इस वितरण के लिए यादृच्छिक संख्याओं का अनुकरण करने का एक तरीका खोजना

Question

मैं आर में एक प्रोग्राम लिखने की कोशिश कर रहा हूं जो संचयी वितरण फ़ंक्शन के साथ वितरण से छद्म यादृच्छिक संख्याओं का अनुकरण करता है:

$$F(x)= 1-\exp \left(-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right), \quad x \geq 0$$

जहां$a,b>0, p \in (0,1)$

मैंने उलटा नमूना बदलने की कोशिश की लेकिन उलटा विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं लगता। मुझे खुशी होगी अगर आप इस समस्या के समाधान का सुझाव दे सकते हैं

Comments

पूर्ण उत्तर के लिए पर्याप्त समय नहीं है, लेकिन आप विकल्प के रूप में महत्व के नमूने के एल्गोरिदम की जांच कर सकते हैं।

— chuse

यह एक पाठ्यपुस्तक अभ्यास नहीं है, मैंने केवल बाधा को निर्धारित किया है क्योंकि यह मेरे डेटा के लिए एक उचित धारणा है

— सेबस्टियन

मैं तब चमत्कारी) सामान्यीकरण आश्चर्यचकित हूं जो वितरण को एक घातांक की एक आदर्श शक्ति में बदल देता है, लेकिन चमत्कार होता है (छोटी संभावना के साथ)। $(p+1)^{-1}$

— शीआन

Answer 1

इस अभ्यास का एक सीधा (और अगर मैं जोड़ सकता हूँ, सुरुचिपूर्ण) समाधान है: चूंकि दो अस्तित्व वितरण के उत्पाद की तरह दिखाई देता है: वितरण का वितरण है इस मामले में है घातीय वितरण और है वें एक्सपोनेंशियल वितरण की शक्ति ।$1-F(x)$

$$(1-F(x))=\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}=\underbrace{\exp\left\{-ax\right\}}_{1-F_1(x)}\underbrace{\exp\left\{-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}}_{1-F_2(x)}$$ $F$ $$X=\min\{X_1,X_2\}\qquad X_1\sim F_1\,,X_2\sim F_2$$ $F_1$$\mathcal{E}(a)$$F_2$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$

संबंधित R कोड उतना ही सरल है जितना इसे प्राप्त होता है

x=pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))) #simulating an n-sample

और यह निश्चित रूप से उलटा पीडीएफ और स्वीकार-अस्वीकार प्रस्तावों की तुलना में बहुत तेज है:

> n=1e6
> system.time(results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(n)))
utilisateur     système      écoulé 
    89.060       0.072      89.124 
> system.time(x <- simuF(n,1,2,3))
utilisateur     système      écoulé 
     1.080       0.020       1.103 
> system.time(x <- pmin(rexp(n,a),rexp(n,b/(p+1))^(1/(p+1))))
utilisateur     système      écoulé 
     0.160       0.000       0.163 

बिल्कुल सही फिट के साथ:

Comments

वास्तव में अच्छा समाधान!

— सेबेस्टियन

Answer 2

आप हमेशा उलटा रूपांतरण को हल कर सकते हैं।

नीचे, मैं एक बहुत ही सरल द्वि घातुमान खोज करता हूं। किसी दिए गए इनपुट प्रायिकता (मैं उपयोग करता हूं क्योंकि आपके पास पहले से ही आपके सूत्र में एक है), मैं और शुरू करता । तब मैं तक हूं । अंत में, मैं पुनरावृत्त रूप से अंतराल तब तक जब तक कि उसकी लंबाई से कम न हो और उसका मध्य बिंदु संतुष्ट न कर दे ।$q$$q$$p$$x_L=0$$x_R=1$$x_R$$F(x_R)>q$$[x_L,x_R]$$\epsilon$$x_M$$F(x_M)\approx q$

ECDF अपने फिट बैठता अच्छी तरह से मेरी पसंद के लिए पर्याप्त और , और यह काफी तेज है। आप शायद इसे सरल बिसनेस खोज के बजाय कुछ न्यूटन-प्रकार के अनुकूलन का उपयोग करके गति प्रदान कर सकते हैं।$F$$a$$b$

aa <- 2
bb <- 1
pp <- 0.1

cdf <- function(x) 1-exp(-aa*x-bb*x^(pp+1)/(pp+1))

simulate <- function(prob,epsilon=1e-5) {
    left <- 0
    right <- 1
    while ( cdf(right) < prob ) right <- 2*right

    while ( right-left>epsilon ) {
        middle <- mean(c(left,right))
        value_middle <- cdf(middle)
        if ( value_middle < prob ) left <- middle else right <- middle
    }

    mean(c(left,right))
}

set.seed(1)
results <- Vectorize(simulate,"prob")(runif(10000))
hist(results)

xx <- seq(0,max(results),by=.01)
plot(ecdf(results))
lines(xx,cdf(xx),col="red")

Answer 3

अगर स्वीकार-अस्वीकार द्वारा प्रत्यक्ष संकल्प है तो कुछ हद तक जटिल है। सबसे पहले, एक साधारण भेदभाव दिखाता है कि वितरण का pdf दूसरा, चूंकि हमारे पास ऊपरी बाउंड तीसरा, में दूसरे शब्द पर विचार करते हुए , परिवर्तन चर , यानी, । फिर चर के परिवर्तन का याकूबियन है। यदि

$$f(x)=(a+bx^p)\exp\left\{-ax-\frac{b}{p+1}x^{p+1}\right\}$$ $$f(x)=ae^{-ax}\underbrace{e^{-bx^{p+1}/(p+1)}}_{\le 1}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\underbrace{e^{-ax}}_{\le 1}$$ $$f(x)\le g(x)=ae^{-ax}+bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$ $g$$\xi=x^{p+1}$$x=\xi^{1/(p+1)}$ $$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}\xi}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{1}{p+1}-1}=\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}$$ $X$फॉर्म का घनत्व जहां स्थिर सामान्य है, तो की घनत्व जिसका अर्थ है कि (i) है Exponential चर के रूप में वितरित किया जाता है और (ii) स्थिर एक के बराबर होता है। इसलिए, एक्सपोनेंशियल वितरण के समान भारित मिश्रण के बराबर होता है और एक्सपोनेंशियल की -थ शक्ति$\kappa bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}$$\kappa$$\Xi=X^{1/(p+1)}$ $$\kappa b\xi^{\frac{p}{p+1}}e^{-b\xi/(p+1)}\,\dfrac{1}{p+1}\xi^{\frac{-p}{p+1}}=\kappa \dfrac{b}{p+1}e^{-b\xi/(p+1)}$$ $\Xi$$\mathcal{E}(b/(p+1))$$\kappa$$g(x)$$\mathcal{E}(a)$$1/(p+1)$$\mathcal{E}(b/(p+1))$वितरण, माप के लिए खाते में से एक लापता गुणक मोड modulo : और मिश्रण के रूप में अनुकरण करने के लिए सीधा है।$2$ $$f(x)\le g(x)=2\left(\frac{1}{2} ae^{-ax}+\frac{1}{2} bx^pe^{-bx^{p+1}/(p+1)}\right)$$ $g$

इस प्रकार स्वीकार-अस्वीकार एल्गोरिथ्म का एक आर प्रतिपादन है

simuF <- function(a,b,p){
  reepeat=TRUE
  while (reepeat){
   if (runif(1)<.5) x=rexp(1,a) else
      x=rexp(1,b/(p+1))^(1/(p+1))
   reepeat=(runif(1)>(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1))))}
  return(x)}

और एक एन-नमूना के लिए:

simuF <- function(n,a,b,p){
  sampl=NULL
  while (length(sampl)<n){
   x=u=sample(0:1,n,rep=TRUE)
   x[u==0]=rexp(sum(u==0),b/(p+1))^(1/(p+1))
   x[u==1]=rexp(sum(u==1),a)
   sampl=c(sampl,x[runif(n)<(a+b*x^p)*exp(-a*x-b*x^(p+1)/(p+1))/
      (a*exp(-a*x)+b*x^p*exp(-b*x^(p+1)/(p+1)))])
   }
  return(sampl[1:n])}

यहाँ एक = 1, बी = 2, पी = 3 के लिए एक चित्रण है: