ARMA
एक ARMA ( ) प्रक्रिया का अनुसरण करने वाले पर विचार करें । मान लीजिए कि सादगी के लिए इसका शून्य मतलब और निरंतर भिन्नता है। सूचना के पर , को एक ज्ञात (पूर्व निर्धारित) भाग में विभाजित किया जा सकता है (जो कि दिया गया का ) और एक यादृच्छिक भाग :ytp,qIt−1ytμtytIt−1ut
ytμtut|It−1=μt+ut;=φ1yt−1+…+φpyt−p+θ1ut−1+…+θqut−q (known, predetermined); ∼D(0,σ2) (random)
जहां कुछ घनत्व है।D
सशर्त मतलब अपने आप में एक प्रक्रिया ARMA (के समान इस प्रकार ), लेकिन बिना यादृच्छिक समकालीन त्रुटि अवधि:
जहां ; लिए ; और लिए । ध्यान दें कि इस प्रक्रिया में बजाय आदेश ( ) है ( ) ।μtp,q
μt=φ1μt−1+…+φpμt−p+(φ1+θ1)ut−1+…+(φm+θm)ut−m,
m:=max(p,q)φi=0i>pθj=0j>qp,mp,qyt
हम के सशर्त वितरण को इसके पिछले सशर्त साधनों (पिछले एहसास मूल्यों के बजाय) और मॉडल मापदंडों के रूप में लिख सकते हैंyt
ytμtσ2t∼D(μt,σ2t);=φ1μt−1+…+φpμt−p+(φ1+θ1)ut−1+…+(φm+θm)ut−m;=σ2,
बाद का प्रतिनिधित्व ARMA की तुलना GARCH और ARMA-GARCH की तुलना को आसान बनाता है।
GARCH
पर विचार करें जो एक GARCH ( ) प्रक्रिया का अनुसरण करता है । मान लीजिए सादगी के लिए इसका निरंतर मतलब है। फिरyts,r
ytμtσ2tutσt∼D(μt,σ2t);=μ;=ω+α1u2t−1+…+αsu2t−s+β1σ2t−1+…+βrσ2t−r;∼i.i.D(0,1),
जहाँ और कुछ घनत्व है।ut:=yt−μtD
सशर्त विचरण एक प्रक्रिया ARMA (के समान इस प्रकार ), लेकिन बिना यादृच्छिक समकालीन त्रुटि अवधि।σ2ts,r
ARMA-GARCH
उस पर विचार करें बिना शर्त का मतलब शून्य है और ARMA ( ) -GARCH ( ) प्रक्रिया का अनुसरण करता है। फिरytp,qs,r
ytμtσ2tutσt∼D(μt,σ2t);=φ1μt−1+…+φpμt−p+(φ1+θ1)ut−1+…+(φm+θm)ut−m;=ω+α1u2t−1+…+αsu2t−s+β1σ2t−1+…+βrσ2t−r;∼i.i.D(0,1),
जहाँ ; कुछ घनत्व है, जैसे सामान्य; लिए ; और लिए । डी φ मैं = 0 मैं > पी θ j = 0 जे > क्षut:=yt−μtDφi=0i>pθj=0j>q
सशर्त मतलब ARMA के कारण प्रक्रिया के रूप में मूलतः एक ही आकार सशर्त विचरण GARCH के कारण प्रक्रिया, बस अंतराल आदेश भिन्न हो सकती है (के एक अशून्य बिना शर्त मतलब के लिए अनुमति इस परिणाम में काफी परिवर्तन नहीं होना चाहिए)। महत्वपूर्ण रूप से, पर वातानुकूलित होने के बाद न तो यादृच्छिक त्रुटि शब्द हैं , इस प्रकार दोनों पूर्व निर्धारित हैं।I t - १ytIt−1