गिस-पॉइसन के रूप में पिशोन का विस्तार क्या है?

एक पॉइज़न वितरण प्रति यूनिट समय घटनाओं को माप सकता है, और पैरामीटर । घातांक वितरण अगली घटना तक समय को मापता है, पैरामीटर । एक वितरण को दूसरे में परिवर्तित कर सकते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि क्या यह मॉडल घटनाओं या समयों के लिए आसान है। $\lambda$ $\frac{1}{\lambda}$

अब, एक गामा-पॉइसन एक "फैला हुआ" एक बड़ा विचरण के साथ पॉसन है। एक वीबुल वितरण एक "फैला हुआ" एक बड़ा विचरण के साथ घातीय है। लेकिन क्या इन दोनों को आसानी से एक-दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है, उसी तरह से पॉसन को घातीय में परिवर्तित किया जा सकता है?

या फिर कुछ अन्य वितरण है जो गामा-पॉइसन वितरण के संयोजन में उपयोग करने के लिए अधिक उपयुक्त है?

गामा-पॉइसन को नकारात्मक द्विपद वितरण या NBD के रूप में भी जाना जाता है।

— zbicyclist
स्रोत

जवाबों:

यह एक काफी सीधे आगे की समस्या है। हालाँकि, पोइसन और नकारात्मक द्विपद वितरण के बीच एक संबंध है, मुझे वास्तव में लगता है कि यह आपके विशिष्ट प्रश्न के लिए अयोग्य है क्योंकि यह लोगों को नकारात्मक द्विपद प्रक्रियाओं के बारे में सोचने के लिए प्रोत्साहित करता है। मूल रूप से, आपके पास पॉसन प्रक्रियाओं की एक श्रृंखला है:

Y_{i} (t_{i}) | λ_{i} \sim P o i s s o n (λ_{i} t_{i})

$Y_i(t_i)|\lambda_i\sim Poisson(\lambda_i t_i)$

जहाँ प्रक्रिया है और वह समय है जब आप इसका निरीक्षण करते हैं, और व्यक्तियों को दर्शाता है। और आप कह रहे हैं कि ये प्रक्रिया एक वितरण द्वारा दरों को एक साथ बांधकर "समान" हैं: $Y_i$ $t_i$ $i$

λ_{i} \sim G a m m a (α, β)

$\lambda_i\sim Gamma(\alpha,\beta)$

पर एकीकरण / mxixing करने पर , आपके पास: $\lambda_i$

Y_{i} (t_{i}) | α β \sim N e g B i n (α, p_{i}) w h e r e p_{i} = \frac{t_{i}}{t_{i} + β}

$Y_i(t_i)|\alpha\beta\sim NegBin(\alpha,p_i)\;\;\; where \;\;p_i=\frac{t_i}{t_i+\beta}$

इसका एक pmf है:

P r (Y_{i} (t_{i}) = y_{i} | α β) = \frac{Γ (α + y_{i})}{Γ (α) y_{i}!} p_{i}^{y_{i}} (1 - p_{i})^{α}

$Pr(Y_i(t_i)=y_i|\alpha\beta) = \frac{\Gamma(\alpha+y_i)}{\Gamma(\alpha)y_i!}p_i^{y_i}(1-p_i)^\alpha$

प्रतीक्षा समय वितरण प्राप्त करने के लिए हम ध्यान दें कि:

P r (T_{i} \leq t_{i} | α β) = 1 - P r (T_{i} > t_{i} | α β) = 1 - P r (Y_{i} (t_{i}) = 0 | α β)

$Pr(T_i\leq t_i|\alpha\beta)=1-Pr(T_i> t_i|\alpha\beta)=1-Pr(Y_i(t_i)=0|\alpha\beta)$

= 1 - (1 - p_{i})^{α} = 1 - {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- α}

$=1-(1-p_i)^\alpha=1-\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$

इसे अलग करें और आपके पास पीडीएफ है:

p_{T_{i}} (t_{i} | α β) = \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)}

$p_{T_i}(t_i|\alpha\beta)=\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$

यह सामान्यकृत पारेतो वितरण, II का सदस्य है। मैं इसे आपके प्रतीक्षा समय वितरण के रूप में उपयोग करूंगा।

पोइसन वितरण के साथ कनेक्शन देखने के लिए, ध्यान दें कि , ताकि हम निर्धारित करते हैं $\frac{\alpha}{\beta}=E(\lambda_i|\alpha\beta)$ और उसके बाद सीमा लेहम पाते हैं: $\beta=\frac{\alpha}{\lambda}$ $\alpha\to\infty$

lim_{α \to \infty} \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)} = lim_{α \to \infty} λ {(1 + \frac{λ t_{i}}{α})}^{- (α + 1)} = λ \exp (- λ t_{i})

$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}=\lim_{\alpha\to\infty}\lambda\left(1+\frac{\lambda t_i}{\alpha}\right)^{-(\alpha+1)}=\lambda\exp(-\lambda t_i)$

इसका मतलब है कि आप व्याख्या कर सकते हैं एक फैलाव पैरामीटर के रूप में। $\frac{1}{\alpha}$

— probabilityislogic
स्रोत

आप यह भी नोट कर सकते हैं कि प्रतीक्षा समय वितरण, मोटे तौर पर बोल रहा है, गामा यादृच्छिक दर पैरामीटर के साथ एक घातीय वितरण और कड़ाई से यह बोल रहा है कि यह गामा यादृच्छिक दर पैरामीटर के साथ किसी भी गामा वितरण के लिए दूसरी तरह का बीटा वितरण है।

— स्टीफन लॉरेंट

आधार के रूप में @probabilityislogic का उपयोग करते हुए, मैंने एनबीडी और परेतो: गुप्ता, सुनील और डोनाल्ड जी। मॉरिसन के बीच संबंधों पर अधिक विस्तार प्रदान करते हुए निम्नलिखित लेख पाया। उपभोक्ताओं की खरीद दरों में विषमलैंगिकता का अनुमान लगाना। मार्केटिंग साइंस, 1991, 10 (3), 264-269। उन सभी का धन्यवाद जिन्होंने मुझे इस प्रश्न का उत्तर देने में मदद की।

— zbicyclist

+1, मैं यह अच्छा विश्लेषणात्मक प्रपत्र के लिए मौजूद नहीं रह सकता है लगता है कि

है, जहां

एक निरंतर है।

P o i s s o n (λ_{i} t_{i} + c)

$Poisson(\lambda_i t_i + c)$

c

$c$

— रेंडेल

@randel - आप इस आर.वी. टिप्पण द्वारा एक "अच्छा-ish" फ़ॉर्म मिल सकता है दो स्वतंत्र RVs का योग है ...

जहां

ऊपर और रूप में ही है

। जैसा कि

या

पर निर्भर नहीं करता है

का pdf,

उपरोक्त नकारात्मक द्विपद पीडीएफ और एक पॉज़िशन पीडीएफ का दृढ़ संकल्प है। प्रतीक्षा समय वितरण प्राप्त करने के लिए बस

गुणा करें

Z_{i} = Y_{i} + X_{i}

$Z_i=Y_i+X_i$

Y_{i}

$Y_i$

X_{i} \sim p o i s s o n (c)

$X_i\sim poisson (c)$

X_{i}

$X_i$

λ_{i}

$\lambda_i$

Y_{i}

$Y_i$

Z_{i}

$Z_i$

P r (Y_{i} = 0)

$Pr(Y_i=0)$

P r (X_{i} = 0) = e^{- c}

$Pr(X_i=0)=e^{-c}$

1 - e^{- c} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- α}

$1-e^{-c}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$

e^{- c} \frac{α}{β} {(1 + \frac{t_{i}}{β})}^{- (α + 1)}

$e^{-c}\frac {\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$

This won't work in terms of the mixing distribution, because you need

λ_{i} < c t_{i}^{- 1}

$\lambda_i <ct_i^{-1}$ (else the poisson mean is negative). The gamma mixing distribution would need to be truncated (I also assumed that

c > 0

$c>0$ in my previous answer). This would mean no nb distribution.

— probabilityislogic

One possibility: Poisson is to Exponential as Negative-Binomial is to ... Exponential!

There is a pure-jump increasing Lévy process called the Negative Binomial Process such that at time $t$ the value has a negative binomial distribution. Unlike the Poisson process, the jumps are not almost surely $1$ . Instead, they follow a logarithmic distribution. By the law of total variance, some of the variance comes from the number of jumps (scaled by the average size of the jumps), and some of the variance comes from the sizes of the jumps, and you can use this to check that it is overdispersed.

There may be other useful descriptions. See "Framing the negative binomial distribution for DNA sequencing."

Let me be more explicit about how the Negative Binomial Process described above can be constructed.

Choose $p \lt 1$ .
Let $X_1, X_2, X_3, ...$ be IID with logarithmic distributions, so $P(x_i = k) = \frac{-1}{\log(1-p)} \frac{p^k}{k}.$
Let $N$ be a Poisson process with constant rate $-\log(1-p)$ , so $N(t) = \text{Pois}(-t \log(1-p)).$
Let $NBP$ be the process so that

N B P (t) = \sum_{i = 1}^{N (t)} X_{i} .

$NBP(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} X_i.$

$NBP$ is a pure jump process with logarithmically distributed jumps. The gaps between jumps follow an exponential distribution with rate $-\log(1-p).$

I don't think it is obvious from this description that $NBP(t)$ has a negative binomial $NB(t,p)$ distribution, but there is a short proof using probability generating functions on Wikipedia, and Fisher also proved this when he introduced the logarithmic distribution to analyze the relative frequencies of species.

— Douglas Zare
स्रोत

No, any compound Poisson process has an exponential waiting time. This means you add

Pois (λ t)

$\text{Pois}(\lambda t)$ IID random variables with some distribution.

— Douglas Zare

No, that is not what is meant by a compound Poisson process. en.wikipedia.org/wiki/Compound_Poisson_process " The jumps arrive randomly according to a Poisson process and the size of the jumps is also random, with a specified probability distribution." I did not say IID Poisson variables. You take the

N

$N$ th partial sum of IID logarithmic random variables where

N

$N$ is the value of a Poisson process.

— Douglas Zare

If you multiply a Poisson process by

2

$2$ , this is not a Poisson process and the waiting times remain exponential.

— Douglas Zare

let us continue this discussion in chat

— Douglas Zare

I am not able to comment yet so I apologize is this isn't a definitive solution.

You are asking for the appropriate distribution to use with an NB but appropriate isn't entirely defined. If an appropriate distribution means appropriate for explaining data and you are starting with an overdispersed Poisson then you may have to look further into the cause of the overdispersion. The NB doesn't distinguish between a Poisson with heterogeneous means or a positive occurrence dependence (that one event occurring increases the probability of another occurring). In continuous time there is also duration dependence, eg positive duration dependence means the passage of time increases the probability of an occurrence. It was also shown that negative duration dependence asymptotically causes an overdispersed Poisson[1]. This adds to the list of what might be the appropriate waiting time model.

— Meadowlark Bradsher
स्रोत

cause of the overdispersion: This is consumer purchase data. Individual consumers are poisson, each with a rate of purchase lambda. But not every consumer has the same lambda -- that's the cause of the overdispersion. The lambda purchasing rates are considered to be distributed as gamma. This is a common model (traces back to A.S.C. Ehrenberg), but I haven't found anything in his writing that answers this question.

— zbicyclist