क्या कोई "गूढ़" सांख्यिकीय परीक्षण बहुत कम शक्ति के साथ हैं?

पृष्ठभूमि

कंप्यूटर विज्ञान, गणित और कभी-कभी अन्य क्षेत्रों में, "गूढ़" उदाहरण न केवल मनोरंजक हो सकते हैं, बल्कि उदाहरण के लिए कुछ अवधारणाओं को स्पष्ट करने में सहायक होते हैं:

बोगोसॉर्ट और स्लोवोर्ट बहुत ही अकुशल सॉर्टिंग एल्गोरिदम हैं, जिनका उपयोग एल्गोरिदम के गुणों को समझने के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से जब अन्य सॉर्टिंग एल्गोरिदम की तुलना में।
गूढ़ प्रोग्रामिंग भाषाएं प्रदर्शित करती हैं कि प्रोग्रामिंग भाषा की अवधारणा कितनी दूरगामी है और अच्छी प्रोग्रामिंग भाषाओं की सराहना करने में मदद करती है।
विअरस्ट्रास समारोह और Dirichlet समारोह मुख्य रूप से निरंतरता की अवधारणा के बारे में कुछ गलतफहमी वर्णन करने के लिए उपयोग पाते हैं।

मैं वर्तमान में परिकल्पना परीक्षणों का उपयोग करने पर कुछ शिक्षण तैयार कर रहा हूं और सोचता हूं कि बहुत कम शक्ति (लेकिन कोई अन्य दोष) के साथ एक परीक्षण होने से सांख्यिकीय शक्ति की अवधारणा को समझने में मदद मिलेगी। (बेशक, मुझे अभी भी खुद तय करना है कि क्या एक दिया गया उदाहरण मेरे दर्शकों के लिए उपयोगी है या सिर्फ भ्रामक है।)

वास्तविक प्रश्न

क्या कोई सांख्यिकीय परीक्षण जानबूझकर कम शक्ति के साथ होता है, विशेष रूप से:

परीक्षण परिकल्पना परीक्षणों के सामान्य ढांचे में फिट बैठता है, अर्थात, यह अशक्त परिकल्पना के साथ काम करता है, इसमें आवश्यकताएं होती हैं, और एक (सही) पी मान देता है।
यह गंभीर आवेदन के लिए प्रस्तावित / प्रस्तावित नहीं है।
इसकी बहुत कम शक्ति है (एक जानबूझकर डिजाइन दोष के कारण और कम नमूना या प्रभाव आकार के कारण नहीं)।

यदि आप मौलिक रूप से यह तर्क दे सकते हैं कि इस तरह की कोई परीक्षा नहीं हो सकती है, तो मैं इसे भी अपने प्रश्न का एक वैध उत्तर मानूंगा। यदि दूसरी ओर, इस तरह के परीक्षणों की अधिकता मौजूद है, तो मैं सबसे अधिक प्रभावी रूप से कुशल एक में रुचि रखता हूं, अर्थात, यह आसानी से सुलभ होना चाहिए और इसका एक हड़ताली प्रभाव होना चाहिए।

ध्यान दें कि मैं सांख्यिकीय गलतियों (चेरी लेने, आदि) या समान के सामान्य चयन के लिए नहीं कह रहा हूं ।

मैंने अब तक क्या पाया

इंटरनेट खोजों ने मेरे लिए कुछ भी नहीं दिया।

इस तरह के निर्माण का हर प्रयास या तो कुछ (उपयोगी) मौजूदा परीक्षण में समाप्त हो गया या प्रारूप नियमित परीक्षण का नहीं है। उदाहरण के लिए, मैंने एक परीक्षण के बारे में सोचा कि क्या आबादी में एक सकारात्मक मंझला है जो केवल हां लौटाता है यदि सभी नमूने सकारात्मक हैं; लेकिन वह परीक्षण एक पी मान वापस नहीं करता है और इस तरह सामान्य परीक्षण ढांचे के भीतर फिट नहीं होता है। अगर मैं सकारात्मक और नकारात्मक संकेतों को एक परीक्षण सांख्यिकीय के रूप में गिनता हूं (और तदनुसार पी मानों की गणना करता हूं), तो मैं साइन टेस्ट के साथ समाप्त होता हूं , जो एक उचित परीक्षा है।

hypothesis-testing teaching humor

— रेव्लप्रैमफ़्ट को दर्शाता है
स्रोत

अधिक गणितीय होने के नाते, "गूढ़" उदाहरण (जो लाजिमी है) लोकप्रिय गलतफहमी के लिए विशिष्ट प्रतिपक्ष होते हैं; कई पाठ्यपुस्तकों में ऐसे उदाहरण हैं। जैसा कि यह खड़ा है, आपका प्रश्न अनिवार्य रूप से एक "बड़ी सूची" प्रकार का प्रश्न है और इसलिए बहुत व्यापक है (हालांकि आपको ध्यान देना चाहिए कि कई उपयोगकर्ताओं ने निष्कर्ष निकाला है कि यह स्पष्ट नहीं है); यदि आप अपने प्रश्न को स्पष्ट कर सकते हैं और इसके दायरे को कम कर सकते हैं तो यह साइट को बेहतर ढंग से फिट कर सकता है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

क्या की तुलना में कम शक्ति? लेहमैन ने एक सामान्यीकृत संभावना-अनुपात परीक्षण का एक उदाहरण दिया, जिसमें शून्य के मुकाबले किसी भी वैकल्पिक परिकल्पना के तहत कम शक्ति थी।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

t

$t$

मैं लेहमैन पेपर खोदता हूँ जब मैं कंप्यूटर पर होता हूँ। नल के नीचे एक परीक्षण की शक्ति सिर्फ परीक्षण का आकार है।

— Scortchi - को पुनः स्थापित मोनिका

एक उदाहरण परीक्षण जिसका उपयोग मैंने एक कक्षा में किया था, एक छात्र था (कई साल पहले) "एक निष्पक्ष 20 पक्षीय मौत को रोल करें और अस्वीकार करें यदि आप 1 रोल करते हैं" (शक्ति घटता की चर्चा के भाग के रूप में)। यह निश्चित रूप से डेटा को पूरी तरह से अनदेखा करता है, लेकिन एक "वैध" परीक्षण है कि इसमें वांछित प्रकार I त्रुटि दर (उदाहरण में दिए गए संदर्भ में 5% था) से अधिक नहीं है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

E ϕ (X) = α

$\operatorname{E}\phi(X)=\alpha$

ϕ (x) = {\begin{cases} 0 & when f_{0} (x) < k f_{1} (x) \\ 1 & when f_{0} (x) > k f_{1} (x) \end{cases}

$\phi(x) = \begin{cases} 0\ & \text{when $f_0(x) < kf_1(x)$} \\ 1\ & \text{when $f_0(x) > kf_1(x)$} \end{cases}$

α

$\alpha$

ϕ

$\phi$

H_{0} :

$H_0:$

f_{0}

$f_0$

H_{1} :

$H_1:$

f_{1}

$f_1$

x

$x$

इस परिणाम से आप समान रूप से कम से कम शक्तिशाली, स्थानीय रूप से कम से कम, समान रूप से शक्तिशाली समान, और कम से कम शक्तिशाली "पूरी तरह से पक्षपाती" परीक्षण प्राप्त कर सकते हैं (मेरा मतलब है कि अशक्त की तुलना में किसी भी विकल्प के तहत कम शक्ति वाले)। यदि आपके पास पहले से ही समान रूप से सबसे शक्तिशाली और सी है। परीक्षण, केवल विभाजन के क्रम को उलटते समय इसे उत्पन्न करने वाले नमूना स्थान के विभाजन को बनाए रखने के लिए अपने परीक्षण सांख्यिकीय को -1 से गुणा करें।

शायद, जैसा कि @ user54038 बताता है, "परीक्षण निर्माण की एक सामान्य विधि की विफलता" अधिक दिलचस्प हो सकती है। लेहमैन (1950), "सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण के सिद्धांत के कुछ सिद्धांत", ऐन। गणित। सांख्यिकीविद। , 21 , 1, स्टीन के लिए निम्न उदाहरण प्रस्तुत करता है:

$X$ $0, \pm 1, \pm 2$

$\begin{array}{rccccc} - 2 & 2 & - 1 & 1 & 0 \\ Hypothesis H : & \frac{α}{2} & \frac{α}{2} & \frac{1}{2} - α & \frac{1}{2} - α & α \\ Alternatives: & p C & (1 - p) C & \frac{1 - C}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & \frac{1 - C}{1 - α} (\frac{1}{2} - α) & α \frac{1 - c}{1 - α} \end{array}$ $\begin{array}{r c c c c c} & -2 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ \hline \text{Hypothesis $H$:} & \frac{\alpha}{2} & \frac{\alpha}{2} & \frac{1}{2} - \alpha & \frac{1}{2} - \alpha & \alpha\\ \hline \text{Alternatives:} & pC & (1-p)C & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \frac{1-C}{1-\alpha}\left(\frac{1}{2}-\alpha\right) & \alpha\frac{1-c}{1-\alpha}\\ \end{array}$ $\alpha$ $C$ $0 < \alpha \leq \frac{1}{2}$ $\frac{\alpha}{2-\alpha}< C <\alpha$ $p$ $[0,1]$

$H$ $\alpha$ $X=\pm2$ $C$ $C<\alpha$ $\alpha$ $X$

$p$ $X=-2$ $X=2$ $\hat p=1$ $\hat p=0$ $\frac{2C}{\alpha}$ $X$ $\frac{1-C}{1-\alpha}$

— स्कोर्टची का पता चलता है
स्रोत

(@Scortchi द्वारा टिप्पणी से संबंधित)

$X \sim N(\mu, 1)$

\begin{aligned} H_{0} & : μ = 0 \\ H_{1} & : μ \neq 0 \end{aligned}

$\begin{align*} H_0&: \mu = 0 \\ H_1&: \mu \neq 0 \end{align*}$

$Z \sim Bernoulli(p)$ $p$ $\alpha$ $p \in [\alpha, 1]$

R = {(X, Z) | z = 1 \land | x | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})}

$R = \left\{(X, Z) \ | \ z = 1 \ \wedge |x| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right) \right\}$

$\alpha$

\begin{aligned} P (X \in R | μ = 0) & = P (Z = 1, | X | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = P (Z = 1) P (| X | > Φ^{- 1} (\frac{α}{2 p})) \\ = p \frac{α}{p} = α \end{aligned}

$\begin{align*} P(X\in R \ | \ \mu=0) &= P\left(Z=1 \ , \ |X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= P(Z=1)P\left(|X| > \Phi^{-1}\left(\frac{\alpha}{2p}\right)\right) \\ &= p\frac{\alpha}{p} = \alpha \end{align*}$

$p$ $(x, z) = (1000000, 0)$ $p=\alpha$ $X$ $\alpha$

$Z$

— रेव्स नॅरामसी
स्रोत

S

$S$

Z = 1 (S < F_{S}^{- 1} (p))

$Z=\boldsymbol{1}(S<F_S^{-1}(p))$

F_{S} (\cdot)

$F_S(\cdot)$

S

$S$