एक प्राकृतिक लघुगणक का अपेक्षित मूल्य

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मुझे पता है कि साथ , इसलिए , इसे हल करना आसान है। मुझे यह भी पता है कि आप इसे लागू नहीं कर सकते हैं, जब इसका एक nonlinear फ़ंक्शन, जैसे इस मामले में , और इसे हल करने के लिए, मुझे एक सन्निकटन करना है टेलर के साथ। तो मेरा सवाल यह है कि मैं को कैसे हल करूं ? क्या मैं टेलर के साथ भी संबंध रखता हूं? $E(aX+b) = aE(X)+b$ $a,b$ $E(X)$ $E(1/X) \neq 1/E(X)$ $E(\ln(1+X))$

mathematical-statistics

— मैट
स्रोत

4

हां आप इस मामले में डेल्टा विधि लागू कर सकते हैं।

— माइकल आर। चेरिक

5

आपको जेन्सन असमानता पर भी ध्यान देना चाहिए।

— kjetil b halvorsen 19

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कागज़ पर

YW तेह, डी न्यूमैन और एम Welling (2006), एक परिवर्तन संबंधी बायेसियन निष्कर्ष एल्गोरिथ्म अव्यक्त Dirichlet आवंटन के लिए संक्षिप्त किए गए , 2006 nips , 1353-1360।

आसपास एक दूसरा आदेश टेलर विस्तार का उपयोग लगभग किया जाता है : $x_0=\mathbb{E}[x]$ $\mathbb{E}[\log(x)]$

E [\log (x)] \approx \log (E [x]) - \frac{V [x]}{2 E [x]^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(x)]\approx\log(\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2\mathbb{E}[x]^2} \>.$

यह सन्निकटन उनके आवेदन के लिए बहुत अच्छा काम करता है।

उम्मीद की रैखिकता द्वारा हाथ की पैदावार पर सवाल फिट करने के लिए इसे थोड़ा संशोधित करना,

E [\log (1 + x)] \approx \log (1 + E [x]) - \frac{V [x]}{2 (1 + E [x])^{2}} .

$\mathbb{E}[\log(1+x)]\approx\log(1+\mathbb{E}[x])-\frac{\mathbb{V}[x]}{2(1+\mathbb{E}[x])^2} \>.$

हालांकि, ऐसा हो सकता है कि बाएं हाथ की ओर या दाहिने हाथ की दूसरी तरफ मौजूद नहीं है, और इसलिए इस अनुमान को लगाते समय कुछ सावधानी बरती जानी चाहिए।

— user1149913
स्रोत

3

दिलचस्प है, यह डिगामा समारोह के लिए एक अनुमान प्राप्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

— probabilityislogic

6

इसके अलावा, अगर आप के लिए एक सटीक अभिव्यक्ति की जरूरत नहीं है , अक्सर जेन्सेन की असमानता द्वारा दिए गए बाध्य अच्छा पर्याप्त है: $\text{E}[\log(X + 1)]$

\log [E (X) + 1] \geq E [\log (X + 1)]

$\log [\text{E}(X) + 1] \geq\text{E}[\log(X + 1)]$

— dsaxton
स्रोत

X

$X$

\geq

$\ge$

\log

$\log$

5

$X$ $f_X$ $g$

ए [जी (एक्स)] = \int जी (एक्स) घ पी = \int_{- \infty}^{\infty} जी (एक्स) च_{एक्स} (एक्स) घ एक्स,

$E[g(X)]=\int g(X)\,dP = \int_{-\infty}^\infty g(x)\,f_X(x)\,dx \, ,$

— जेन
स्रोत

1

g (x) = x^{2}

$g(x)=x^2$

E [| g (X) |] < \infty

$E[|g(X)|]<\infty$

2

g (x) = x

$g(x)=x$ काउची वितरण के लिए। यह अपेक्षा इस बात पर निर्भर करती है कि एकीकरण की निचली और ऊपरी सीमाएँ अनंत तक कैसे पहुँचती हैं।

— probabilityislogic

2

@prob: नहीं, आपको अपनी पहली टिप्पणी में उस स्थिति की आवश्यकता नहीं है , और यहां तक कि ऐसी स्थिति में जो इस प्रश्न के लिए बहुत प्रासंगिक हो सकती है! (आपका करने के लिए +1 दूसरी टिप्पणी है, हालांकि, जो कुछ मैं भी पर टिप्पणी करने के लिए अर्थ गया था।)

— कार्डिनल

2

@prob: यह है sufficient, but if you compare your first comment to your second one, you'll see why it's not necessary! :-)

— cardinal

4

There are two usual approaches:

If you know the distribution of $X$ , you may be able to find the distribution of $\ln(1+X)$ और वहाँ से इसकी अपेक्षा पाते हैं; वैकल्पिक रूप से आप बेहोश सांख्यिकीविद् के कानून का सीधे उपयोग करने में सक्षम हो सकते हैं (अर्थात एकीकृत $\ln(1+x) f_{X}(x)$ के डोमेन पर $x$ )।
जैसा कि आप सुझाव देते हैं, यदि आप पहले कुछ क्षणों को जानते हैं तो आप टेलर सन्निकटन की गणना कर सकते हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत