरण के लिए युवल फिल्मस का यह पेपर देखें ।)

सामान्य तौर पर, की एक उच्च नकारात्मक शक्ति कम नकारात्मक शक्ति से बहुत छोटी होती है। हम हमेशा पर्याप्त रूप से n का पर्याप्त मूल्य लेकर इसका आश्वासन दे सकते हैं । इस प्रकार, वास्तव में बड़े के लिए n हम के सभी नकारात्मक शक्तियों उपेक्षा कर सकते हैं n : वे शून्य करने के लिए जमा होते है। अभिसरण करने के साथ ही प्रस्थान परम सीमा से अतिरिक्त शर्तों के सटीकता में वृद्धि के साथ मापे जाते हैं: 1 / n 1 / 2 अवधि सीमित मूल्य से एक प्रारंभिक "सुधार," या प्रस्थान है, अगले 1 /$n$$n$$n$$n$$1/n^{1/2}$$1/n$शब्द एक छोटा, और अधिक तेज़ी से लुप्त होने वाला सुधार है, और इसी तरह। संक्षेप में, अतिरिक्त शब्द आपको एक तस्वीर देते हैं कि अनुक्रम कितनी जल्दी अपनी सीमा में परिवर्तित हो जाता है।

ये अतिरिक्त शर्तें हमें परिमित (आमतौर पर छोटे) n के मानों के लिए सुधार करने में मदद कर सकती हैं । वे जैसे, इस संबंध में हर बार दिखाई टी परीक्षण की चेन के संशोधन , जो तृतीय-क्रम (कारनामे 1 / n 1 / 2 ) शब्द।$n$$1/n^{1/2}$

Comments

किसी कारण से, मुझे आपका उत्तर पूरी तरह से आश्वस्त नहीं लगता है। मैं इस बात से सहमत हूं कि वितरण को "बढ़ाया" जाने की आवश्यकता है, और यह कहना सही नहीं है कि यह सामान्य में परिवर्तित होने से पहले एक्स में परिवर्तित हो जाता है। यह मेरी ओर से एक गलती होगी। फिर भी मुझे लगता है कि वितरण को पैमाना बनाने के लिए कोई रास्ता मौजूद होना चाहिए जैसे कि केवल चौथा क्रम और "क्षणों" से ऊपर शून्य की ओर जाना। मुझे थोड़ा और सोचने की ज़रूरत है कि वास्तव में वह स्केलिंग फैक्टर चीज़

— कैसी दिखेगी

@gabgoh मैं इस बारे में अधिक जानना चाहूंगा कि उत्तर के कौन से पहलू (पहलू) कमजोर हैं। जहां तक ​​स्केलिंग जाती है, आप अटक जाते हैं: आपने पहले से ही अनुक्रम के तत्वों को मानकीकृत करने में उस संभावना का उपयोग किया है। यदि (काल्पनिक रूप से) स्केलिंग का कोई रूप तीसरे क्षण को शून्य पर जाने से रोकेगा, तो आप सीएलटी का खंडन करेंगे क्योंकि सीमित वितरण सामान्य नहीं होगा। अनुमानकर्ताओं के एसिम्पोटिक्स के साथ एक संबंधित मुद्दा है। अक्सर आप उच्च क्षणों को मारने के लिए एक अनुमानक को समायोजित कर सकते हैं (उदाहरण के लिए, बूटस्ट्रैपिंग के साथ): लेकिन यह अभी भी अकेले स्केलिंग द्वारा नहीं किया जा सकता है।

— whuber

Answer 3

यहाँ आपके व्यावहारिक प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास किया गया है। मैंने श्रृंखला के अभिसरण की गति को वास्तविक वितरण के लिए बढ़ाने के लिए टेलर श्रृंखला के तीसरे कार्यकाल को शामिल किया है। हालाँकि, मैंने तीसरे और उच्च क्षणों का उपयोग नहीं देखा है।

$n^{1/2}$$n^{1/2}$$n$

इसलिए, मुझे लगता है, आपके प्रश्न का उत्तर नहीं होना चाहिए । एसिम्प्टोटिक वितरण एक सामान्य डिस्ट में परिवर्तित होता है। (CLT द्वारा, लिंडबर्ग के CLT की नियमितता शर्तों के तहत)। हालांकि, उच्च आदेश शर्तों का उपयोग करने से एसिम्प्टोटिक वितरण में अभिसरण की दर बढ़ सकती है।

Answer 4

निश्चित रूप से मेरा क्षेत्र नहीं है, लेकिन मुझे बहुत यकीन है कि तीसरा- और उच्च-क्रम के स्पर्शोन्मुखता मौजूद है। क्या यह कोई मदद है?

रॉबर्ट एल स्ट्रॉडरमैन। उच्च-क्रम असममित स्वीकृति: लाप्लास, सैडलपॉइंट और अमेरिकी सांख्यिकीय एसोसिएशन वॉल्यूम के संबंधित तरीके जर्नल । 95, नंबर 452 (दिसंबर, 2000), पीपी। 1358-1364