बिंदु-वार विचरण क्या है?

Question

द एलिमेंट्स ऑफ़ स्टैटिस्टिकल लर्निंग को पढ़ते हुए , मैंने कई बार "बिंदु-वार विचरण" शब्द का सामना किया है। हालांकि मेरे पास इसका एक अस्पष्ट विचार है कि इसका क्या मतलब है, मैं यह जानने के लिए आभारी रहूंगा

• इसे कैसे परिभाषित किया जाता है?
• यह कैसे व्युत्पन्न है?

Comments

इसका मतलब आम तौर पर किसी बिंदु पर मूल्यांकन किए गए फ़ंक्शन के अनुमानक का विचरण है। ये है,$\mbox{Var}[\hat{f}(x_0)]$। उदाहरण के लिए देखें पृ। 146 ।

मुझे परिभाषा की ओर इशारा करने के लिए धन्यवाद। मुझे अभी भी समझ नहीं आया है - किसी एक बिंदु का विचरण कैसे हो सकता है? वेरिएंस उम्मीद से विचलन का वर्णन करता है, इसलिए इस तरह के विचलन के लिए कई बिंदुओं की आवश्यकता होती है, फिर भी मूल्यांकन करना$\hat{f}(x_0)$केवल एक बिंदु (?) देता है। क्या यह फ़ंक्शन पर अनुमान लगाने से प्राप्त विचरण है$x_0$एक ही जनसंख्या से कई नमूनों पर?

— मयूरा

ध्यान दें कि विचरण की गणना नहीं की गई है $x_0$ लेकिन के लिए $\hat{f}(x_0)$। अधिक, अनुमान लगाने वाला$\hat{f}$एक यादृच्छिक चर है। इसका एक उदाहरण एक कर्नेल घनत्व अनुमानक है $\hat{f}_h(x_0)=\frac{1}{nh}\sum_{j=1}^n K\left(\frac{x_0-X_j}{h}\right)$ एक नमूने के आधार पर $X_1,...,X_n$। यहाँ नमूने के संबंध में विचरण की गणना की जाती है$X_1,...,X_n$ और इसकी गणना प्रत्येक मूल्य के लिए की जा सकती है $x_0$कर्नेल के समर्थन में। ये है,$\mbox{Var}(\hat{f}(x_0))$ का एक कार्य है $x_0$।

तो कोई कह सकता है कि बिंदु-वार विचरण सांख्यिकी की मानक त्रुटि के बराबर है $\hat{f}(x_0)$, $X_1,...,X_n$ बार-बार नमूनों को दर्शाता है, और $Var(\hat{f}(x_0))$नमूने परिवर्तनशीलता से उपजा है?

— मिउरा

मैं आपकी व्याख्या से सहमत हूं $\mbox{modulo}$एक वर्गमूल।

Answer 1

ISLR के पेज 267 पर:

फिट का विचरण क्या है, अर्थात $\mathrm{Var}(\hat f(x_0))$? कम से कम फिट किए गए गुणांकों के लिए कम से कम वर्गों का अनुमान है$\hat \beta_j$, साथ ही गुणांक अनुमानों के जोड़े के बीच सहसंबंध। हम इनका उपयोग अनुमानित संस्करण की गणना करने के लिए कर सकते हैं$\hat f(x_0)$।