गामा-वितरित एक्स के लिए वाई = लॉग (एक्स) की घनत्व

यह प्रश्न इस पोस्ट से निकटता से संबंधित है

मान लीजिए कि मेरे पास एक यादृच्छिक चर , और मैं को परिभाषित करता हूं । मैं की प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन खोजना चाहता हूं । $X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$ $Y = \log(X)$ $Y$

मैंने मूल रूप से सोचा था कि मैं केवल संचयी वितरण फ़ंक्शन X को परिभाषित करूंगा, परिवर्तनशील परिवर्तन करूंगा, और इंटीग्रल के "अंदर" को अपने घनत्व के रूप में ले जाऊंगा, जैसे,

\begin{aligned} P (X \leq c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} x^{k - 1} e^{- \frac{x}{θ}} d x \\ P (Y \leq \log c) & = \int_{\log (0)}^{\log (c)} \frac{1}{θ^{k}} \frac{1}{Γ (k)} \exp (y)^{k - 1} e^{- \frac{\exp (y)}{θ}} \exp (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} P(X \le c) & = \int_{0}^{c} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} x^{k- 1} e^{-\frac{x}{\theta}} dx \\ P(Y \le \log c) & = \int_{\log(0)}^{\log(c)} \frac{1}{\theta^k} \frac{1}{\Gamma(k)} \exp(y)^{k- 1} e^{-\frac{\exp(y)}{\theta}} \exp(y) dy \\ \end{align}$

यहाँ मैं और उपयोग करता हूं , फिर संदर्भ में और परिभाषाओं में उप । $y = \log x$ $dy = \frac{1}{x} dx$ $x$ $dx$ $y$

आउटपुट, दुर्भाग्य से, 1 को एकीकृत नहीं करता है। मुझे यकीन नहीं है कि मेरी गलती कहां है। कुछ मुझे बता सकते हैं कि मेरी त्रुटि कहाँ है?

pdf gamma-distribution

— duckworthd
स्रोत

यदि आप cdf के माध्यम से काम करते हैं, तो आपको पहले से दूसरे इंटीग्रल में इंटीग्रेशन को नहीं बदलना चाहिए। आपकी गलती एक ही समय में cdf और याकूब दोनों के दृष्टिकोण का उपयोग करने की कोशिश में है।

— शीआन

स्पष्ट चित्र होने के लिए संकेतक के साथ घनत्व लिखें।

यदि $X\sim\mathrm{Gamma}(k,\theta)$ , तो

f_{X} (x) = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} x^{k - 1} e^{- x / θ} I_{(0, \infty)} (x) .

$f_X(x) = \frac{1}{\theta^k \Gamma(k)} \;\; x^{k-1} e^{-x/\theta} \, I_{(0,\infty)}(x) \, .$

यदि , व्युत्क्रम , तो और CDF परिभाषा $Y=g(X)=\log X$ $X=h(Y)=e^Y$

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) | h^{'} (y) | = \frac{1}{θ^{k} Γ (k)} \exp (k y - e^{y} / θ) I_{(- \infty, \infty)} (y),

$f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)| = \frac{1}{\theta^k\Gamma(k)} \;\; \exp\left( ky-e^y/\theta\right)\,I_{(-\infty,\infty)}(y) \, ,$

P (Y \leq y) = \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (y) d y .

$P(Y\leq y) = \int_{-\infty}^y f_Y(y) dy \, .$

— जेन
स्रोत

यह एक अच्छा उत्तर है, लेकिन हो सकता है कि आपको मूल प्रश्न की तरह ही गामा वितरण का मानकीकरण करना चाहिए।

— वीं ग्रहण

अच्छी बात है, मैक्स। किया हुआ।

— ज़ेन

वाह, मेरी अपनी परिभाषा में कीड़े थे। होना चाहिए ।

α = k

$\alpha = k$

— डकवर्थ