घातीय परिवार के लाभ: हमें इसका अध्ययन क्यों करना चाहिए और इसका उपयोग कैसे करना चाहिए?

Question

इसलिए यहां मैं अध्ययन कर रहा हूं। मैं चाहूंगा कि कोई व्यक्ति घातीय परिवार के लाभों की गणना कर सके। घातीय परिवार से मेरा मतलब है कि जो वितरण रूप में दिए गए हैं

$$\begin{align*} f(x|\theta) = h(x)\exp\left\{\eta(\theta)T(x) - B(\theta)\right\} \end{align*}$$

जिसका समर्थन पैरामीटर पर निर्भर नहीं करता है । यहां कुछ फायदे बताए गए हैं:$\theta$

(ए) इसमें कई प्रकार के वितरण शामिल हैं।

(b) यह नेमन-फिशर प्रमेय के अनुसार एक प्राकृतिक पर्याप्त आँकड़े प्रदान करता है।$T(x)$

(c) यह कार्य उत्पन्न करने के लिए एक अच्छा सूत्र प्रदान करना संभव बनाता है ।$T(x)$

(d) प्रतिक्रिया की सशर्त वितरण से प्रतिक्रिया और भविष्यवक्ता के बीच संबंध को डिकोड करना आसान बनाता है (लिंक फ़ंक्शंस के माध्यम से)।

क्या कोई अन्य लाभ प्रदान कर सकता है?

Comments

उत्तरों की व्यापकता सुनिश्चित करने के लिए: क्या कोई उपयोगी पीडीएफ है जो घातीय परिवार में नहीं है?

— मेडुज

Answer 1

... हमें इसका अध्ययन और उपयोग क्यों करना चाहिए?

मुझे लगता है कि आपके फायदे की सूची प्रभावी रूप से आपके स्वयं के प्रश्न का उत्तर देती है, लेकिन मुझे कुछ मेटा-गणितीय टिप्पणी की पेशकश करने की आवश्यकता है जो इस विषय को स्पष्ट कर सकती है। आम तौर पर, गणितज्ञ अवधारणाओं को सामान्य बनाना पसंद करते हैं और उनकी उपयोगिता की सीमा तक अधिकतम बिंदु तक परिणाम प्राप्त कर सकते हैं। यही है, जब गणितज्ञ एक अवधारणा विकसित करते हैं, और पाते हैं कि एक या एक से अधिक उपयोगी प्रमेय उस अवधारणा पर लागू होते हैं, वे आम तौर पर अवधारणा को सामान्य बनाने की कोशिश करेंगे और अधिक से अधिक परिणाम प्राप्त करेंगे, जब तक कि वे उस बिंदु पर नहीं पहुंच जाते जहां आगे सामान्यीकरण परिणामों को अनुपयुक्त बना देगा। या अब उपयोगी नहीं है। जैसा कि आपकी सूची से देखा जा सकता है, घातीय परिवार के पास कई उपयोगी प्रमेय हैं, और यह वितरण के एक विस्तृत वर्ग को शामिल करता है। यह अध्ययन के योग्य वस्तु और व्यवहार में एक उपयोगी गणितीय वर्ग बनाने के लिए पर्याप्त है।

क्या कोई अन्य लाभ प्रदान कर सकता है?

इस वर्ग में बायेसियन विश्लेषण में विभिन्न अच्छे गुण हैं। विशेष रूप से, घातीय पारिवारिक वितरण में हमेशा संयुग्मक पुजारी होते हैं, और परिणामी पश्चवर्ती पूर्वानुमान वितरण का एक सरल रूप होता है। यह बायेसियन आंकड़ों में वितरण का एक अत्यंत उपयोगी वर्ग है। वास्तव में, यह आपको घातांक परिवार में सभी वितरण परिवारों को शामिल करते हुए, सामान्यता के एक उच्च स्तर पर संयुग्मक पुजारियों का उपयोग करके बायेसियन विश्लेषण करने की अनुमति देता है।

Comments

मैं घातीय परिवार को पसंद करने के लिए "संयुग्म पूर्व" का नामांकन करता हूं। वास्तव में, संयुग्म पुजारी और पर्याप्त आँकड़े एक साथ बहुत अच्छी तरह से खेलते हैं, इसलिए एक साथ वे घातीय परिवार का उपयोग करने के कारणों की मेरी सूची में सबसे ऊपर होंगे ।

— पीटर लियोपोल्ड

आह! एक साथी Bayesian मैं देख रहा हूँ!

— मोनिका

आप कैसे जानते हैं कि पश्चवर्ती भविष्यवाणियों का एक सरल रूप है? उदाहरण के लिए, अज्ञात माध्य और विचरण के साथ एक सामान्य मॉडल की पूर्ववर्ती भविष्यवाणियां गैर-केंद्रित, स्केल की गई छात्र की टी है। क्या यह एक सरल रूप है?

— नील जी

@ नील जी: एक घातीय परिवार से आईआईडी डेटा के साथ, और एक संयुग्म पूर्व, पूर्वानुमेय वितरण पूर्व के लिए सामान्यीकरण समारोह के दो उदाहरणों का एक अनुपात है, जहां हर अंक के लिए पर्याप्त आंकड़े और टिप्पणियों को जोड़कर हर तर्क को अद्यतन किया जाता है। नया डेटा। यह भविष्य कहनेवाला वितरण के लिए एक सरल और सामान्य रूप है, जो पूर्ववर्ती कोनगेट के लिए सामान्यीकरण कारक को खोजने के द्वारा प्राप्त किया जाता है (इन नोटों के उदाहरण अनुभाग 9.0.5 देखें )।

— मोनिका

ठीक है मैं देखता हूँ। मैंने यह पहले कभी नहीं देखा, धन्यवाद।

— नील जी

Answer 2

मैं कहूंगा कि घातीय परिवारों के लिए सबसे सम्मोहक प्रेरणा यह है कि वे न्यूनतम दिए गए मानदंड वितरण हैं । यदि आपके पास एक वास्तविक-मूल्यवान सेंसर है जिसका माप मीन और विचरण द्वारा संक्षेपित है, तो आप इसकी टिप्पणियों के बारे में जो न्यूनतम अनुमान लगा सकते हैं वह यह है कि वे सामान्य रूप से वितरित किए जाते हैं। प्रत्येक घातीय परिवार मान्यताओं के समान सेट का परिणाम है।

जेन्स अधिकतम एन्ट्रापी के इस सिद्धांत का लाभ उठाते हैं:

"अधिकतम-एन्ट्रापी वितरण को सकारात्मक कारण के लिए मुखर किया जा सकता है कि यह विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है जो कि लापता जानकारी के संबंध में अधिकतम गैर-लाभकारी है, नकारात्मक के बजाय कि अन्यथा सोचने का कोई कारण नहीं था। इस प्रकार एन्ट्रापी की अवधारणा पसंद के लापता मानदंड की आपूर्ति करती है ... "