स्लीपिंग ब्यूटी विरोधाभास

Question

स्थिति

कुछ शोधकर्ता आपको सोने के लिए कहना चाहेंगे। एक निष्पक्ष सिक्के के गुप्त टॉस के आधार पर, वे आपको एक बार (प्रमुख) या दो बार (पूंछ) को संक्षिप्त रूप से जगाएंगे। प्रत्येक जागने के बाद, वे आपको एक दवा के साथ सोने के लिए वापस रख देंगे जो आपको उस जागृति को भूल जाता है। जब आप जाग रहे हैं, क्या डिग्री चाहिए करने के लिए आप का मानना है कि सिक्का टॉस के परिणाम प्रमुखों था?

(ठीक है, शायद आप इस प्रयोग का विषय नहीं बनना चाहते हैं! मान लीजिए कि इसके बजाय स्लीपिंग ब्यूटी (एसबी) इससे सहमत है (मैजिक किंगडम के इंस्टीट्यूशनल रिव्यू बोर्ड की पूरी मंजूरी के साथ)। एक सौ साल तक सोते हैं, तो वैसे भी एक या दो दिन और क्या होते हैं? '

[ मैक्सफ़ील्ड पैरिश चित्रण का विस्तार ।]

क्या आप एक हेल्फ़र या थंडर हैं?

हालफर स्थिति। सरल! सिक्का उचित है - और एसबी इसे जानता है - इसलिए उसे विश्वास होना चाहिए कि सिर का एक-आधा मौका है।

थिरकने की स्थिति। इस प्रयोग को कई बार दोहराया जाना था, तब सिक्का एसबी के जागृत होने के केवल एक तिहाई ही होगा। सिर के लिए उसकी संभावना एक तिहाई होगी।

तीसरे को समस्या है

अधिकांश, लेकिन सभी नहीं, जिन लोगों ने इस बारे में लिखा है वे तीसरे हैं। परंतु:

• रविवार की शाम को, एसबी सो जाने से पहले, उसे विश्वास होना चाहिए कि सिर का मौका एक-आधा है: यही इसका मतलब है कि एक निष्पक्ष सिक्का होना चाहिए।

• जब भी एसबी जागता है, उसने पूरी तरह से कुछ भी नहीं सीखा है , जिसे वह रविवार रात नहीं जानता था। फिर, वह तर्क दे सकता है कि सिर में उसका विश्वास अब एक तिहाई है और एक-आधा नहीं है?

कुछ ने स्पष्टीकरण देने का प्रयास किया

• यदि वह 1/3 के अलावा किसी भी बाधाओं के साथ सिर पर दांव लगाना चाहते थे, तो SB को पैसे की कमी होगी। (वाइनबर्ग, इंटर अन्य )

• एक-आधा वास्तव में सही है: क्वांटम यांत्रिकी के एवरेटियन "कई-दुनिया" व्याख्या का उपयोग करें! (लुईस)।

• एसबी दुनिया में उसके "अस्थायी स्थान" की आत्म-धारणा पर आधारित उसके विश्वास को अद्यतन करता है। (एल्गा, ia )

• एसबी उलझन में है: "[यह] यह कहने के लिए अधिक प्रशंसनीय है कि जागने पर उसकी महामारी की स्थिति में सिर में विश्वास की एक निश्चित डिग्री शामिल नहीं होनी चाहिए। ... असली मुद्दा यह है कि कोई ज्ञात, अपरिहार्य, संज्ञानात्मक खराबी से कैसे निपटता है। "[Arntzenius]

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प्रश्न

इस विषय पर पहले से ही जो लिखा गया है उसका लेखा-जोखा (संदर्भों के साथ-साथ एक पिछली पोस्ट भी देखें ), इस विरोधाभास को सांख्यिकीय रूप से कठोर तरीके से कैसे हल किया जा सकता है? क्या यह भी संभव है?

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संदर्भ

अर्न्तेज़ेनियस, फ्रैंक (2002)। स्लीपिंग ब्यूटी एनालिसिस 62.1 पीपी 53-62 पर विचार ।

ब्रैडली, डीजे (2010)। ब्रांचिंग वर्ल्ड में पुष्टि: द एवरेट इंटरप्रिटेशन एंड स्लीपिंग ब्यूटी । ब्रिट। जे फिल। विज्ञान। ० (२०१०), १-२१।

एल्गा, एडम (2000)। आत्म-विश्वास और स्लीपिंग ब्यूटी प्रॉब्लम। विश्लेषण 60 पीपी 143-7।

फ्रांसेची, पॉल (2005)। स्लीपिंग ब्यूटी एंड द प्रॉब्लम ऑफ वर्ल्ड रिडक्शन । प्रीप्रिंट।

ग्रिसमैन, बेरी (2007)। स्लीपिंग ब्यूटी का बुरा सपना । प्रीप्रिंट।

लुईस, डी (2001)। स्लीपिंग ब्यूटी: एल्गा का जवाब । विश्लेषण 61.3 पीपी 171-6।

पापिन्यू, डेविड और विक्टर ड्यूरा-विला (2008)। ए थंडर एंड एवरेटियन: लुईस की 'क्वांटम स्लीपिंग ब्यूटी' का जवाब ।

पुस्ट, जोएल (2008)। स्लीपिंग ब्यूटी पर होरगन । सिंथेस 160 पीपी 97-101।

विनबर्ग, सुसान (शायद, 2003)। सौंदर्य की सावधानी कथा ।

Comments

मुझे इसे एक अलग प्रश्न के रूप में पोस्ट करने के लिए स्थानांतरित किया गया था, जो आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / questions / 23779 पर टिप्पणियों के आधार पर किया गया था ।

— whuber

यह अच्छा होगा यदि आप प्रयोग को थोड़ा स्पष्ट कर सकते हैं। मूल पोस्ट को पढ़ने के बिना, यह समझना मुश्किल है कि विरोधाभास क्या है।

— 22

मेरी टिप्पणी अशिष्ट btw होना नहीं था। मुझे एहसास हुआ कि बाद में यह थोड़ा कठोर हो सकता है। आशा है कि आप इसे गलत तरीके से नहीं लेंगे।

— सेबोफोर

इस विरोधाभास पर आपको (अब बड़े) साहित्य में रुचि हो सकती है। यहाँ एक पूरी तरह से ग्रन्थसूची है (लिंक के साथ): philpapers.org/browse/sleeping-beauty

यह इस बात पर निर्भर करता है कि गलत अनुमान लगाने के लिए जुर्माना आदर्शहीन है या नहीं। यदि ऐसा है ("यदि आप गलत अनुमान लगाते हैं, तो हम आपके पिता को मार डालेंगे"), तो किसी को एक हलाल रणनीति माननी चाहिए। यदि नहीं ("यदि आप गलत अनुमान लगाते हैं तो हम $ 100 लेंगे") तो आपको एक तिहाई रणनीति माननी चाहिए। यदि "हा हा आप गलत हैं" के अलावा कोई विशेष जुर्माना नहीं है, तो आपको खुद तय करना होगा कि दो बार गलत होना गलत है या नहीं।

— लॉबस्टरवाद

Answer 1

रणनीति

मैं विश्लेषण के लिए तर्कसंगत निर्णय सिद्धांत लागू करना चाहूंगा, क्योंकि यह एक सांख्यिकीय समस्या समस्या को हल करने में कठोरता प्राप्त करने के लिए एक अच्छी तरह से स्थापित तरीका है। ऐसा करने की कोशिश में, एक कठिनाई विशेष रूप से उभरती है: एसबी की चेतना का परिवर्तन।

• तर्कसंगत निर्णय सिद्धांत में परिवर्तित मानसिक स्थिति को संभालने के लिए कोई तंत्र नहीं है।

• सिक्का फ्लिप में उसकी विश्वसनीयता के लिए एसबी पूछने में, हम एक साथ उसे आत्म-संदर्भात्मक तरीके से विषय (एसबी प्रयोग) और प्रयोगकर्ता (सिक्का फ्लिप के विषय) के रूप में दोनों के साथ व्यवहार कर रहे हैं।

आइए प्रयोग को एक अपर्याप्त तरीके से बदलें: मेमोरी-इरेज़र दवा को प्रशासित करने के बजाय, प्रयोग शुरू होने से ठीक पहले स्लीपिंग ब्यूटी क्लोन का एक स्टेप तैयार करें । (यह प्रमुख विचार है, क्योंकि यह हमें विचलित करने में मदद करता है - लेकिन अंततः अप्रासंगिक और भ्रामक - दार्शनिक मुद्दे।)

• क्लोन हर तरह से उसकी तरह हैं, जिसमें स्मृति और विचार शामिल हैं।

• एसबी पूरी तरह से अवगत है यह होगा।

हम सिद्धांत रूप में, क्लोन कर सकते हैं । ET Jaynes इस प्रश्न की जगह लेता है कि "हम मानव सामान्य ज्ञान के गणितीय मॉडल का निर्माण कैसे कर सकते हैं" - स्लीपिंग ब्यूटी समस्या के माध्यम से सोचने के लिए हमें कुछ चाहिए - "कैसे हम एक मशीन का निर्माण कर सकते हैं जो उपयोगी प्रशंसनीय तर्क को पूरा करेगी।" स्पष्ट रूप से परिभाषित सिद्धांतों के बाद एक आदर्श सामान्य ज्ञान व्यक्त करना? " इस प्रकार, यदि आप पसंद करते हैं, तो जेबी की सोच रोबोट द्वारा एसबी को प्रतिस्थापित करें, और क्लोन करें।

("सोच" मशीनों के बारे में विवाद अभी भी हैं और हैं।

"वे मानव मन को बदलने के लिए एक मशीन कभी नहीं बनाएंगे - यह कई चीजें करता है जो कोई भी मशीन कभी नहीं कर सकती थी।"

आप जोर देते हैं कि ऐसा कुछ है जो मशीन नहीं कर सकती है। यदि आप मुझे ठीक-ठीक बताएंगे कि ऐसा क्या है जो एक मशीन नहीं कर सकती है, तो मैं हमेशा एक मशीन बना सकता हूं, जो बस यही करेगी! "

--जे। वॉन न्यूमैन, 1948। ईटी जेन्स द्वारा प्रोबबिलिटी थ्योरी में उद्धृत : द लॉजिक ऑफ साइंस , पी। 4.)

- रुब गोल्डबर्ग

स्लीपिंग ब्यूटी प्रयोग बहाल

रविवार की शाम को एसबी (एसबी स्वयं सहित) की समान प्रतियां तैयार करें । वे सभी एक ही समय में सो जाते हैं, संभवतः 100 साल तक। जब भी आपको प्रयोग के दौरान एसबी को जगाने की आवश्यकता होती है, तो बेतरतीब ढंग से एक क्लोन का चयन करें जो अभी तक नहीं जागा है। कोई भी जागरण सोमवार को होगा और, यदि आवश्यक हो, तो मंगलवार को होगा।$n \ge 2$

मेरा दावा है कि प्रयोग का यह संस्करण ठीक उसी संभावना के साथ संभव परिणामों का एक ही सेट बनाता है, जो एसबी की मानसिक स्थिति और जागरूकता के बिल्कुल नीचे है। यह संभावित रूप से एक महत्वपूर्ण बिंदु है जहां दार्शनिक मेरे समाधान पर हमला करना चुन सकते हैं। मेरा दावा है कि यह अंतिम बिंदु है जिस पर वे इस पर हमला कर सकते हैं, क्योंकि शेष विश्लेषण नियमित और कठोर है।

अब हम सामान्य सांख्यिकीय मशीनरी लागू करते हैं। चलो नमूना स्थान (संभावित प्रयोगात्मक परिणामों के) के साथ शुरू करते हैं। चलो मतलब "सोमवार जागता है" और मतलब "मंगलवार जागता है।" इसी तरह, अर्थ है "हेड्स" और "t" का अर्थ टेल्स है। पूर्णांक साथ क्लोन की सदस्यता लें । फिर सेट के रूप में संभावित प्रयोगात्मक परिणाम लिखे जा सकते हैं (मुझे उम्मीद है कि पारदर्शी, आत्म-स्पष्ट संकेतन)टी एच 1 , 2 , … , $M$$T$$h$$1, 2, \ldots, n$

$$\eqalign{ \{&hM_1, hM_2, \ldots, hM_n, \\ &(tM_1, tT_2), (tM_1, tT_3), \ldots, (tM_1, tT_n), \\ &(tM_2, tT_2), (tM_2, tT_3), \ldots, (tM_2, tT_n), \\ &\cdots, \\ &(tM_{n-1}, tT_2), (tM_{n-1}, tT_3), \ldots, (tM_{n-1}, tT_n) & \}. }$$

सोमवार संभावनाएँ

एसबी क्लोनों में से एक के रूप में, आप एक हेड-अप प्रयोग के दौरान सोमवार को जागृत होने के अपने अवसर का अनुमान लगाते हैं ( सिर का मौका) समय ( मौका मुझे उठा हुआ क्लोन बनने के लिए चुना जाता है)। अधिक तकनीकी शब्दों में:1 /$1/2$$1/n$

• प्रमुख परिणामों का सेट । उनमें से हैं।$h = \{hM_j, j=1,2, \ldots,n\}$$n$

• वह घटना जहाँ आपको सिर के साथ जगाया जाता है ।$h(i) = \{hM_i\}$

• किसी विशेष एस.बी. क्लोन का मौका सिर दिखा सिक्का साथ जागृत किया जा रहा बराबर होती है$i$

  $$\Pr[h(i)] = \Pr[h] \times \Pr[h(i)|h] = \frac{1}{2} \times \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

मंगलवार की संभावनाएं

• पूंछ परिणामों का सेट । उनमें से हैं। सभी समान रूप से डिजाइन द्वारा संभावना है।n ( n - 1 $t = \{(tM_j, tT_k): j \ne k\}$$n(n-1)$

• आप, क्लोन , इन मामलों के में जागृत होते हैं ; अर्थात्, सोमवार को आपके द्वारा जागृत किए जा रहे तरीके ( मंगलवार को जगाए जाने के लिए शेष क्लोन हैं) प्लस तरीके जिन्हें आप मंगलवार को जागृत कर सकते हैं ( संभव सोमवार क्लोन हैं)। इस ईवेंट को ।( n - 1 ) + ( n - 1 ) = 2 ( n - 1 ) n - 1 n - 1 n - 1 n - 1 t ( i $i$$(n-1) + (n-1) = 2(n-1)$$n-1$$n-1$$n-1$$n-1$$t(i)$

• आपके प्रयोग के दौरान आपके जागृत होने की संभावना बराबर होती है

  $$\Pr[t(i)] = \Pr[t] \times P[t(i)|t] = \frac{1}{2} \times \frac{2(n-1}{n(n-1)} = \frac{1}{n}.$$

बेयस का प्रमेय

अब जब तक हम इस पर आ गए हैं, बेयस की प्रमेय - गणितीय विवाद से परे गणितीय कार्य - कार्य समाप्त कर देता है। किसी भी क्लोन के सिर का मौका इसलिए

$$\Pr[h | t(i) \cup h(i)] = \frac{\Pr[h]\Pr[h(i)|h]}{\Pr[h]\Pr[h(i)|h] + \Pr[t]\Pr[t(i)|t]} = \frac{1/(2n)}{1/n + 1/(2n)} = \frac{1}{3}.$$

क्योंकि एसबी अपने क्लोन से अप्रभेद्य है - खुद के लिए भी! - यह वह उत्तर है जो उसे तब देना चाहिए जब उसके सिर पर विश्वास की डिग्री मांगी जाए।

व्याख्याओं

इस प्रयोग के लिए प्रश्न "सिर की संभावना क्या है" इसकी दो उचित व्याख्याएं हैं: यह मौका के लिए एक उचित सिक्का भूमि के सिर के लिए पूछ सकता है, जो कि (हलफर उत्तर) है, या यह कर सकता है मौका के लिए पूछें सिक्का भूमि के सिर, इस तथ्य पर वातानुकूलित किया गया कि आप क्लोन जागृत थे। यह (थ्रडर उत्तर) है।पीआर [ ज | टी ( मैं ) ∪ ज ( मैं ) ] = 1 /$\Pr[h] = 1/2$$\Pr[h|t(i) \cup h(i)] = 1/3$

उस स्थिति में जिसमें एसबी (या पहचान के लिए तैयार किए गए जेनेस सोच मशीनों में से कोई एक) खुद को पाता है, यह विश्लेषण - जो कई अन्य लोगों ने किया है (लेकिन मुझे लगता है कि कम आश्वस्त हैं, क्योंकि उन्होंने स्पष्ट रूप से दार्शनिक विक्षेपों को दूर नहीं किया था प्रायोगिक विवरण में) - थंडर उत्तर का समर्थन करता है।

हेलफर उत्तर सही है, लेकिन निर्बाध है, क्योंकि यह उस स्थिति के लिए प्रासंगिक नहीं है जिसमें एसबी खुद को पाता है। यह विरोधाभास को हल करता है।

यह समाधान एकल अच्छी तरह से परिभाषित प्रयोगात्मक सेटअप के संदर्भ में विकसित किया गया है। प्रयोग को स्पष्ट करना सवाल को स्पष्ट करता है। एक स्पष्ट प्रश्न स्पष्ट उत्तर की ओर ले जाता है।

टिप्पणियाँ

मुझे लगता है कि, एल्गा (2000) का अनुसरण करते हुए, आप हमारे सशर्त उत्तर को वैध रूप से "गणना [आईएनजी] के रूप में चिह्नित कर सकते हैं, जो कि एच के सत्य के रूप में प्रासंगिक है," लेकिन यह लक्षण वर्णन समस्या के लिए कोई अंतर्दृष्टि नहीं जोड़ता है: यह केवल इससे अलग है साक्ष्य में गणितीय तथ्य। मुझे लगता है कि यह दावा करने का एक अस्पष्ट तरीका है कि संभावना प्रश्न की "क्लोन" व्याख्या सही है।

यह विश्लेषण बताता है कि अंतर्निहित दार्शनिक मुद्दा पहचान में से एक है : उन क्लोनों का क्या होता है जो जागृत नहीं होते हैं? क्लोन के बीच क्या संज्ञानात्मक और noetic संबंध हैं? - लेकिन यह चर्चा सांख्यिकीय विश्लेषण का विषय नहीं है; यह एक अलग मंच पर है ।

Comments

यह उत्तर दिसंबर 2008 में तैयार की गई एक बात को संक्षेप में प्रस्तुत करता है और उस समय पावरपॉइंट प्रारूप में वेब पर पोस्ट किया जाता है। इसका निष्कर्ष ग्रिसमैन के समान ही प्रतीत होता है, भले ही औचित्य भिन्न हो सकता है: "अगर हमारा मतलब है 'यह जागृति जागृति के तहत एक प्रमुख-जागरण है', तो उसका उत्तर 1/3 होना चाहिए, लेकिन हमारा मतलब है ' सिक्का टॉसिंग की स्थापना के तहत हेड्स में उतरा, उसका उत्तर 1/2 होना चाहिए। " Philsci-archive.pitt.edu/3382/1/SB_PhilSci.pdf देखें ।

— whuber

मैं इसे बिल्कुल आपके बिना बिके अंडरबेली पर हमला करता हूं। नीचे मेरा विस्तृत विश्लेषण देखें।

— Dax Fohl

आपने इसे कहीं अधिक जटिल बना दिया है जितना कि यह होना चाहिए, मेरे उत्तर की जांच करें।

— केल्विन

मेरा मानना ​​है कि क्लोन की स्थिति एसबी की स्थिति से अलग है। क्लोन कुछ के लिए नहीं जानते हैं कि वे जागे होंगे या नहीं। इसलिए अगर उन्हें जगाया जाता है, तो इससे सिर और पूंछ के पीछे की संभावना प्रभावित होगी। एसबी के लिए स्थिति अलग है। यहां जागने की संभावना 100% निश्चित है, इस बात से स्वतंत्र है कि परिणाम सिर या पूंछ है, इस प्रकार सिर और पूंछ के बारे में पूर्व विश्वासों पर इसका प्रभाव नहीं हो सकता है। पीआर [ ज | टी ( रों ख ) ∪ ज ( रों ख ) ] = पीआर [ एच $$\Pr[t(sb) \cup h(sb) | h] = \Pr[t(sb) \cup h(sb)]$$ $$\Pr[h | t(sb) \cup h(sb)] = \Pr[h]$$

— मार्टिज़न वेटरिंग्स

तथ्य यह है कि आप एक अलग समस्या में सवाल को फिर से समझने की जरूरत है एक बहुत अच्छा संकेत है कि आपका जवाब सही नहीं है

— संभाव्यता

Answer 2

इस शानदार पोस्ट (+1) और समाधान (+1) के लिए धन्यवाद। यह विरोधाभास मुझे पहले से ही सिरदर्द देता है।

मैंने सिर्फ निम्नलिखित स्थिति के बारे में सोचा है जिसमें परियों, चमत्कारों और न ही जादू की शक्ति की आवश्यकता होती है। सोमवार दोपहर एक उचित सिक्का फ्लिप करें। 'टेल्स' पर ऐलिस और बॉब को एक मेल भेजते हैं (इस तरह से कि वे नहीं जानते कि दूसरे को आपसे मेल मिला है, और वे संवाद नहीं कर सकते हैं)। 'हेड्स' पर, उनमें से किसी एक को यादृच्छिक पर मेल भेजें (प्रायिकता साथ )।$1/2$

जब ऐलिस को एक मेल मिलता है, तो क्या संभावना है कि सिक्का 'हेड्स' पर उतरा? वह पत्र प्राप्त करने की संभावना , और यह संभावना है कि सिक्का 'हेड्स' पर उतरा है ।1 /$1/2 \times 1/2 + 1/2 = 3/4$$1/3$

यहां कोई विरोधाभास नहीं है क्योंकि ऐलिस को संभावना साथ एक पत्र नहीं मिलता है , इस मामले में वह जानती है कि सिक्का 'हेड्स' पर उतरा है। तथ्य यह है कि हम उस मामले में उसकी राय नहीं पूछते हैं, इस संभावना को 0 के बराबर बनाता है ।$1/4$

तो अंतर क्या है? ऐलिस एक मेल प्राप्त करके जानकारी क्यों प्राप्त करेगा, और एसबी जागृत होने से कुछ नहीं सीखेगा?

अधिक चमत्कारी स्थिति की ओर बढ़ते हुए, हमने सोने के लिए 2 अलग-अलग SB लगाए। अगर सिक्का 'पूंछ' पर लैंड करता है, तो हम दोनों को जगाते हैं, अगर यह 'हेड्स' पर लैंड करता है, तो हम उनमें से एक को यादृच्छिक रूप से जगाते हैं। यहां फिर से, प्रत्येक एसबी को यह कहना चाहिए कि 'हेड्स' पर सिक्के के उतरने की संभावना और फिर से कोई विरोधाभास नहीं है क्योंकि मौका है कि यह एसबी जागृत नहीं होगा।$1/3$$1/4$

लेकिन यह स्थिति मूल विरोधाभास के बहुत करीब है क्योंकि मेमोरी को मिटाना (या क्लोनिंग) दो अलग-अलग एसबी होने के बराबर है। इसलिए, मैं @ डगलस ज़ारे के साथ यहां (+1) हूं। एसबी ने जागृत होकर कुछ सीखा है। तथ्य यह है कि वह मंगलवार को अपनी राय व्यक्त नहीं कर सकती है जब सिक्का 'हेड्स' है क्योंकि वह सो रही है जागृत होने से वह जानकारी को मिटा नहीं पाती है।

मेरी राय में विरोधाभास " वह पूरी तरह से कुछ भी नहीं सीखा है वह रविवार की रात नहीं जानता था " जो बिना औचित्य के कहा गया है। हमें यह आभास होता है क्योंकि जब उसे जगाया जाता है तो स्थितियां समान होती हैं, लेकिन यह सिर्फ ऐलिस को एक मेल प्राप्त करने जैसा है: यह तथ्य है कि उससे उसकी राय पूछी जाती है जो उसे जानकारी देती है।

MAJOR EDIT : इसे गहन विचार देने के बाद, मैं अपनी राय बदल देता हूं: स्लीपिंग ब्यूटी ने कुछ नहीं सीखा है और मैं जो उदाहरण देता हूं, वह उसकी स्थिति का अच्छा एनालॉग नहीं है।

लेकिन यहाँ एक समतुल्य समस्या है जो विरोधाभास नहीं है। मैं एलिस और बॉब के साथ निम्नलिखित गेम खेल सकता था: मैं चुपके से एक सिक्का उछालता हूं और स्वतंत्र रूप से उन्हें $ 1 का दांव लगाता हूं कि वे इसका अनुमान नहीं लगा सकते। लेकिन अगर सिक्का 'पूंछ' पर उतरा, तो बॉब के एलिस का दांव रद्द हो गया (पैसा हाथ नहीं बदलता)। यह देखते हुए कि वे नियमों को जानते हैं, उन्हें क्या शर्त लगानी चाहिए?

Obviously हेड्स ’जाहिर है। यदि सिक्का 'हेड्स' पर लैंड करता है, तो उन्हें 1 डॉलर मिलता है , अन्यथा, वे औसतन 0.5 डॉलर खो देते हैं । क्या इसका मतलब यह है कि वे मानते हैं कि सिक्के के 'हेड्स' पर उतरने का 2/3 मौका है? पक्का - नहीं। बस प्रोटोकॉल ऐसा है कि वे प्रत्येक उत्तर के लिए एक ही राशि नहीं प्राप्त करते हैं।

मेरा मानना ​​है कि स्लीपिंग ब्यूटी ऐलिस या बॉब जैसी ही स्थिति में है। कार्यक्रम उसे टॉस के बारे में कोई जानकारी नहीं देते हैं , लेकिन अगर उसे शर्त लगाने के लिए कहा जाता है, तो लाभ में विषमता के कारण उसकी संभावना 1: 1 नहीं है। मेरा मानना ​​है कि यही @whuber का मतलब है

हेलफर उत्तर सही है, लेकिन निर्बाध है, क्योंकि यह उस स्थिति के लिए प्रासंगिक नहीं है जिसमें एसबी खुद को पाता है। यह विरोधाभास को हल करता है।

Comments

+1। जैसा कि ज़ारे के जवाब में मेरी टिप्पणी में बताया गया है, मैं आपको उस अंतर को समझने के लिए संघर्ष कर रहा हूं जिसे आप पहले से जानते हैं और आप जागृत हो चुके हैं। विशेष रूप से जागृति पर क्या सीखा है, जब आप 100% सुनिश्चित थे कि जागरण होगा ?

— whuber

@ आपकी टिप्पणी के कारण मुझे इसके बारे में फिर से सोचना पड़ा। अद्यतन उत्तर देखें।

— gui11aume

@whuber - अगर आपको कुछ पता है कि आप 10 फीट / सेकंड आगे जा रहे हैं, तो जब आपको पता चलता है कि यह अब एक सेकंड का है तो आपको पता है कि आप 10 फीट आगे बढ़ चुके हैं, भले ही आप 100% सुनिश्चित थे कि यह होगा। स्लीपिंग ब्यूटी पहले से जानती थी कि यदि भविष्य में वह प्रयोग की शुरुआत से परे कुछ भी याद नहीं कर रही है, तो उस समय सिर के बाल 1/3 होंगे। उसने जागृति उत्पन्न होने की संभावना के बारे में, या सिर के घटित होने की संभावना के बारे में कुछ भी नहीं सीखा है, लेकिन उसने सीखा है कि जागरण हुआ है।

— psr

मैं एक समान विचार था - एसबी के लिए सार खेल अनुमान सिर या पूंछ है। यदि परिणाम सिर है, तो आप एक बार खेलते हैं। लेकिन अगर परिणाम पूंछ रहा है तो आपको दो बार खेलना होगा, और दोनों बार एक ही अनुमान लगाना होगा

— संभाव्यता

Answer 3

"जब भी एसबी जागता है, उसने पूरी तरह से सीखा है कि वह रविवार रात नहीं जानती थी।" यह गलत है, जैसा कि यह कहना गलत है "या तो मैं लॉटरी जीतता हूं या मैं नहीं, इसलिए संभावना ।" उसने जान लिया है कि वह जाग चुकी है। यह जानकारी है। अब उसे विश्वास करना चाहिए कि प्रत्येक संभव जागरण समान रूप से संभव है, प्रत्येक सिक्का फ्लिप नहीं।$50\%$

यदि आप एक डॉक्टर हैं और एक मरीज आपके कार्यालय में चलता है, तो आपको पता चला है कि रोगी एक डॉक्टर के कार्यालय में चला गया है, जिसे पूर्व से अपना मूल्यांकन बदलना चाहिए। यदि हर कोई डॉक्टर के पास जाता है, लेकिन बीमार आधी आबादी स्वस्थ आधे की तुलना में गुना हो जाती है , तो जब रोगी आपके पास चलता है तो पता चलता है कि मरीज शायद बीमार है।$100$

यहाँ एक और मामूली बदलाव है। मान लीजिए कि सिक्के के टॉस का परिणाम जो भी हो, स्लीपिंग ब्यूटी दो बार जाग जाएगी। हालांकि, अगर यह पूंछ है, तो वह अच्छी तरह से दो बार जाग जाएगी। यदि यह सिर है, तो वह एक बार अच्छी तरह से जाग जाएगी, और एक बार उस पर डंप की गई बर्फ की एक बाल्टी होगी। यदि वह बर्फ के ढेर में उठता है, तो उसे जानकारी होती है कि सिक्का सिर के ऊपर आ गया। यदि वह अच्छी तरह से उठती है, तो उसके पास यह जानकारी होती है कि सिक्का संभवतः सिर के ऊपर नहीं आया था। उसके पास एक नोंडेगेंनेट परीक्षण नहीं हो सकता है जिसका सकारात्मक परिणाम (बर्फ) बताता है कि उसके सिर के नकारात्मक परिणाम (अच्छा) के बिना अधिक संभावना है, यह दर्शाता है कि सिर कम होने की संभावना है।

Comments

गूढ़ (+1)। लेकिन मैं यह सोचने में मदद नहीं कर सकता कि हाल्फर कुछ इस तरह से वापस आ सकता है "लेकिन एसबी को पहले से पता था कि उसे जगाया जाएगा, इसलिए जागृति का अनुभव कोई नई जानकारी प्रदान नहीं करता है।" यह एक साधारण सिक्का फ्लिप के अधिक समृद्ध उदाहरण के समान लगता है। सिक्का फ़्लिप होने के बाद - लेकिन इससे पहले कि आप परिणाम जानें - आपको पता है कि सिक्का फ़्लिप हो गया है। लेकिन यह या तो निरर्थक है या फिर बेकार है क्योंकि सिर की संभावना 1 या 0. है। सिर के लिए आपकी विश्वसनीयता ठीक वैसी ही बनी हुई है जैसी वह फ्लिप से पहले थी। कुछ प्रकार की जानकारी संभावनाएं नहीं बदलती हैं।

— whuber

बर्फ में / अच्छी तरह से भिन्नता में, हेलफर कहती है कि स्लीपिंग ब्यूटी को यह पता लगाने से कुछ जानकारी मिलती है कि वह अच्छी तरह से जाग रही है? मूल पहेली इस मामले के बराबर है, इसलिए संभावनाओं के लिए अद्यतन समान होना चाहिए।

— डगलस ज़रे

बर्फ / अच्छी भिन्नता वास्तव में दिलचस्प है - अच्छी तरह से सावधान विचार के लायक है। क्योंकि यहां तक ​​कि इसका नमूना स्थान भी अलग है, आप कैसे आश्वस्त करते हैं कि मूल समस्या इसके बराबर है? आपका अंतिम कथन समझ में आता है, लेकिन इसका प्रमाण क्या है?

— whuber

मुझे लगता है कि आपको किसी प्रकार के फ़िल्टर्ड प्रायिकता स्थान के रूप में इसका प्रतिनिधित्व करने की आवश्यकता है, और फिर दोनों के बीच एक समरूपता होनी चाहिए। मैंने अभी तक ऐसा नहीं किया है।

— डगलस जेरे

@DouglasZare मैं शुरू में आपके साथ सहमत था, लेकिन मेरी राय बदल गई (मेरे अपडेट किए गए उत्तर देखें)।

— gui11aume

Answer 4

विरोधाभास एक प्रयोग और इसकी सीमा बिंदु के बीच परिप्रेक्ष्य परिवर्तन में निहित है। यदि # प्रयोगों को ध्यान में रखा जाता है, तो आप इसे हलर्स और थर्डर्स के "या तो / या" से भी अधिक सटीक रूप से समझ सकते हैं:

एकल प्रयोग: हल्वर्स सही हैं

यदि एक ही प्रयोग है, तो तीन परिणाम हैं और आपको बस जागृत के परिप्रेक्ष्य से संभावनाओं का पता लगाना है:

1. प्रमुखों को उछाला गया: 50%
2. पूंछ को फेंक दिया गया था और यह मेरा पहला जागरण है: 25%
3. पूंछ को फेंक दिया गया था और यह मेरा दूसरा जागरण है: 25%

इसलिए, किसी भी वेकेशन इवेंट में, आपको एक ही प्रयोग में, 50/50 मान लेना चाहिए कि आप ऐसी अवस्था में हैं जहाँ सिर पटक दिया गया था

दो प्रयोग: 42% ers सही हैं

अब, दो प्रयोग आज़माएँ:

1. हेड्स दो बार उछाले गए: 25% (दोनों जागरणों के लिए)
2. पूंछ दो बार उछाली गई: 25% (सभी चार जागरणों के लिए संयुक्त)
3. सिर फिर पूंछ और यह मेरा पहला जागरण है: 25% / 3
4. सिर फिर पूंछ और यह मेरा दूसरा या तीसरा जागरण है: 25% * 2/3
5. टेल्स हेड्स एंड हेड्स दिस माय 1st या 2nd जागृति: 25% * 2/3
6. पूंछ तब हेड्स और यह मेरा तीसरा जागरण है: 25% / 3।

तो यहाँ, {1, 3, 6} आपके प्रमुख राज्य हैं, जिनकी संयुक्त संभावना (25 + 25/3 + 25/3)%, 41.66% है, जो कि 50% से कम है । अगर किसी भी वेकअप इवेंट में दो प्रयोग किए जाते हैं, तो आपको 41.66% संभावना माननी चाहिए कि आप किस राज्य में हैं जहां हेड्स को फेंक दिया गया था

अनंत प्रयोग: तीसरे सही हैं

मैं यहां गणित नहीं करने जा रहा हूं, लेकिन यदि आप दो-प्रयोगों के विकल्पों को देखते हैं, तो आप # 1 और # 2 को आधा भाग की ओर देख सकते हैं, और बाकी इसे तिहाई की ओर चला सकते हैं। जैसे-जैसे प्रयोगों की संख्या बढ़ेगी, वैसे-वैसे हॉलो (सभी सिर / सभी पूंछ) की ओर जाने वाले विकल्प शून्य होने की संभावना में कमी आएगी, जिससे "तिहाई" विकल्प खत्म हो जाएंगे। यदि अनंत प्रयोग चलाए जाते हैं, तो किसी भी घटना में, आपको 1/3 मौका देना चाहिए कि आप उस स्थिति में हैं जहां सिर फेंका गया था

प्रीमेचिंग रिटर्न्स:

लेकिन, जुआ?

हां एकल प्रयोग उदाहरण में, आपको अभी भी तिहाई द्वारा "जुआ" करना चाहिए। यह कोई असंगतता नहीं है; यह सिर्फ इसलिए है क्योंकि आप एक ही सट्टे को एक निश्चित परिणाम दिए जाने पर कई बार कर सकते हैं, और इसे पहले से जान सकते हैं। (या यदि आप नहीं करते हैं, तो माफिया करता है)।

ठीक है, दो एकल प्रयोगों के बारे में कैसे? विसंगति ज्यादा?

नहीं, क्योंकि आप पहले या दूसरे प्रयोग पर हैं या नहीं, इस बारे में ज्ञान आपके erm, ज्ञान से जुड़ता है। आइए "दो प्रयोग" विकल्पों को देखें और उन्हें ज्ञान द्वारा फ़िल्टर करें जो आप पहले प्रयोग पर हैं।

1. पहले जागरण के लिए लागू (1/2)
2. पहले दो जागरणों के लिए लागू (2/4)
3. उपयुक्त
4. कभी लागू नहीं
5. पहले जागरण के लिए लागू (1/2)
6. लागू नहीं

ठीक है, प्रमुखों को लें (1,3,6) इन्हें गुणा करें, प्रयोज्यता के आधार पर: 25/2 + 25/3 + 0 = 125/6।

अब पूंछ वाले (2,4,5) को लें और वही करें: 25 * 4/2 + 0 + 25 * (2/3) / 2 = 125/6।

वियोला, वे एक ही हैं। आप किस प्रयोग में हैं, इसके बारे में अतिरिक्त जानकारी वास्तव में आप जो जानते हैं उसके अंतर को समायोजित करता है।

लेकिन, क्लोन !!

सीधे शब्दों में कहें, ओपी के जवाब की अवधारणा की वजह के विपरीत, कि क्लोनिंग एक बराबर प्रयोग बनाता है: क्लोनिंग प्लस यादृच्छिक चयन करता है experimentee का ज्ञान "कई प्रयोगों" प्रयोग में परिवर्तन बदलने के लिए, एक ही तरीके से। यदि दो क्लोन हैं, तो आप प्रत्येक क्लोन की संभावनाओं को दो प्रयोगों की संभावनाओं को देख सकते हैं । अनंत क्लोन तीसरे में परिवर्तित होते हैं। लेकिन यह एक ही प्रयोग नहीं है, और यह एक ही ज्ञान नहीं है, एक एकल गैर-यादृच्छिक विषय के साथ एक ही प्रयोग है।

आप कहते हैं "अनन्त में से एक" और मैं कहता हूं कि च्वाइस डिपेंडेंसी का Axiom

मुझे नहीं पता, मेरा सेट सिद्धांत इतना महान नहीं है। लेकिन अनंत से कम एन के लिए दिए गए, आप कुछ अनुक्रम स्थापित कर सकते हैं जो आधे से तीसरे में परिवर्तित हो जाते हैं, एक तिहाई के बराबर अनंत मामला या तो सच होगा या सबसे खराब, कोई भी बात नहीं है जो आप को आकर्षित करती है।

Comments

मुझे लगता है कि मैं इस तथ्य से असहमत हूं कि मेरे द्वारा जागृत किए गए प्रमुखों की संभावना 50% है, अब नई जानकारी है।

— rwolst

@ क्या नई जानकारी? आप जानते थे कि किसी भी स्थिति में आप कम से कम एक बार जागृत होंगे। जब आप जागृत होते हैं, तो आपको वह ज्ञान प्राप्त होता है जिसे आप कम से कम एक बार जगा चुके होते हैं। लेकिन यह वही है जो आप पहले से जानते थे। नया क्या है?

— डैक्स फ़ोहल

Answer 5

आइए समस्या को बदलते हैं।

यदि सिक्का प्रमुखों में आता है, तो एसबी कभी भी जागृत नहीं होता है।

यदि पूंछ, तो एसबी एक बार जागृत होता है।

अब शिविर हालफर और ज़ीरो हैं। और स्पष्ट रूप से ज़ीरो सही हैं।

या: सिर -> एक बार जाग गया; पूंछ -> एक लाख बार जगाया। जाहिर है, यह देखते हुए कि वह जाग रही है, इसकी सबसे अधिक संभावना है।

(पुनश्च "नई जानकारी" के विषय पर - जानकारी DESTROYED हो सकती है। तो, एक और सवाल यह है कि क्या उसने एक बार वह जानकारी खो दी है?)

Comments

समस्या के बारे में सोचने के लिए बहुत अच्छा और "गणितीय" तरीका है - सीमित मामलों का उपयोग करते हुए

— संभाव्यता

मैं इसके बारे में कुछ और सोच रहा था - और क्या होगा अगर मैं एसबी से पूछता हूं कि वह "1000 के 1 मामले में" कौन सा जागरण है?

— प्रोबेबिलिसलॉगिक

Answer 6

"जब भी एसबी जागता है, उसने पूरी तरह से कुछ भी नहीं सीखा है जिसे वह रविवार रात नहीं जानती थी।"

यह सही नहीं है, जो हफ़्फ़ तर्क में त्रुटि है। एक बात जो इसे थियो के साथ बहस करने के लिए कठिन बनाती है, वह यह है कि इस कथन पर आधारित हलफ़र तर्क शायद ही कभी किसी और कठोरता के साथ व्यक्त किया जाता है जो मैंने उद्धृत किया था।

तीन समस्याएं हैं। सबसे पहले, तर्क यह परिभाषित नहीं करता है कि "नई जानकारी" का क्या अर्थ है। इसका मतलब लगता है "एक घटना जो मूल रूप से गैर-शून्य संभावना थी, वह साक्ष्य के आधार पर नहीं हो सकती है।" दूसरा, यह कभी नहीं दर्शाता है कि रविवार को क्या जाना जाता है, यह देखने के लिए कि क्या यह इस परिभाषा के अनुरूप है; और यह, अगर आप इसे ठीक से देख सकते हैं। अंत में, कोई प्रमेय नहीं है जो कहता है "यदि आपके पास इस तरह की कोई नई जानकारी नहीं है, तो आप अपडेट नहीं कर सकते।" यदि आपके पास यह है, तो बेयस प्रमेय एक अद्यतन का उत्पादन करेगा। लेकिन यह निष्कर्ष निकालना एक अशुद्धि है, यदि आपके पास यह नई जानकारी नहीं है, जिसे आप अपडेट नहीं कर सकते। एक गिरावट होने का मतलब यह नहीं है कि यह सच नहीं है, इसका मतलब है कि आप इस साक्ष्य के आधार पर अकेले यह निष्कर्ष नहीं निकाल सकते।

रविवार की रात को, एसबी कहता है कि उसकी खुद की एक काल्पनिक छह-पक्षीय मौत है। चूंकि यह काल्पनिक है, वह परिणाम को नहीं देख सकती। लेकिन उद्देश्य यह देखना है कि क्या वह उस दिन से मेल खाती है जो वह जाग रही है: एक सम संख्या का अर्थ है कि वह सोमवार से मेल खाती है, और विषम संख्या का अर्थ मंगलवार है। लेकिन यह दोनों से मेल नहीं खा सकता है, जो दो दिनों को प्रभावी ढंग से अलग करता है।

एसबी अब (हेड्स / टेल्स, मंडे / मंगलवार, मैच / नो मैच) के आठ संभावित संयोजनों की संभावना की गणना कर सकता है। प्रत्येक 1/8 होगा। लेकिन जब वह जाग रही होती है, तो वह जानती है कि {हेड्स, मंगलवार, मैच} और {हेड्स, मंगलवार, नो मैच} नहीं हुआ। यह उस फॉर्म की "नई जानकारी" का गठन करता है जो हाफ तर्क कहता है कि मौजूद नहीं है, और यह एसबी को इस संभावना को अपडेट करने की अनुमति देता है कि शोधकर्ता का सिक्का सिर पर उतरा। यह 1/3 है कि उसका काल्पनिक सिक्का वास्तविक दिन से मेल खाता है या नहीं। चूंकि यह उसी तरह से है, इसलिए यह 1/3 है कि क्या वह जानती है कि मैच है या नहीं; और वास्तव में, वह रोल करती है या नहीं, या मरने की कल्पना करती है।

यह अतिरिक्त मृत्यु एक परिणाम प्राप्त करने के लिए जाने के लिए बहुत कुछ की तरह लगता है। वास्तव में, यह आवश्यक नहीं है, लेकिन आपको यह देखने के लिए "नई जानकारी" की एक अलग परिभाषा की आवश्यकता है कि क्यों। अद्यतन करना कभी भी महत्वपूर्ण हो सकता है (पूर्व नमूना स्थान में महत्वपूर्ण (अर्थात, स्वतंत्र और शून्य-संभाव्यता नहीं) घटनाएँ पीछे के नमूने स्थान में महत्वपूर्ण घटनाओं से भिन्न होती हैं। इस तरह, बेयस प्रमेय में अनुपात का भाजक नहीं है। 1. जबकि यह आमतौर पर तब होता है जब साक्ष्य कुछ घटनाओं को शून्य संभावना रखते हैं, यह तब भी हो सकता है जब सबूत बदलते हैं कि क्या घटनाएं स्वतंत्र हैं। यह एक बहुत अपरंपरागत व्याख्या है, लेकिन यह काम करता है क्योंकि सौंदर्य को एक से अधिक अवसर दिए जाते हैं जो एक परिणाम का निरीक्षण करते हैं। और मेरी काल्पनिक मृत्यु का बिंदु, जो दिनों को प्रतिष्ठित करता था, सिस्टम को एक में प्रस्तुत करना था जहां कुल संभावना 1 थी।

रविवार को, एसबी पी (अवेक, मंडे, हेड्स) = पी (अवेक, मंडे, टेल्स) = पी (अवेक, मंगलवार, टेल्स) = 1/2 जानता है। ये 1/2 से अधिक तक जोड़ते हैं क्योंकि एसबी रविवार को होने वाली जानकारी के आधार पर घटनाएं स्वतंत्र नहीं हैं। लेकिन वे स्वतंत्र हैं जब वह जाग रही है। बेयस प्रमेय के अनुसार, उत्तर (1/2) / (1/2 + 1/2 + 1/2) = 1/3 है। एक हर के साथ कुछ भी गलत नहीं है जो कि 1 से अधिक है; लेकिन काल्पनिक सिक्का तर्क को इस तरह के हर के बिना समान चीजों को पूरा करने के लिए डिज़ाइन किया गया था।

Comments

CV में आपका स्वागत है, @JeffJo। यह एक दिलचस्प तर्क है, लेकिन स्वर कुछ गवाही के रूप में सामने आता है। आपको इस बारे में सतर्क रहना चाहिए, कहीं ऐसा न हो कि लोग इसे अशिष्टता समझें।

— गंग

उस स्वर के बारे में क्षमा करें - यह वास्तव में इस तरह का इरादा नहीं था। प्रायिकता विरोधाभास के साथ समस्या यह है कि अपरिहार्य शब्द हैं, समाधान के लिए कई रास्ते, और सरल शॉर्टकट जिन्हें अक्सर उचित औचित्य के बिना लिया जाता है। अपवाद यह है कि, "गलत" उत्तर के एक प्रस्तावक को यह समझाने के लिए कि आपका "कठोर" है, आप दोनों को आपत्ति के लिए कोई जगह नहीं है, और विरोध तर्क में एक अपरिहार्य छेद का पता लगाएं। मुझे लगता है कि उस छेद को इंगित करने के मेरे प्रयास आपको "टेस्टी" मिले।

— जेफजो

बस कुछ स्पष्टता चाहते हैं - आपको क्या लगता है कि एसबी ने देखा है जब वह जाग गया है? इसके अलावा, आपके द्वारा बनाए गए नमूना स्थान में दो अवरोध हैं: 1) सिर / पूंछ सीमांत को 0.5 तक जोड़ने की जरूरत है; और 2) दोनों दो "हेड + टेसडे" प्रोब्स को शून्य के बराबर होने की आवश्यकता है।

— probabilityislogic

Answer 7

मैं बस इस पार फिर से ट्रिप कर गया। मैंने उस अंतिम पोस्ट के बाद से अपने कुछ विचारों को परिष्कृत किया है, और मैंने सोचा कि मुझे उनके लिए एक ग्रहणशील दर्शक मिल सकता है।

इस तरह के विवाद को कैसे संबोधित किया जाए, इसके दर्शन पर सबसे पहले: तर्क ए और बी मौजूद हैं। प्रत्येक का एक आधार, कटौती का एक क्रम और एक परिणाम है; और परिणाम अलग हैं।

किसी एक तर्क को गलत साबित करने का सबसे अच्छा तरीका है कि उसके किसी एक कटौती को अमान्य कर दिया जाए। अगर यहां संभव होता, तो कोई विवाद नहीं होता। एक और आधार को समाप्त करना है, लेकिन आप सीधे ऐसा नहीं कर सकते। आप इस बात पर बहस कर सकते हैं कि आप किसी पर विश्वास क्यों नहीं करते हैं, लेकिन जब तक आप दूसरों पर विश्वास नहीं कर सकते, तब तक कुछ भी हल नहीं होगा।

अप्रत्यक्ष रूप से गलत साबित करने के लिए, आपको इसमें से कटौती का एक वैकल्पिक क्रम तैयार करना होगा जो एक बेतुकेपन या आधार के विरोधाभास की ओर जाता है। गिराने का तरीका यह तर्क देना है कि विरोधी परिणाम आपके आधार का उल्लंघन करता है। इसका मतलब है कि एक गलत है, लेकिन यह इंगित नहीं करता है कि कौन सा है।

+++++

हैलफ़र का आधार "कोई नई जानकारी नहीं है।" कटौती का उनका क्रम खाली है - किसी की जरूरत नहीं है। Pr (हेड्स | अवेक) = Pr (हेड्स) = 1/2।

तीसरे (विशेष रूप से, एल्गा) के दो परिसर हैं - वह Pr (H1 | सजग और सोमवार) = Pr (T1 | सजग और सोमवार), और Pr (T1 | सजग और पूंछ) = Pr (T2 | सजग और पूंछ)। कटौती का एक असंयमी क्रम फिर Pr (प्रमुख | जाग) की ओर जाता है = 1/3।

ध्यान दें कि तीसरे को कभी भी नई जानकारी नहीं है - उनका परिसर जो भी जानकारी मौजूद है, उस पर आधारित है - "नया" या नहीं - जब एसबी जाग रहा हो। और मैंने कभी किसी को इस बात के लिए बहस करते नहीं देखा कि एक तिहाई आधार गलत क्यों है, सिवाय इसके कि यह हफ़्फ़ परिणाम का उल्लंघन करता है। इसलिए आधे लोगों ने मेरे द्वारा सूचीबद्ध वैध तर्कों में से कोई भी प्रदान नहीं किया है। बस पतनशील है।

लेकिन "कोई नई जानकारी नहीं" से प्राप्त होने वाली अन्य कटौती संभव हैं, कटौती के एक क्रम के साथ जो Pr (हेड्स | जाग) से शुरू होता है = 1/2। एक यह है कि Pr (प्रमुख | सजग और सोमवार) = 2/3 और Pr (पूंछ | जाग और सोमवार) = 1/3। यह thirder premise का खंडन करता है, लेकिन जैसा मैंने कहा था, कि इस कारण से मदद नहीं मिलती क्योंकि यह अभी भी उनका आधार हो सकता है जो कि गलत है। विडंबना यह है कि यह परिणाम कुछ साबित करता है - यह है कि हाल ही में आधार का विरोधाभास है। रविवार को, एसबी कहता है कि पीआर (प्रमुख | सोमवार) = पीआर (पूंछ | सोमवार), इसलिए "जाग" की जानकारी को जोड़ने से उसे इन संभावनाओं को अपडेट करने की अनुमति मिली है। यह नई जानकारी है।

इसलिए मैंने साबित कर दिया है कि हाल्टर आधार सही नहीं हो सकता। इसका मतलब यह नहीं है कि तीसरे सही हैं, लेकिन इसका मतलब यह है कि आधे लोगों ने कोई विपरीत सबूत नहीं दिया है।

+++++

एक और तर्क है जो मुझे अधिक ठोस लगता है। यह पूरी तरह से मूल नहीं है, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि उचित दृष्टिकोण पर पर्याप्त जोर दिया गया है। प्रयोग की भिन्नता पर विचार करें: एसबी को हमेशा दोनों दिनों में जागृत किया जाता है; आमतौर पर यह एक ऐसे कमरे में होता है जिसे नीले रंग में रंगा जाता है, लेकिन मंगलवार को प्रमुखों के बाद यह एक ऐसे कमरे में होता है जिसे लाल रंग से रंगा जाता है। यदि वह खुद को नीले कमरे में जागती हुई पाती है, तो उसे क्या कहना चाहिए?

मुझे नहीं लगता कि कोई भी गंभीरता से तर्क देगा कि यह 1/3 है। तीन स्थितियां हैं जो उसके वर्तमान के अनुरूप हो सकती हैं, सभी समान रूप से संभावित हैं, और केवल एक में प्रमुख शामिल हैं।

मुख्य बिंदु यह है कि इस संस्करण और मूल के बीच कोई अंतर नहीं है। वह "क्या जानती है" - उसकी "नई जानकारी" - यह है कि यह एच 2 नहीं है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कैसे, या IF , वह जानती है कि यह H2 हो सकता है अगर यह हो सकता है। स्थितियों को जानने की उसकी क्षमता जो वह जानती है कि लागू नहीं होती है अप्रासंगिक है अगर वह जानती है कि वे लागू नहीं करते हैं।

मैं विश्वास नहीं कर सकता कि हफ़्फ़ का आधार क्या है। यह एक तथ्य पर आधारित है - कि वह H2 का निरीक्षण नहीं कर सकता है - वह तब से कोई फर्क नहीं पड़ता जब तक वह कर सकता है, और निरीक्षण करता है कि यह H2 नहीं है।

इसलिए मुझे आशा है कि मैंने इस बात के लिए एक ठोस तर्क दिया है कि हफ़्फ़ का आधार अमान्य क्यों है। साथ ही, मुझे पता है कि मैंने यह प्रदर्शित किया है कि थ्रिडर परिणाम सही होना चाहिए।

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पीआर (प्रमुख, सोमवार, नीला) = 50%, पीआर (प्रमुख, सोमवार, लाल) = 0%, पीआर (प्रमुख, मंगलवार, नीला) = 0%, पीआर (प्रमुख, मंगलवार, लाल) = 0%, पीआर ( पूंछ, सोमवार, नीला) = 25%, पीआर (पूंछ, सोमवार, लाल) = 0%, पीआर (पूंछ, मंगलवार, नीला) = 25%, पीआर (पूंछ, मंगलवार, लाल) = 0%। इस प्रकार, हफल।

— Dax Fohl

मैं इस तरह था, तब मैंने संभावना समारोह को देखा। और भी | अब एसबी द्वारा क्या देखा जाता है? मुझे लगता है कि यह (क्योंकि SB को निश्चित नहीं किया जा सकता है कि उसे किस समय जगाया गया है)। यह संभावना बनाता है और पूंछ संभावना केवल दो का योग है। । संभावना प्रत्येक सिर / पूंछ मामले में समान है इसलिए हम सिर के लिए पूर्व अद्यतन नहीं करते हैं। यह 50-50 पर रहता हैपी ( डी 1 | टी ) = पी ( डी 2 | टी ) = 0.5 डी 1 ∪ घ 2 पी ( डी 1 ∪ घ 2 | ज ) = 1 पी ( डी 1 ∪ घ 2 $p(d1|h)=1,p(d2|h)=0$$p(d1|t)=p(d2|t)=0.5$$d1\cup d2$$p(d1\cup d2|h)=1$$p(d1\cup d2|t)=p(d1|t)+p(d2|t)=1=p(d1\cup d2|h)$

— संभाव्यता

Answer 8

संभव wakings का एक तिहाई प्रमुख wakings हैं, और संभव wakings के दो तिहाई पूंछ wakings हैं। हालाँकि, राजकुमारियों में से एक आधा (या जो भी) प्रमुख राजकुमारियां हैं, और एक आधा पूंछ राजकुमारियां हैं। टेल प्रिंसेस, व्यक्तिगत रूप से और कुल मिलाकर, हेड प्रिंसेस राजकुमारियों के रूप में कई बार वैक्सिंग का अनुभव करती हैं।

राजकुमारी के दृष्टिकोण से, जागने पर, तीन संभावनाएं हैं। वह या तो पहली (और केवल) समय ( ) के लिए जागने वाली एक हेड राजकुमारी है , पहली बार ( ) के लिए जागने वाली एक पूंछ राजकुमारी, या दूसरी बार ( ) के लिए जागने वाली राजकुमारी है । यह मानने का कोई कारण नहीं है कि ये तीन परिणाम समान रूप से संभावित हैं। बल्कि , , और ।$H1$$T1$$T2$$P[H1]=0.5$$P[T1]=0.25$$P[T2]=0.25$

मैंने वाइनबर्ग के तर्क को नहीं पढ़ा है, लेकिन मुझे लगता है कि मैं देख सकता हूं कि वह 1/3 के उचित दांव पर कैसे पहुंचती है । मान लीजिए कि हर बार जब कोई राजकुमारी जागती है, तो वह की शर्त लगाती है कि वह एक हेड राजकुमारी है, $ 1 प्राप्त कर रही है यदि वह वास्तव में एक हेड राजकुमारी है, और $ 0 अन्यथा। फिर एक हेड प्रिंसेस राजकुमारी को प्राप्त होगा, और एक टेल्स राजकुमारी को हर बार खेलने के लिए प्राप्त होगा । पूंछ के बाद से राजकुमारियों दो बार खेलने चाहिए, और के बाद से राजकुमारियों के आधे प्रमुखों राजकुमारियों हैं, प्रत्याशित प्रतिफल है , और उचित मूल्य है ।$\$1/3$$\$x$$\$(1-x)$$\$(-x)$$\$(1-3x)/2$$\$1/3$

आम तौर पर यह निर्णायक सबूत होगा कि संभावना , लेकिन सामान्य तर्क इस मामले में पकड़ में नहीं आते हैं: जिन राजकुमारियों को दांव हारने का मौका मिलता है, वे दो बार खेल खेलने के लिए बाध्य होते हैं, जबकि वे जो जीतने के लिए किस्मत में होते हैं। केवल एक बार खेलते हैं! यह असंतुलन संभाव्यता और निष्पक्ष दांव के बीच सामान्य संबंध को अछूता है।$1/3$

(दूसरी ओर, एक तकनीशियन, जिसे जागने की प्रक्रिया में मदद करने के लिए सौंपा गया था, वास्तव में एक हेड राजकुमारी को सौंपा जाने का केवल एक तिहाई मौका होगा।)

Comments

हम सभी किस्मत वाले हैं जो हम किस्मत वाले हैं। फिर भी चाहे जो भी हो, तीनों की थूक के कारण, संभावना उपलब्ध जानकारी लेने और शेष पर एक समरूपता लागू करने की है। इसलिए, जब हम एक सिक्का फ्लिप करते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं कि संभावना 1 या 0 है, हम कहते हैं कि यह । इसी प्रकार, अनिर्दिष्ट 0.5, 0.25, 0.25 हो जाते हैं । $1/2$$1/3$

— Aleksandr Dubinsky

Answer 9

जब आप जाग रहे हैं, क्या डिग्री चाहिए करने के लिए आप का मानना है कि सिक्का टॉस के परिणाम प्रमुखों था?

आपको " चाहिए " से क्या मतलब है ? मेरे विश्वासों के परिणाम क्या हैं? इस तरह के प्रयोग में मुझे कुछ भी विश्वास नहीं होगा। इस प्रश्न को इस रूप में चिह्नित किया जाता है decision-theory, लेकिन, जिस तरह से इस प्रयोग की कल्पना की गई है, मेरे पास निर्णय लेने के लिए कोई प्रोत्साहन नहीं है।

हम अलग-अलग तरीकों से प्रयोग को संशोधित कर सकते हैं, ताकि मुझे जवाब देने में परेशानी महसूस हो। उदाहरण के लिए, मुझे इस बात का अंदाजा हो सकता है कि क्या मैं "हेड्स" या "टेल्स" के कारण जाग गया था, और मैं अपने द्वारा दिए गए प्रत्येक सही उत्तर के लिए एक कैंडी कमाऊंगा । उस मामले में, जाहिर है, मैं "पूंछ" पर फैसला करूंगा, क्योंकि, दोहराया प्रयोगों में, मैं औसतन प्रति प्रयोग एक कैंडी अर्जित करूंगा: 50% मामलों में, टॉस "पूंछ" होगा, मैं दो बार जागृत हो और मैं दोनों बार कैंडी कमाऊंगा। अन्य 50% ("हेड्स") में मैं कुछ नहीं कमाता। क्या मुझे "प्रमुखों" का जवाब देना चाहिए, मैं प्रति प्रयोग केवल आधा कैंडी कमाऊंगा, क्योंकि मुझे जवाब देने का केवल एक मौका मिलेगा और मैं समय का 50% सही करूंगा। यदि मैं स्वयं उत्तर के लिए एक उचित सिक्का टॉस करता हूं, तो मैं '$3/4$

एक और संभावना है कि प्रत्येक प्रयोग के लिए एक कैंडी अर्जित करें जिसमें मेरे सभी उत्तर सही थे। उस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैं कौन सा व्यवस्थित उत्तर देता हूं, औसतन, मैं प्रति प्रयोग आधा कैंडी कमाऊंगा: अगर मैं हर समय "प्रमुखों" का जवाब देने का फैसला करता हूं, तो मैं सही हो जाऊंगा। 50% मामलों में, और वही "पूंछ" के लिए रखती है। केवल अगर मैं खुद को एक सिक्का टॉस करता हूं, तो मैं कैंडी के कमा सकता हूं : 50% मामलों में शोधकर्ता "हेड" टॉस करेंगे, और 50% में मैं "हेड्स" टॉस करूंगा, भी, कमाई मुझे एक कैंडी। अन्य 50% मामलों में, जब शोध ने "पूंछ" को फेंक दिया, तो मुझे "पूंछ" को दो बार टॉस करना होगा।$3/8$$1/4$$1/4$मामलों की, ताकि यह मुझे केवल एक कैंडी का कमाए ।$1/8$

इस विरोधाभास को सांख्यिकीय रूप से कठोर तरीके से कैसे हल किया जा सकता है? क्या यह भी संभव है?

" सांख्यिकीय रूप से कठोर तरीके " को परिभाषित करें । एक विश्वास के बारे में सवाल कोई व्यावहारिक प्रासंगिकता नहीं है। केवल क्रियाएं मायने रखती हैं।

Answer 10

प्रश्न अस्पष्ट है और इसलिए केवल विरोधाभास प्रतीत होता है। प्रश्न इस तरह से प्रस्तुत किया गया है:

जब आप जागते हैं, तो आपको किस डिग्री पर विश्वास करना चाहिए कि सिक्का टॉस का परिणाम हेड था?

जो इस प्रश्न से भ्रमित है:

जब आपको जगाया जाता है, तो आपको किस डिग्री पर विश्वास करना चाहिए कि आप किस कारण से जागृत हुए थे ?

पहले प्रश्न में संभावना 1/2 है। दूसरे प्रश्न में, 1/3।

समस्या यह है कि पहला प्रश्न कहा गया है, लेकिन दूसरा प्रश्न प्रयोग के संदर्भ में निहित है। जो लोग अवचेतन रूप से निहितार्थ को स्वीकार करते हैं, वे कहते हैं कि यह 1/3 है। जो लोग प्रश्न को सचमुच पढ़ते हैं, वे कहते हैं कि यह 1/2 है।

जो भ्रमित हैं वे निश्चित नहीं हैं कि वे कौन सा प्रश्न पूछ रहे हैं!

Comments

मैं दूसरे प्रश्न के संबंध में भी एक हलाल हूँ।

— डैक्स फ़ॉहल

समस्या "संभावना" और "सही अनुमानों के अनुपात" को मिलाने से अधिक प्रतीत होती है। यदि आप को रूप में हेड और संख्या के रूप में प्रयोगों के सिमुलेशन में , तो हम अपेक्षा । लेकिन सही ढंग से अनुमान सिर का अनुपात - यह मानक रूप में एक "संभावना" नहीं है क्योंकि यादृच्छिक घटना के कारण के रूप में अच्छी तरह से भाजक में दिखाई देता हैएन $n_h$$n_t$$n$$n_h\approx n_t$$\frac{n_h}{n+n_t}$ n→$\frac{E_n}{n}$$n\to\infty$

— संभावना

Answer 11

मैं वास्तव में इस उदाहरण को पसंद करता हूं लेकिन मैं तर्क दूंगा कि उपद्रव के एक जोड़े के साथ भ्रमित करने के लिए एक बिंदु है।

उपद्रव विकर्षणों से बचने के लिए, एक तार्किक को समस्या के एक सार आरेखीय निरूपण को समझने का प्रयास करना चाहिए जो स्पष्ट रूप से उचित संदेह (पर्याप्त प्रतिनिधित्व के रूप में) से परे है और दावों को प्रदर्शित करने के लिए सत्यनिष्ठ रूप से हेरफेर किया जा सकता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में एक (अमूर्त गणितीय) आयत का दावा है और दावा है कि इसे दो त्रिकोणों में बनाया जा सकता है।

एक गणितीय आयत के प्रतिनिधित्व के रूप में एक नि: शुल्क हाथ आयत बनाएं (आपके ड्राइंग में चार कोण 180 डिग्री तक बिल्कुल नहीं जोड़ेंगे और आसन्न रेखाएं बिल्कुल समान या सीधी नहीं होंगी लेकिन कोई वास्तविक संदेह नहीं होगा कि यह एक सच्चे आयत का प्रतिनिधित्व करता है )। अब एक विपरीत कोने से दूसरे कोने तक एक रेखा खींचकर इसे हेरफेर करें, जो कोई और भी कर सकता है और आपको दो त्रिकोणों का प्रतिनिधित्व मिलता है, जिससे किसी को भी संदेह नहीं होगा। यह किसी भी सवाल हो सकता है तो बकवास लगता है, यह सिर्फ है।

यहाँ मैं यह बताने की कोशिश कर रहा हूँ कि यदि आपको संयुक्त संभाव्यता वितरण के रूप में SB समस्या का एक उचित संदेह से परे प्रतिनिधित्व मिलता है और इस प्रतिनिधित्व में प्रयोग में आने वाली घटना पर शर्त लगा सकता है - तो दावा है कि क्या कुछ भी सीखा गया है उस घटना के द्वारा सत्यापन योग्य हेरफेर द्वारा प्रदर्शन किया जा सकता है और इसके लिए किसी (दार्शनिक) चर्चा या पूछताछ की आवश्यकता नहीं है।

अब मैं अपने प्रयास को बेहतर ढंग से प्रस्तुत करता हूं और यदि मुझे सफलता मिली है तो पाठकों को विचार करने की आवश्यकता होगी। मैं प्रयोगों (DSIE) में सोने के लिए दिन की संयुक्त संभावनाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक संभाव्यता के पेड़ का उपयोग करूंगा, सोमवार (CFOM) पर सिक्का फ्लिप परिणाम और woken दिया एक प्रयोग (WGSIE) में सो रहा था। मैं इसे पी (DSIE) * p (CFOM | DSIE) * p (WGSIE | DSIE, CFOM) के संदर्भ में निकालूंगा (वास्तव में इसे यहां लिखूंगा)।

मैं DSIE और CFOM को अज्ञात कहना चाहूंगा और WGSIE को संभव जान सकता हूं, फिर p (DSIE, CFOM) एक पूर्व और p (WGSIE | DSIE, CFOM) एक डेटा मॉडल या संभावना है और Bayem प्रमेय लागू होता है, इस लेबलिंग के बिना। बस सशर्त संभावना जो तार्किक रूप से एक ही बात है।

अब हम p (DSIE = Mon) + p (DSIE = मंगल) = 1 और p (DSIE = मंगल) = ½ p (DSIE = Mon) जानते हैं।

so p (DSIE = Mon) = 2/3 और p (DSIE = मंगल) = 1/3।

अब P (CFOM = H | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = Mon) = 1/2, P (CFOM = T | DSIE = मंगल) = 1 |

P (WGSIE | DSIE =।, CFOM =।) हमेशा एक के बराबर होता है।

पहले के बराबर

पी (डीएसआईई = सोम, सीएफओएम = एच) = 2/3 * 1/ = 1/3

पी (डीएसआईई = सोम, सीएफओएम = टी) = 2/3 * Mon = 1/3

पी (डीएसआईई = मंगल, सीएफओएम = टी) = 1/3 * 1 = 1/3

तो सीएफओएम के लिए सीमांत = 1/3 एच और 2/3 टी, और प्रयोग में सोते समय आपके द्वारा दिए गए पीछे के भाग - वही होंगे (जैसा कि कोई सीख नहीं होता है) - इसलिए आप पहले 2/3 टी।

ठीक है - मैं कहाँ गलत हो गया? क्या मुझे अपने संभाव्यता सिद्धांत की समीक्षा करने की आवश्यकता है?

Comments

मुझे यह देखने में कठिन समय हो रहा है कि यह विरोधाभास को हल करने में कैसे मदद करता है। आप किस पूर्व वितरण की बात कर रहे हैं? (और कृपया - यह मोंटी हॉल समस्या को सामने लाने के लिए जगह नहीं है। यह कुख्यात स्थिति हमेशा अंतर्दृष्टि से अधिक चर्चा उत्पन्न करती है।)

— व्हुबर

मैंने @whuber की टिप्पणी का जवाब दिया है।

— फानेरोन

यह वास्तव में मोंटी हॉल समस्या की तरह है।

— Psr

तुम कहाँ गलत हो गए सामरिक रूप से आपको पहले CFOM के साथ उन 3 घटनाओं को तोड़ना चाहिए, क्योंकि p (CFOM = H) = 0.5 और हर कोई इससे सहमत है। दूसरा p (DSIE = Mon | CFOM = T) = p (DSIE = Mon) p (CFOM = T | DSIE = Mon) / p (CFOM = T) = (1/3) के लिए आपके निहित मूल्य को देखना है। (1/2) / (1/2) = 1/3। तो इसका मतलब यह है कि यदि आपने एसबी को एक बार कहा था कि वह जाग रही है "जिस तरह से सिक्का फ्लिप था" तो वह सोचती है कि "यह शायद मंगलवार है"। यह मेरे लिए सही नहीं लगता है, और अगर मैंने 1.80 के भुगतान के साथ, मंगलवार के लिए 1 बेट का भुगतान किया है, तो उसे यह करना चाहिए। लेकिन वह औसतन हार जाती।

— प्रोबेबिलिसोलॉजिक

माफी - मेरी गणना पी (DSIE = सोम | CFOM = टी) = 2/3 और 1/3 नहीं देना चाहिए .... लेकिन यह सिर्फ "शायद" सोमवार को दिन स्विच करता है। यह भी शर्त केवल एक पूंछ परिणाम पर की पेशकश की जाएगी।

— probabilityislogic

Answer 12

इसके लिए एक सरल व्याख्या यह होगी कि 3 तरीके हैं, जिसमें नींद की सुंदरता जाग सकती है, जिनमें से दो एक पूंछ के टॉस से हैं। हर बार जागने पर सिर के लिए संभावना 1/3 होनी चाहिए। मैंने इसे एक ब्लॉग पोस्ट में रेखांकित किया है

"हफ़्फ़र" बिंदु के खिलाफ मुख्य तर्क निम्नलिखित है: एक बायसेनियन अर्थ में, एसबी हमेशा यह देखना चाहता है कि उसके पास क्या नई जानकारी है। हकीकत में, जिस क्षण उसने प्रयोग में भाग लेने का फैसला किया है, उसके पास अतिरिक्त जानकारी है कि जब वह जागती है तो वह कितने दिनों की हो सकती है। या दूसरे शब्दों में कहें तो जानकारी की कमी (स्मृति को मिटा देना) वही है जो यहाँ साक्ष्य प्रदान कर रहा है, हालांकि सूक्ष्म रूप से।

Comments

हां, यह थर्रर तर्क का हिस्सा है। लेकिन यह स्पष्ट नहीं करता है कि हेलफर तर्क गलत क्यों है।

— whuber

मुझे यह पसंद है, और मुझे लगता है कि एक मामूली मोड़ इसे और बेहतर बनाएगा: मान लीजिए कि यदि सिक्का "सिर" है, तो सोमवार को एक को जागृत किया जाएगा, और अगर यह पूंछ है तो मंगलवार और फिर बुधवार को जाग जाएगा। तीन दिन हैं जब कोई जाग सकता है, और तीनों समान रूप से संभव हैं। जिस समय सोमवार को जागता है, सिक्का सिर पर होता है; मंगलवार या बुधवार को, पूंछ।

— सुपरकैट

@ सुपरकैट यह मानता है कि "तीन चीजें" "तीन समान संभावनाएं" हैं, "सिर्फ इसलिए"। मान लें कि सिक्के का वजन एक सिर पर एक मिलियन है, और यह तर्क अलग हो जाता है। आपको वास्तविक संभावनाओं की गणना करनी होगी। सोमवार 50% है।

— Dax Fohl

उस परिदृश्य के लिए, अलग-अलग कमरों में 1,000,001 सुंदरियों को रखें, और गिनें कि "सिर" फ्लिप के बाद कितने जागरण हुए हैं और "पूंछ" फ्लिप के बाद कितने। 1,000,002 जागरण होंगे, जिनमें से 2 पूंछों के झड़ जाने के बाद हुए होंगे, इसलिए ऑड्स 500,000: 1 के होंगे।

— सुपरकाट

@DaxFohl: पिछली टिप्पणी देखें। सोमवार / मंगलवार / बुधवार के परिदृश्य के लिए, संभावनाएं समान हैं क्योंकि सिर / पूंछ की संभावनाएं बराबर हैं। सिक्के को बायस करने का मतलब यह होगा कि 1,000,002 में से 1,000,000 जागरण सोमवार को सिर के बाद, एक मंगलवार को पूंछ के बाद, और एक बुधवार को पूंछ के बाद होगा।

— सुपरकाट

Answer 13

जितने प्रश्न हैं, यह प्रश्न के सटीक अर्थ पर निर्भर करता है:

जब आप जागते हैं, तो आपको किस डिग्री पर विश्वास करना चाहिए कि सिक्का टॉस का परिणाम हेड था?

यदि आप इसे "उन बाधाओं के रूप में व्याख्या करते हैं जो एक उछाला गया सिक्का प्रमुख है", तो जाहिर है कि इसका उत्तर "आधा अंतर" है।

लेकिन आप जो पूछ रहे हैं, वह (मेरी व्याख्या में) नहीं है, लेकिन "जो मौका है कि वर्तमान जागरण एक प्रमुख द्वारा किया गया था?"। उस मामले में, स्पष्ट रूप से केवल एक तिहाई जागृति एक प्रमुख के कारण होती है, इसलिए सबसे संभावित उत्तर "पूंछ" है।

Comments

लेकिन "तीसरा" नहीं है। एक या दो नहीं, तीन या छह या अनंत हैं। तो उस संबंध में, प्रश्न समान हैं, और दोनों का उत्तर "1/2" है।

— डैक्स फ़ॉहल

Answer 14

यह एक बहुत ही दिलचस्प सवाल है। मैं अपना जवाब ऐसे दूंगा जैसे मुझे नींद की खूबसूरती हो। मुझे यह समझने के लिए एक महत्वपूर्ण बिंदु है कि हम 100% प्रयोग करने वाले पर भरोसा करते हैं।

1) रविवार की रात, यदि आप मुझसे पूछते हैं कि सिक्का क्या है, तो मैं आपको बताऊंगा कि आप ।$\frac{1}{2}$

2) जब भी आप मुझे जगाएंगे और मुझसे पूछेंगे, तो मैं आपको बताऊंगा ।$\frac{1}{3}$

3) जब आप मुझे बताते हैं कि यह आखिरी बार है जब आप मुझे जगा रहे हैं तो मैं तुरंत आपको यह बताने के लिए स्विच कर दूंगा कि संभाव्यता ।$\frac{1}{2}$

स्पष्ट रूप से (1) इस तथ्य से है कि सिक्का उचित है। (२) इस तथ्य से निम्नानुसार है कि जब आप जाग रहे होते हैं, तो आप अपने दृष्टिकोण से ३ समान रूप से संभावित स्थितियों में से एक होते हैं। उनमें से प्रत्येक प्रायिकता साथ हो सकता है ।$\frac{1}{2}$

तब (3) उसी तरीके से चलता है, सिवाय इसके कि जैसे ही आपको बताया जाता है कि यह आखिरी बार है जब आपको जगाया जा रहा है, स्थितियों की संख्या आप 2 तक ढह सकती है (जैसा कि अब पूंछ और यह पहली बार जब आप थे जागृत होना असंभव है)।

Comments

संभावना 3 के साथ 3 समान रूप से संभावित परिस्थितियां कैसे हो सकती हैं 1/2?

— Dax Fohl

@DaxFohl क्योंकि वे परस्पर अनन्य नहीं हैं।

— isaacg

Answer 15

मैं जेनेरिक मामले के लिए इस समस्या को हल करने जा रहा हूं जहां एसबी 'हेड्स' के बाद ' ' बार और ' ' बार ' ' के साथ 'टेल्स' के बाद ।$m$$n$$m≤n$

विशेष रूप से, अगर सिक्का 'हेड्स' है, तो उसे जागृत किया जाएगा ...

दिन 1
दिन 2 दिन
$\cdots$
$\cdots$
$m$

... और अगर सिक्का 'पूंछ' है, तो वह जाग जाएगा ...

दिन 1
दिन 2 दिन
$\cdots$
$\cdots$
$n$

$m≤n$

फिर इस विशिष्ट प्रश्न के लिए, और । मैं धारणाएँ बनाने नहीं जा रहा हूँ, केवल दी गई जानकारी का उपयोग करेगा जो कि सिक्का उचित है, इस प्रकार जागरण से पहले यह एसबी जागने पर वह नहीं जानती कि यह किस दिन है या पहले वह जाग चुकी थी। वह केवल यह जानती है कि एक उचित सिक्का 'प्रमुखों' और 'पूंछों' के संभावित परिणामों के साथ उछाला गया था। वह यह भी जानती है कि जागरण 'दिन 1' या 'दिन 2' या , या 'दिन ' पर हो रहा है। संभावित परिणाम 'प्रमुखों' के लिए, ' ' संभावित परिणाम हैं जिन्हें मैं , , , नाम ।$m=1$$n=2$

$$P(Heads)=P(Tails)=1/2.$$ $\ldots$$n$$m$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$D_1$ : यह जागृति 'दिन 1' पर हो रही है : यह जागृति 'दिवस 2' पर हो रही है : यह जागरण 'दिन 3' पर हो रहा है : यह जागरण 'दिवस ' पर हो रहा है
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_m$$m$

संभावित परिणाम 'पूंछ' के लिए, ऊपर उल्लिखित ' ' संभावित परिणाम सहित ' ' संभावित परिणाम हैं ।$n$$m$

$D_1$ : यह जागृति 'दिवस 1' पर हो रही है : यह जागरण 'दिन 2' पर हो रहा है : यह जागरण 'दिन 3' पर हो रहा है : यह जागरण 'दिवस ' पर हो रहा है
$D_2$
$D_3$
$\cdots$
$\cdots$
$D_n$$n$

इसलिए संभावित परिणाम हैं। अब दिए गए सिक्के को 'हेड्स' के रूप में , , , , समान रूप से होने की संभावना है। इसलिए ... इसके अलावा, दिया गया सिक्का 'पूंछ' पर आ गया है, घटनाएँ , , , समान रूप से संभावित हैं। इसलिए ... अब, किसी भी संभावित घटना के लिए जहाँ पूर्णांक और$m+n$$D_1$$D_2$$\ldots$$D_m$

$$P(D_1|H)=P(D_2|H)=\ldots=P(D_m|H) = \frac{1}{m}$$ $D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$ $$P(D_1|T)=P(D_2|T)=\ldots=P(D_n|T) = \frac{1}{n}$$ $D_i$$i$$1≤i≤m$ $$P(D_i\cap H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{m} = \frac {1}{2m}$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$ से , यह स्पष्ट रूप से है ... $m<i≤n$ $$P(D_i∩H)=P(H)\times P(D_i|H)=\frac{1}{2}\times0=0$$ $$P(D_i∩T)=P(T)\times P(D_i|T)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{n} = \frac {1}{2n}$$

अब चलो संभावित घटनाओं की संभावनाओं की गणना करते हैं , , ,$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

1 लिए$1≤i≤m$

$$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T) = \frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}$$ $m<i≤n$ $$P(D_i)=P(D_i∩H)+P(D_i∩T)=0+\frac {1}{2n} = \frac {1}{2n}$$

अब हम 'हेड्स' की संभावना की गणना कर सकते हैं कि दिया गया SB जाग गया है। जैसा कि ऊपर कहा गया है, जागृति पर संभावित घटनाएं , , , । इसलिए संभावना है ...$D_1$$D_2$$\ldots$$D_n$

$$\begin{align}P(H|awake)&=P(H|(D_1∪D_2∪...∪D_n))\\ &\\ &=\frac {P(H∩(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac {P((H∩D_1)∪(H∩D_2)∪\ldots∪(H∩D_n))}{P(D_1∪D_2∪\ldots∪D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{P(H∩D_1)+P(H∩D_2)+\ldots+P(H∩D_m)+\ldots+P(H∩D_n)}{P(D_1)+P(D_2)+\ldots+P(D_m)+\ldots+P(D_n)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2m}\times m + 0\times(n-m)}{(\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n})\times m + \frac {1}{2n}\times(n-m)}\\ &\\ &=\frac{\frac {1}{2}+0}{\frac {1}{2}+\frac{m}{2n}+\frac {1}{2}-\frac{m}{2n}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+\frac {1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2} \end{align}$$

हमारे पास पहले से ही उत्तर है, लेकिन आइए 'हेड्स' या 'टेल्स' की संभावना की भी गणना करें, क्योंकि जागरण एक निश्चित दिन में हो रहा है।

for$1≤i≤m$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2m}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{n}{m+n}$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac {1}{2n}}{\frac {1}{2m}+\frac {1}{2n}}=\frac{m}{m+n}$$

for$m<i≤n$

$$P(H|D_i)=\frac{P(H∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{0}{P(D_i)}=0$$ $$P(T|D_i)=\frac{P(T∩D_i)}{P(D_i)}=\frac{\frac{1}{2n}}{\frac{1}{2n}}=1$$

मुझे पता है कि यह उन लोगों के लिए एक उत्तर नहीं है जो "1/3" उत्तर मानते हैं। यह सशर्त संभावनाओं का सिर्फ एक सरल उपयोग है। इस प्रकार, मैं नहीं मानता कि यह समस्या अस्पष्ट है और इसलिए यह एक विरोधाभास है। हालांकि यह अस्पष्ट बनाकर पाठक के लिए भ्रमित कर रहा है कि यादृच्छिक प्रयोग और उन प्रयोगों की संभावित घटनाएं कौन सी हैं।

Comments

हमारी साइट पर आपका स्वागत है! आपको डॉलर प्रतीकों में पाठ सहित यहाँ उपलब्ध लेटेक्स टाइपसेटिंग का उपयोग करना उपयोगी लग सकता है, इसलिए उदाहरण$x$ उत्पादन करता है । प्रयोग एक नई लाइन पर समीकरण डालता है और इसे केंद्र बनाता है। जब आप किसी पोस्ट का संपादन कर रहे हों, तो हमारे संपादन सहायता पृष्ठ पर और भी युक्तियां उपलब्ध हैं? शीर्ष दाईं ओर। $x$$$x$$

— सिल्वरफिश

बस मैं कहना है कि आप "thirder" जवाब पाने के लिए यदि आप के अनिर्धारित औसत ले सोचा सब कुछ खत्म हो (के रूप में देखते हैं गैर शून्य नियम और कुल में शब्द)। आश्चर्य है कि अगर इसके बारे में कोई अंतर्ज्ञान है। $P(H|D_i)$$i$$m$$n$

— प्रोबेबिलिसलॉगिक

Answer 16

चूंकि नींद की सुंदरता याद नहीं कर सकती है कि वह कितनी बार पहले जाग चुकी है, हम दिए गए प्रमुखों की संभावना को नहीं देख रहे हैं कि वह सिर्फ एक बार जाग गई है, लेकिन प्रमुखों की संभावना को देखते हुए कि वह कम से कम एक बार जाग गई है :

तो हमारे पास है: और नहीं$P(Heads\mid x\geq1) = 1/2$ $P(Heads\mid x=1) = 1/3$

इस प्रकार उत्तर 50% है (आधे सही हैं), और कोई विरोधाभास नहीं है।

लोगों को यह वास्तव में है की तुलना में कहीं अधिक जटिल बनाने लगते हैं !

Comments

कृपया बताएं कि आप इन संभावनाओं की गणना कैसे करते हैं। यह उत्तर विरोधाभास को हल करने के लिए नहीं, बल्कि इसे पूरी तरह से अनदेखा करने के लिए लगता है।

— whuber

आपका क्या मतलब है कि मैंने विरोधाभास को अनदेखा किया है? उपेक्षा करने वाला कोई नहीं है। मैंने सिर्फ यह समझाया कि थाइडर तर्क बकवास है क्योंकि यह मानता है कि वह सोचती है कि वह सिर्फ एक बार उठा, जबकि वह जानती है कि वह कम से कम एक बार जाग चुकी है, जिसका अर्थ है कि यह समान रूप से सिर या पूंछ हो सकती है।

— केल्विन

दूसरे शब्दों में, यह देखते हुए कि वह केवल एक बार जागने की परवाह किए बिना याद करेगी कि वह वास्तव में कितनी बार जागती है, प्रायिकता समान (50%) होनी चाहिए, भले ही वह कितनी बार उठती हो, कितनी बार सिर हिलाया गया था। फ्रीक्वेंसी केवल तभी गिना जाता है जब आप वास्तव में उन्हें गिनना याद करते हैं!

— केल्विन

यह समस्याग्रस्त है, क्योंकि आप यह प्रस्तावित करने लगते हैं कि एक भुलक्कड़ सांख्यिकीविद् (जो कुछ घटनाओं को नहीं गिनता है, उदाहरण के लिए) केवल एक अप्रतिहत सांख्यिकीविद् के रूप में उद्देश्य है। इसके अलावा, सेटिंग और प्रश्न की ओवर बाय बायसियन / व्यक्तिपरक प्रकृति को देखते हुए, आवृत्तियों के लिए किसी भी अपील को देखभाल की आवश्यकता होती है।

— whuber

1654 के पतन में अंक की समस्या के Fermat के संकल्प के साथ शुरू होने की संभावना में कई तर्क, "काल्पनिक आवृत्तियों को गिना जा सकता है" पर भरोसा करते हैं। उस मामले में उसका समाधान यह माना गया कि " गेम्स से बेस्ट आउट " के सेट के बाद सभी प्रयासों से पहले हल किया गया था , संभावनाएं - और - से गणना की जानी चाहिए जैसे कि शेष गेम खेले गए (हालांकि वे कभी नहीं हुए कर रहे हैं)। इस प्रकार ऐसा लगता है कि "वास्तव में आवृत्तियों की गणना" के बारे में आपका दावा कुछ समय पहले डिबंक किया गया था। $m$$n$$n$

— whuber

Answer 17

गैर statistially

उसकी सभी जन्मजात प्रतिभा में, स्लीपिंग ब्यूटी उसकी नींद में काल्पनिक प्रयोग कर सकती है, जो उसके विश्वास को आकार देगा:

import numpy as np

# Take clones of our Sleeping Beauties.
# One type of clones is persistently heads guessing,
# the other persistently guesses tails.

# Keeping score for heads guessing Sleeping Beauty ...
guessed_heads_right = 0

# ... and also for the tails guessing Sleeping Beauty
guessed_tails_right = 0

# Coding the toss outcomes
HEADS = 0
TAILS = 1


# Function to wake up heads guessing Sleeping Beauty
def heads_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == HEADS


# Function to wake up tails guessing Sleeping Beauty
def tails_guesser_guesses_right(toss):
    return toss == TAILS


# Repeating the tossing and awakenings many times
for i in range(1000):

    # Toss fair coin, result is either HEADS or TAILS
    toss = np.random.randint(0, 2)

    # Waking SBs up first time and count successful guesses
    if heads_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_heads_right += 1
    if tails_guesser_guesses_right(toss):
        guessed_tails_right += 1

    # If toss was TAILS, wake SBs up second time ...
    if toss == TAILS:

        # ... and counts successful guesses
        if heads_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_heads_right += 1
        if tails_guesser_guesses_right(toss):
            guessed_tails_right += 1

# Print the raw statistics
print('Guessed HEADS right: {}'.format(guessed_heads_right))
print('Guessed TAILS right: {}'.format(guessed_tails_right))

आउटपुट:

Guessed HEADS right: 498
Guessed TAILS right: 1004

तो हमारी स्लीपिंग ब्यूटी बेहतर अनुमान लगाने वाली पूंछों पर विश्वास करेगी।

और सांख्यिकीय रूप से?

उपरोक्त एल्गोरिथ्म यह a statistically rigorous wayनिर्धारित करने के लिए नहीं है कि क्या अनुमान लगाया जाए। हालांकि, यह यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट करता है कि पूंछ के मामले में, वह दो बार अनुमान लगाती है, इस प्रकार अनुमान लगाने की पूंछ सही अनुमान होने की संभावना दोगुनी है। यह प्रयोग की परिचालन प्रक्रिया से होता है।

बार-बार होने वाली संभावना

फ़्रीक्वेंटिस्ट प्रोबेबिलिटी फिशर, नेमन और (ईगॉन) पियर्सन के सिद्धांतों के आधार पर आँकड़ों की एक अवधारणा है।

फ़्रीक्वेंटिस्ट प्रोबेबिलिटी में एक बुनियादी धारणा यह है कि प्रयोगों में संचालन को दोहराया जा सकता है, कम से कम काल्पनिक रूप से, अनंत बार। ऐसा प्रत्येक ऑपरेशन एक परिणाम ।$n$$E_{n}$

एक परिणाम की संभावना को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:$E$$Pr(E)\equiv\texttt{lim}_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{E_{n}}{N}\right)$

यह वही है जो स्लीपिंग ब्यूटी ने अपने सिर के ऊपर किया था: यदि हेड्स का अनुमान लगाते समय सही होने की घटना है, तो परिवर्तित हो जाता है ।$E$$Pr(E)$$\frac{1}{3}$

और उसका मानना ​​है?

इसलिए जब वह अंत में यहां पहुंचती है तो उसके तर्क के आधार पर उसके विश्वास को आधार बनाने के लिए सांख्यिकीय रूप से कठोर आधार होते हैं। लेकिन वह आखिरकार उन्हें कैसे आकार देगा, वास्तव में उसके मानस पर निर्भर करता है।

Comments

लिए औपचारिक परिभाषा में , भाजक को यादृच्छिक चर नहीं होना चाहिए? यदि आप "E" को परिभाषित करते हैं, तो SB समस्या में सीमित अंश वास्तव में की तरह अधिक नहीं है? $Pr(E)$$\frac{E_n}{n+E_n}$

— probabilityislogic

तो ..... आपकी घटना क्या है ? के बाद का मान या सही है? एन = 1 ई 1 1 $E_n$$N=1$$E_1$$1$$0$

— संभाव्यता

और पूरक घटना - अंदाजा लगा रहा है कि । यह होगा? 1 - ई $E^c_1$$1-E_1$

— प्रोबेबिलिसलॉजिक

Answer 18

मैंने सिर्फ अपनी बात समझाने के लिए एक नया तरीका सोचा है, और 1/2 उत्तर में क्या गलत है। एक ही सिक्के के फ्लिप का उपयोग करके, एक ही समय में प्रयोग के दो संस्करण चलाएं। एक संस्करण मूल की तरह है। अन्य में, तीन (या चार - यह कोई फर्क नहीं पड़ता) स्वयंसेवकों की जरूरत है; प्रत्येक को हेड्स-ऑर-टेल्स और मंडे-या-मंगलवार का एक अलग संयोजन सौंपा गया है (यदि आप केवल तीन स्वयंसेवकों का उपयोग करते हैं तो हेड्स-मंगलवार का संयोजन छोड़ दिया जाता है)। उन्हें क्रमशः एचएम, एचटी, टीएम, और टीटी लेबल करें (संभवतः एचटी को छोड़ देना)।

यदि दूसरे संस्करण में एक स्वयंसेवक को इस तरह से जगाया जाता है, तो वह जानती है कि उसे एचएम, टीएम, या टीटी लेबल करने की उतनी ही संभावना थी। दूसरे शब्दों में, संभावना है कि उसे एचएम लेबल किया गया था, यह देखते हुए कि वह जाग रही है, 1/3 है। चूँकि सिक्का पलटा और दिन इस असाइनमेंट के अनुरूप है, वह तुच्छ रूप से उस P (हेड्स | अवेक) = 1/3 को घटा सकता है।

पहले संस्करण में स्वयंसेवक को एक से अधिक बार जगाया जा सकता है। लेकिन चूंकि "आज" केवल उन दो संभावित दिनों में से एक है, जब वह जाग रही होती है तो उसके पास दूसरे संस्करण में जागृत स्वयंसेवक जैसी ही जानकारी होती है। वह जानती है कि उसकी वर्तमान परिस्थितियाँ अन्य स्वयंसेवकों में से एक, और केवल एक पर लागू लेबल के अनुरूप हो सकती हैं । यही है, वह खुद से कह सकती है "या तो एचएम, या एचटी, या टीटी लेबल वाला स्वयंसेवक भी जाग रहा है। चूंकि प्रत्येक समान रूप से संभावना है, इसलिए एचएम एक 1/3 मौका है और इसलिए 1/3 मौका सिक्का उतरा है। पूंछ। "

लोग गलती करने का कारण यह है कि वे भ्रमित करते हैं "प्रयोग के दौरान कुछ समय पहले जाग रहा है" के साथ "अब जाग रहा है।" 1/2 जवाब खुद के लिए कह रही है "या तो एचएम केवल अन्य जाग स्वयंसेवक है मूल एस.बी. से आता है अब , या टीएम और टीटी हैं दोनों जाग प्रयोग के दौरान कुछ समय । चूंकि प्रत्येक स्थिति समान रूप से होने की संभावना है, वहाँ एक मौका है 1/2 यह एचएम है और इसलिए 1/2 मौका है कि सिक्का उतरा। यह एक गलती है क्योंकि केवल एक अन्य स्वयंसेवक अब जाग रहा है।

Comments

प्रत्येक समान रूप से संभावना नहीं है। ऐसा क्यों होगा? कहते हैं कि सिक्के को एक लाख सिर की ओर झुका दिया गया था। आप यह नहीं कह सकते कि तीन चीजें समान रूप से सिर्फ इसलिए संभव हैं क्योंकि उनमें से तीन हैं।

— Dax Fohl

आपके दूसरे संस्करण में - तीन लोग निश्चित नहीं हैं कि प्रयोग शुरू होने से पहले वे जाग जाएंगे। इसलिए एक बार जाग जाना उस मामले में जानकारीपूर्ण है। आप पहले मामले में एक स्थिति प्रदान नहीं कर सकते, जहां sb को नहीं जगाया गया हो। sb को पता है कि यह होगा - इसलिए वह यह देखती है कि ऐसा होना चाहिए नहीं हो, inferences में परिवर्तन नहीं करना चाहिए

— संभावना

दूसरे संस्करण में, प्रत्येक व्यक्ति वास्तव में निश्चित है कि वह जाग जाएगा। दो बिल्कुल एक बार जगे होंगे, और दो बिल्कुल दो बार जगे होंगे। लेकिन दूसरे संस्करण की बात यह दिखाना है कि इस तरह की आपत्ति एक लाल हेरिंग क्यों है।

— 21

Answer 19

सांख्यिकीय रूप से कठोर उत्तर देने के बजाय, मैं प्रश्न को थोड़ा इस तरह से संशोधित करना चाहूंगा, जो उन लोगों को समझा सके जिनके अंतर्ज्ञान के कारण वे आधे हो जाते हैं।

कुछ शोधकर्ता आपको सोने के लिए कहना चाहते हैं। एक निष्पक्ष सिक्के के गुप्त टॉस के आधार पर, वे आपको एक बार (प्रमुख) या नौ-सौ और निन्यानबे बार (पूंछ) जागृत करेंगे। प्रत्येक जागरण के बाद वे आपको एक दवा के साथ सोने के लिए वापस रख देंगे जिससे आप उस जागरण को भूल जाएंगे।

जब आप जागृत होते हैं, तो आपके पास विश्वास की क्या डिग्री होनी चाहिए कि सिक्का टॉस का परिणाम हेड्स था?

पहले जैसे ही तर्क के बाद, दो शिविर हो सकते हैं -

• हलाफ़र्स - सिक्का टॉस निष्पक्ष था, और एसबी यह जानता है, इसलिए उसे मानना ​​चाहिए कि सिर का एक-आधा मौका है।
• हजारों - यदि प्रयोग कई बार दोहराया गया था, तो सिक्का टॉस एक हजार बार में केवल एक ही होगा, इसलिए उसे विश्वास होना चाहिए कि सिर का मौका एक हजार में से एक है।

मेरा मानना ​​है कि मूल रूप से शब्द के रूप में सवाल से कुछ भ्रम केवल इसलिए उठता है क्योंकि आधे और तीसरे के बीच बहुत अंतर नहीं है। लोग स्वाभाविक रूप से संभावनाओं को कुछ फजी अवधारणाओं के रूप में समझते हैं (विशेषकर जब संभावना एक आवृत्ति के बजाय डिग्री-टू-विश्वास है) और एक आधे और तीसरे के विश्वास की डिग्री के बीच अंतर को अंतर करना मुश्किल है।

हालांकि, एक हजार में एक आधे और एक के बीच का अंतर बहुत अधिक है। मेरा दावा है कि यह अधिक लोगों के लिए सहज रूप से स्पष्ट होगा कि इस समस्या का उत्तर एक हजार के बजाय एक हजार में है। मुझे समस्या के इस संस्करण का उपयोग करके "तर्क" को उनके तर्क का बचाव करने में दिलचस्पी होगी।

Comments

क्रिस, रक्षा अपरिवर्तित है। हफ़र स्थिति के अधिक सहज दृश्य के लिए, इस पर विचार करें कि आप प्रयोग के निम्नलिखित (बल्कि भयानक) संशोधन में क्या करेंगे। हर बार जब आप जागते हैं, तो आपको "ए" या "बी" कहना होगा। प्रयोग के अंत में (1) यदि हेड्स और आपने "ए" कहा था, तो आप 1 अंक स्कोर करते हैं; (2) यदि पूंछ और आपने हमेशा "बी" कहा है तो आप 0.1 अंक प्राप्त करते हैं; (३) अन्यथा आप कुछ भी नहीं स्कोर करते हैं। फिर 0 से 1 की सीमा में एक यादृच्छिक संख्या चुन ली जाती है: यदि यह आपके अंकों से अधिक है, तो आप मारे गए हैं। क्या आप वास्तव में पूंछ में इतने आश्वस्त हैं कि आप हमेशा "बी" कहेंगे ...?

— Creosote

यदि आप एसबी से सवाल पूछते हैं "यह कौन सा जागरण है?" - उसे "फर्स्ट संभावना के साथ" पहली बार "सोचना चाहिए कि नहीं चाहिए? $\frac{1001}{2000}$

— probabilityislogic

Answer 20

यदि सोई हुई सुंदरता को या तो सिर या पूंछ कहना पड़ता - तो वह पूंछ उठाकर अपने अपेक्षित 0-1 नुकसान समारोह (प्रत्येक दिन का मूल्यांकन) को कम कर देती। यदि, हालांकि, 0-1 हानि समारोह का मूल्यांकन केवल प्रत्येक परीक्षण के लिए किया गया था, तो या तो सिर या पूंछ समान रूप से अच्छे होंगे।

Answer 21

तीसरा जीतता है

एक सिक्के के बजाय, एक उचित पासा मानें:

on friday, the sleeping beauty will sleep:
if the dice == 1 , they will awake her on saturday;
if the dice == 2 , they will awake her on saturday and sunday;
if the dice == 3 , they will awake her on saturday, sunday and monday;
if the dice == 4 , they will awake her on saturday, sunday, monday and tuesday;
if the dice == 5 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday and wednesday;
if the dice == 6 , they will awake her on saturday, sunday, monday, tuesday, wednesday and thursday;

हर बार वे उससे पूछते हैं कि आपको किस डिग्री पर विश्वास करना चाहिए कि पासा का परिणाम 1 था? '

हाफ़र्स कहेंगे पासा की संभावना = 1 1/6 है । तीसरे पक्षकार कहेंगे पासा की संभावना = 1 = 1/21 है

लेकिन सिमुलेशन स्पष्ट रूप से समस्या हल करता है:

days <- c("saturday", "sunday", "monday", "tuesday", "wednesday", "thursday")

#she will answer the dice was 1 every time 
#the trick here is that this is not absolutely random because every day implies the days before it. 


number_of_correct_answer <- 0
number_of_days <- 0
for (i in 1:1000){
dice <- sample(1:6,1)
for (item in days[1:dice]){
        number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (dice == 1)
        number_of_days <- number_of_days + 1
}
}
number_of_correct_answer/number_of_days
#equals 1/21
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment has more than one day we will get 1/6
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/6

इसके अलावा, हम टॉस समस्या का अनुकरण कर सकते हैं

days <- c("monday", "tuesday")
number_of_correct_answer <- 0
number_of_tosses <- 0
for (i in 1:1000){
        toss <- sample(1:2,1)
        for (item in days[1:toss]){
                number_of_correct_answer <- number_of_correct_answer + (toss == 1)
                number_of_tosses <- number_of_tosses + 1
        }
}
number_of_correct_answer/number_of_tosses
#equals 1/3
#but if we divided by 1000 , which is incorrect because every experiment can has more than one toss we will get 1/2
number_of_correct_answer/1000
#equals 1/2

Comments

यह निर्धारित करने के लिए आपके मानदंड कि कौन सही है - सही संख्या / अनुमानों का अंश, संभावना के बारे में नहीं पूछ रहा है, क्योंकि किए गए अनुमानों की संख्या उस यादृच्छिक परिणाम पर निर्भर करती है जो आप अनुकरण कर रहे हैं (यानी अंश का भाजक यादृच्छिक है, निश्चित नहीं है)

— संभाव्यता

मान लीजिए मैं आपसे एक गेम खेलने के लिए शुल्क लेता हूं जहां मैं एक डाई रोल करता हूं, कहते हैं। आप मुझे भुगतान करते हैं और आप अनुमान लगाते हैं कि कौन सी संख्या है। मान लीजिए कि आप कहते हैं कि । यदि आप सही हैं, तो मैं आपको डॉलर । अपेक्षित हानि । तो "उचित अदायगी" को सेट । लेकिन मात्रा साइड "d" के आने की संभावना के बारे में एक बयान नहीं है - यह सट्टेबाजी के औसत नुकसान के बारे में एक बयान है। मरने की संभावनाएं अभी भी 1/6 हैं$x$$x$$d$$d\times g_d$$(dg_d-d)/6 - (1+2+3+4+5+6-d)/6=(dg_d-21)/6$$g_d = 21/d$$d/21$

— प्रायिकतालोगिक

Answer 22

स्पष्ट विरोधाभास झूठे आधार से निकलता है कि संभावनाएं निरपेक्ष हैं। वास्तव में, संभावनाएं गिना जाने वाली घटनाओं की परिभाषा के सापेक्ष हैं ।

मशीन लर्निंग के लिए समझने के लिए यह एक महत्वपूर्ण बिंदु है। हम किसी चीज की संभावना की गणना करना चाहते हैं (उदाहरण के लिए, एक ट्रांसक्रिप्शन सही किया जा रहा है जो ऑडियो का एक टुकड़ा है) कारकों में इसके अपघटन के माध्यम से (विभिन्न समय पर पत्रों की संभावनाएं, ) एक मॉडल द्वारा बनाया गया है। पूरे ऑडियो पर नहीं बल्कि इसके एक पल में दिखता है (यह गणना करता है )। बराबर हो सकता है क्योंकि P के अलग-अलग परिभाषित हैं । विभिन्न पी को एक ही समीकरण में नहीं रखा जा सकता है, लेकिन सावधानीपूर्वक विश्लेषण हमें दो डोमेन के बीच परिवर्तित करने की अनुमति दे सकता है।$P(Letter,Time|Audio)$$P(Letter|Time,Audio)$$P(Letter,Time)$$P(Letter|Time)$

दोनों P (प्रमुख) = 1/2 wrt दुनिया (या जन्म), और P (प्रमुख) = 1/3 wrt इंस्टेंट (या जागृति) सत्य हैं, लेकिन सोने के लिए रखा जाने के बाद स्लीपिंग ब्यूटी केवल instants के संबंध में संभावनाओं की गणना कर सकती हैं क्योंकि वह जानती है कि उसकी याददाश्त मिट जाती है। (सोने से पहले, वह इसे दुनिया के संबंध में गणना करेगी।)

Comments

मैंने भाषण की रूपरेखा तैयार की हो सकती है। एक मॉडल जिसे मैं वर्तमान में रूप में । ML मॉडल स्वयं उदाहरणों (व्यक्तिगत टाइमस्टेप्स) को देखता है और टाइमस्टेप-स्तर भविष्यवाणी करता है ....$P(FirstPhoneme=P1,FirstPhonemeEndTime=T1,SecondPhoneme=P2,SecondPhonemeEndTime=T2,...|Audio=A)$$P(FirstPhoneme,FirstPhonemeEndTime|Audio)*P(SecondPhoneme,SecondPhonemeEndTime|FirstPhoneme,FPEndTime,Audio)$$P(Phoneme=P,IsEndBoundary=True|Time=T,Audio=A)$

— Aleksandr Dubinsky

ध्यान दें कि EndTime चर एक IsEndBoundary और एक समय में विभाजित है। यह हाइलाइटिंग स्लीपिंग ब्यूटी की तरह ही हम विभिन्न डोमेन में हैं। इस सवाल के विपरीत, टाइमस्टेप-स्तरीय प्रशिक्षण डेटा संतुलित है, और यह भी पर्याप्त ध्यान रखते हुए कि Nth phoneme और किसी भी phoneme की भविष्यवाणी के बीच की विसंगति का हिसाब है, संख्यात्मक मान लगभग बराबर आते हैं।

— अलेक्सांद्र डबिन्स्की

Answer 23

मुझे लगता है कि त्रुटि "थर्डर्स" से है और मेरा कारण यह है कि "जागृति" समान रूप से होने की संभावना नहीं है - यदि आप जाग गए हैं तो "पहली बार" होने की संभावना अधिक है आप जाग गए थे - एक 75 वास्तव में% मौका।

इसका मतलब है कि आप "3 परिणाम" (हेड 1, टेल 1, टेल 2) को समान रूप से नहीं गिन सकते।

मुझे लगता है कि यह भी का मामला प्रतीत होता है जहां का प्रस्ताव है कि एसबी जाग गया है। किसी चीज को दो बार सच कहना एक ही बात को एक बार कहने जैसा है। SB को नए डेटा के साथ प्रदान नहीं किया गया है, क्योंकि पूर्व से भविष्यवाणी । इसे लगाने के अन्य तरीके हैं और और । इसका मतलब$AA=A$$A$$Pr(A|I)=1$$I\implies A$$IA=I$$p(H|AI)=p(H|I)=0.5$

गणित @ पिट 847 द्वारा दिए गए उत्तर में स्पष्ट रूप से दिखाया गया है, इसलिए मैं इसे अपने में नहीं दोहराऊंगा।

लेकिन, प्रत्येक जागरण पर परिणाम का अनुमान लगाने के लिए डॉलर की शर्त लगाने के संदर्भ में और यदि आप सही हैं तो आपको डॉलर दिए जाते हैं। इस मामले में, आपको हमेशा पूंछ का अनुमान लगाना चाहिए क्योंकि यह परिणाम "भारित" है। यदि सिक्का पूंछा गया, तो आप दो बार दांव लगाएंगे। इसलिए आपका अपेक्षित लाभ (इस कॉल करें ) यदि आपको लगता है कि हेड्स और इसी तरह अनुमान लगाने के लिए $1$$g$$U$

$$E(U|h)=0.5\times (g-1) + 0.5\times (-2) = \frac{g - 3}{2}$$ $$E(U|t)=0.5\times (-1) + 0.5 \times (2g-2)=\frac{2g - 3}{2}$$

तो आप अनुमान लगाने की पूंछ से औसतन एक अतिरिक्त करते हैं। "उचित शर्त" राशि$\frac{g}{2}$$g=\frac{3}{2}=1.5$

अब यदि हम उपरोक्त दोहराते हैं, लेकिन एक आधे के बजाय एक तिहाई का उपयोग करते हैं, तो हमें और । इसलिए हम अभी भी अनुमान लगा रहे हैं कि पूंछ एक बेहतर रणनीति है। इसके अलावा, "उचित शर्त" राशि$E(U|h)=\frac{g-5}{3}$$E(U|t)=\frac{4g-5}{3}$$g=\frac{5}{4}=1.25$

अब हम कह सकते हैं कि "थर्डर्स" को दांव लगाना चाहिए जहां । लेकिन "हाफ़र्स" यह शर्त नहीं लगाएगा। @ Ytsen de Boer के पास एक सिमुलेशन है जिसे हम परीक्षण कर सकते हैं। हमारे पास सिर और पूंछ हैं, इसलिए सट्टेबाजी की पूंछ आपको जीता हुआ दांव में । लेकिन ... आपको इसे पाने के लिए बार खेलना पड़ा - जो कि का शुद्ध नुकसान है - इसलिए "तीसरे" हार गए! यह भी ध्यान दें कि यह वास्तव में सट्टेबाजी की पूंछ के लिए थोड़ा अनुकूल परिणाम है।$g=1.4$$498$$502$$1004 \times 1.4 = 1405.6$$1502$$97.6$

Comments

आप पिछली संभावनाओं के साथ पूर्व संभावनाओं को भ्रमित कर रहे हैं। कुछ उन्हें बिना शर्त और सशर्त कहेंगे, क्योंकि अंतर अवलोकन पर निर्भर करता है कि परिणाम एक स्थिति को संतुष्ट करता है। त्रुटि हाफ़र्स है, क्योंकि वे किसी परिणाम का अवलोकन करने के लिए SB की क्षमता को भ्रमित करते हैं, उस परिणाम की घटना के साथ। रविवार की रात, प्रमुखों ने 1/2 की पूर्व संभाव्यता बताई। सोमवार के साथ संयोजन के प्रमुखों में 1/2 की पूर्व संभावना है। और मंगलवार के साथ प्रमुखों में 1/2 की पूर्व संभावना है। हां, वे अभी भी एक साथ होते हैं, लेकिन एसबी इसका निरीक्षण नहीं करेगा।

— जेफ जूल

लेकिन जब एसबी जाग रहा होता है, तो उसे पूर्व संभावनाओं के एक अलग सेट की आवश्यकता होती है। कहो कि वह हमेशा दोपहर में जवाब देती है। पूर्व की संभावना। सिक्का परिणाम C के प्रत्येक संयोजन के लिए 1/4 के बाद यह दोपहर डे पर है। लेकिन अगर वह जाग रही है, तो एसबी यह देख सकता है कि हेड + मंगलवार + दोपहर का मामला नहीं है, लेकिन अन्य तीन संयोजन हो सकते हैं। इससे उसे प्रत्येक की 1/3 की सही उत्तरवर्ती संभावनाओं के लिए अद्यतन किया जा सकता है। इसका मतलब यह है कि पहले जागने की संभावना 2/3 है, आपके 3/4 नहीं। आप सिमुलेशन द्वारा इसे सत्यापित कर सकते हैं यदि आप चाहते हैं - 3 में से 2 जागरण पहले हैं। इसका मतलब यह भी है कि हेड्स की संभावना 1/3 है।

— जेफजो

@ JeffJo- तो क्या पूर्व संभावना है कि sb एक या दो बार जाग जाएगा?

— प्रोबेबिलिसलॉजिक

Answer 24

जब स्लीपिंग ब्यूटी जागृत होती है, तो वह जानती है:

परिणाम देने के लिए एक उचित सिक्का उछाला गया था ; अगर तो यह एकमात्र बाद का जागरण है; और अगर तो यह बाद के दो में से एक है।$r$$r = \mathrm{H}$$r = \mathrm{T}$

इस जानकारी को कॉल करें । उसके प्रश्न के लिए और कुछ भी प्रासंगिक नहीं है, जो है:$\mathcal{I}$

क्या है$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I})?$

यह संभावनाओं को निर्दिष्ट करने का एक प्रश्न है, जैसा कि उनके संदर्भ में विरोध किया गया है। यदि जागरण की संख्या है, तो बराबर है $w$$\mathcal{I}$

$$(r = \mathrm{H} \vee r = \mathrm{T}) \wedge (r = \mathrm{H} \implies w = 1) \wedge (r = \mathrm{T} \implies (w = 1 \vee w = 2))$$

जो तार्किक रूप से

$$(r = \mathrm{H} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 1) \vee (r = \mathrm{T} \wedge w = 2)$$

स्लीपिंग ब्यूटी की कोई और जानकारी नहीं है। अपर्याप्त कारण के सिद्धांत के अनुसार, वह प्रत्येक अव्यवस्था के लिए संभावना को निर्दिष्ट करने के लिए बाध्य है । इसलिए, |$\frac{1}{3}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{3}$

---

पुनश्च

सेकंड के विचारों पर, पूर्ववर्ती उत्तर लागू होता है जब "उचित सिक्का" का अर्थ केवल यह बताया जाता है कि सिक्का फ्लिप परिणाम के लिए दो संभावनाएं हैं, या । लेकिन शायद "उचित सिक्का" वाक्यांश की एक अधिक वफादार व्याख्या यह है कि यह सीधे उस , को निर्दिष्ट करता है, जहाँ पर समस्या कथन में इसका उत्तर दिया गया है।$\mathrm{H}$$\mathrm{T}$$\mathrm{prob}(r = \mathrm{H} | \mathcal{I}) = \frac{1}{2}$

मेरे विचार में, हालांकि, इस तरह के बयान तकनीकी रूप से अनजाने हैं, क्योंकि संभावना एक ऐसी चीज है जिसे पूर्ववर्ती और परिणामी प्रस्तावों से काम लेना चाहिए । वाक्यांश "एक निष्पक्ष सिक्के का गुप्त टॉस" सवाल उठाता है: स्लीपिंग ब्यूटी कैसे जानती है कि यह उचित है? उसके पास कौन सी जानकारी है जो उसे स्थापित करती है? आम तौर पर एक आदर्श सिक्के की निष्पक्षता इस तथ्य से काम की जाती है कि दो संभावनाएं हैं जो जानकारी के समतुल्य हैं। जब सिक्का फ्लिप को जागरण कारक के साथ मिलाया जाता है, तो हमें तीन संभावनाएं मिलती हैं जो सूचनात्मक रूप से समकक्ष हैं। यह अनिवार्य रूप से एक तीन-पक्षीय आदर्श सिक्का है, इसलिए हम उपरोक्त समाधान पर पहुंचते हैं।

Comments

उदासीनता का सिद्धांत केवल तभी लागू होता है जब परिणाम पूंछ (यानी मुझे नहीं पता कि यह क्या जागृति है, # 1 या # 2)। सिर के लिए ऐसा नहीं है (यानी मुझे पता है कि यह # 1 है)। इसका मतलब है कि जागृति # 1 अधिक होने की संभावना है

— संभाव्यता

@probabilityislogic मैं सिद्धांत को सीधे लागू कर रहा हूं। लेकिन आपने अभी मुझे अपने उत्तर पर पुनर्विचार किया है, इसलिए मैं एक पोस्टस्क्रिप्ट जोड़ने जा रहा हूं।

— कार्बनफ्लैम्ब

Answer 25

पार्टी के लिए देर से, मुझे पता है।

यह प्रश्न मोंटी हॉल की समस्या से काफी मिलता-जुलता है, जहाँ आपसे यह अनुमान लगाने के लिए कहा जाता है कि पुरस्कार के 3 में से कौन सा दरवाज़ा है। आप दरवाजा नंबर 1 चुनें। फिर प्रस्तुतकर्ता (जो जानता है कि पुरस्कार कहां है) खेल से दरवाजा नंबर 3 को हटा देता है, और पूछता है कि क्या आप अपने अनुमान को दरवाजा नंबर 1 से दरवाजा नंबर 2 पर स्विच करना चाहते हैं, या अपने प्रारंभिक अनुमान के साथ रहना चाहते हैं। कहानी आगे बढ़ती है, आपको हमेशा स्विच करना चाहिए, क्योंकि पुरस्कार के लिए दरवाजा नंबर 2 में होने की संभावना अधिक है। लोग आमतौर पर इस बिंदु पर भ्रमित हो जाते हैं और बताते हैं कि पुरस्कार की संभावना अभी भी 1/3 है। लेकिन वह बात नहीं है। सवाल यह नहीं है कि प्रारंभिक संभावना क्या थीअसली सवाल यह है कि आपके पहले अनुमान सही होने के क्या मौके हैं, बनाम क्या संभावनाएं हैं जो आपको गलत लगीं। किस स्थिति में, आपको स्विच करना चाहिए, क्योंकि आपके द्वारा गलत किए गए मौके 2/3 हैं।

मोंटी हॉल समस्या के साथ, चीजें अविश्वसनीय रूप से स्पष्ट हो जाती हैं अगर हम एक लाख दरवाजे में 3 दरवाजे बनाते हैं। अगर वहाँ एक लाख दरवाजे हैं, और आप दरवाजा नंबर 1 चुनते हैं, और प्रस्तुतकर्ता 3 से एक मिलियन तक के दरवाजे बंद कर देता है, तो केवल दरवाजे नंबर 1 और दरवाजे नंबर 2 को छोड़ दें, क्या आप स्विच करेंगे? बेशक आप करेंगे! आपके द्वारा पहली बार सही ढंग से डोर नंबर 1 को चुनने की संभावना 1 मिलियन में 1 थी। संभावना है कि तुम नहीं थे

दूसरे शब्दों में, तर्क करने में त्रुटि यह मानने से आती है कि किसी कार्य को करने की संभावना किसी क्रिया के होने की संभावना के बराबर है, जब दोनों के बीच का संदर्भ उन्हें समतुल्य बयान नहीं देता है। समस्या के संदर्भ और परिस्थितियों के आधार पर अलग-अलग तरीके से फंसाया गया, 'सही ढंग से चुने जाने' की संभावना 'सही ढंग से चुने जाने' की संभावना के समान नहीं हो सकती है।

इसी तरह नींद की समस्या के साथ। यदि आप पूंछ के मामले में 2 बार नहीं जागे थे, लेकिन 1 मिलियन बार, तो आपके लिए यह कहना अधिक समझ में आता है "यह जो वर्तमान जागरण मैं अभी अनुभव कर रहा हूं, उनमें से एक के बीच में होने की संभावना अधिक है टेल्स थ्रो से लाखो जागरण की लकीर, मेरे होने की वजह से उस एकल जागरण पर धक्के खाने के लिए हुआ, जिसके परिणामस्वरूप हेड्स बन गए। तर्क है कि यह एक उचित सिक्का है यहाँ कुछ भी करने के लिए कुछ भी नहीं है। उचित सिक्का आपको केवल यह बताता है कि प्रमुखों को 'फेंकने' की संभावनाएं क्या हैं, अर्थात जब आप पहली बार उस सिक्के को फेंकते हैं, तो एक लाख बार बनाम एक बार उठने की संभावना। इसलिए यदि आप एसबी को प्रयोग से पहले यह चुनने के लिए कहें कि क्या वह हर बार फेंकने से पहले एक बार या एक लाख बार सोएगा, तो 'सही तरीके से चुनने' की उसकी संभावना वास्तव में 50% है।

लेकिन उस बिंदु से, लगातार प्रयोगों को मानते हुए, और तथ्य यह है कि एसबी को यह नहीं बताया गया है कि वह वर्तमान में किस प्रयोग में है, किसी भी बिंदु पर वह जाग गया है, 'थ्रो' हेड्स होने की संभावना बहुत कम है, क्योंकि उसके होने की संभावना अधिक है। एक से एक लाख जागने से जाग गया।

ध्यान दें कि यह समस्या के पुनरावर्ती के अनुसार लगातार प्रयोगों का तात्पर्य है। यदि एसबी प्रयोग की शुरुआत से आश्वस्त होता है कि केवल एक ही प्रयोग होगा (अर्थात केवल एक तोइन कोस), तो उसका विश्वास 50% तक वापस चला जाता है, क्योंकि किसी भी समय, तथ्य यह है कि वह जाग गया हो सकता है अब से पहले कई बार अप्रासंगिक हो जाता है। दूसरे शब्दों में, इस संदर्भ में, 'सही ढंग से चुनने' और 'सही ढंग से चुने जाने' की संभावना फिर से बराबर हो जाती है।

यह भी ध्यान दें, कि 'सट्टेबाजी' का उपयोग करने वाले कोई भी रीफ़्रेशिंग, अलग-अलग प्रश्न हैं जो संदर्भ को पूरी तरह से बदल रहे हैं। उदाहरण के लिए, यहां तक ​​कि एक ही प्रयोग में, यदि आप हर बार आपको सही अनुमान लगाने के लिए धन प्राप्त करना चाहते थे, तो आप स्पष्ट रूप से पूंछ के लिए जाएंगे; लेकिन यह इसलिए है क्योंकि अपेक्षित इनाम अधिक है, इसलिए नहीं कि पूंछ की संभावना सिर से अलग है। इसलिए कोई भी 'समाधान' जो सट्टेबाजी का परिचय देता है, केवल उस सीमा तक ही मान्य होता है, जब वे समस्या को एक विशेष व्याख्या तक सीमित कर देते हैं।

Answer 26

इससे पहले कि एसबी सो जाता है वह मानती है कि अगले सिक्के के पलटने का मौका 1/2 है। जागने के बाद, वह मानती है कि सबसे हाल ही में सिक्का फ्लिप करने का मौका 1/3 था। वे घटनाएँ एक ही बात नहीं हैं क्योंकि जागरण और सिक्का के झड़पों के बीच एक से एक पत्राचार नहीं है।

Answer 27

निम्नलिखित समाधान के बारे में कैसे:

सवाल यह है कि "सिर" आने वाले सिक्के की संभावना का आकलन करें। इसलिए, यदि स्लीपिंग ब्यूटी सोमवार को जाग गई थी और जानती थी कि यह किस दिन है, तो उसे वास्तव में यह मानना ​​होगा कि "सिर" की संभावना 50% है।

हालाँकि, क्या वह मंगलवार को जागने वाली थी और जानती थी कि यह किस दिन है, सिक्के के ऊपर आने की संभावना शून्य रही होगी।

इस प्रकार, यह पता चलता है कि किस दिन यह "हेड्स" की संभावना को बदलकर महत्वपूर्ण जानकारी जोड़ता है।

हालाँकि, स्लीपिंग ब्यूटी को पता नहीं है कि वह किस दिन उठती है। इस प्रकार हमें क्रमशः सोमवार या मंगलवार को जागने की संभावनाओं को निर्धारित करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, आइए मंगलवार की संभावना पर विचार करें। जब प्रयोगकर्ता सिक्का उछालता है, तो परिणाम यह तय करता है कि वह किस परिदृश्य का अनुसरण करेगा। यदि यह प्रमुख है, एसबी सोमवार को ही जाग गया है। यदि यह पूंछ है तो वह सोमवार और मंगलवार दोनों समय जाग जाती है। इन रास्तों में से एक के प्रयोग की संभावनाएं 50/50 हैं। अब, यदि हम "दो-जागरण" शाखा में हैं, तो इसकी संभावना मंगलवार या सोमवार होने पर है जब एसबी जागता है, दोनों 50% हैं। हम इस प्रकार मंगलवार को होने की कुल संभावना की गणना कर सकते हैं जब एसबी 0.5 * 0.5 = 0.25 के रूप में उठता है। जाहिर है कि, सोमवार होने की संभावना तब है जब वह जाग रही है 1-0.25 = 0.75

यदि एसबी को पता था कि वह मंगलवार को जाग गई थी, तो सिक्के के "सिर" होने की संभावना शून्य थी।

यदि वह, हालांकि, जानती थी कि वह सोमवार को जागती है, तो सिक्के के "सिर" आने की संभावना 50% रही होगी। लेकिन हम जानते हैं कि सोमवार होने की संभावना 0.75 है। इसलिए, सिक्के के कुल होने की संभावना का पता लगाने के लिए "सिर" पर आने के लिए हमें 0.75 * 0.5 = 0.375 गुणा करना होगा

जवाब इस प्रकार है, सिक्का "सिर" आया कि संभावना 37.5% है

ऊपर सिर्फ एक सुझाव है। कृपया, इंगित करें, यदि आपको मेरे तर्क में खामियां दिखती हैं।

Comments

"यदि वह, हालांकि, जानती थी कि वह सोमवार को जाग गई है, तो सिक्के के" सिर "होने की संभावना 50% रही होगी।" यह सही नहीं है। सोमवार, या दिए गए प्रमुखों की सशर्त संभावना , बराबर होती है । आप अंत में 1/2 के साथ समाप्त होते हैं। पी ( एच ∧ एम ) / पी ( एम ) = पी ( एच ) / पी ( एम $P(H \mid M)$$P(H \wedge M)/P(M)=P(H)/P(M)$

— ग्रासिए