हाइपर-एलिपोसिड (स्थिर महालनोबिस दूरी) की सतह से समान रूप से नमूना कैसे लें?

Question

एक वास्तविक मूल्य वाले बहुभिन्नरूपी मामले में, सतह से उन बिंदुओं को समान रूप से नमूना करने का एक तरीका है जहां महालनोबिस के माध्यम से दूरी एक स्थिर है?

संपादित करें: यह सिर्फ एक हाइपर-एलीपिपिड की सतह से समान रूप से नमूने के बिंदुओं को उबालता है जो समीकरण को संतुष्ट करता है,

$$(x-\mu)^T \Sigma^{-1}(x-\mu) = d^2.$$

"समान रूप से" अधिक सटीक होने के लिए, मेरा मतलब नमूना है जैसे कि हाइपर-सतह के प्रत्येक क्षेत्र तत्व में समान संभावना द्रव्यमान होता है।$dA$

Comments

अगर मैं गलत हूं तो मुझे सुधारें: क्या आप पूछ रहे हैं "मुझे एक यादृच्छिक चर दिया गया है , मैं उन बिंदुओं से समान रूप से कैसे नमूना ले सकता हूं जो एक दिए गए महालनोबिस हैं जो से ?" सी ई [ एक्स $X$$c$$\mathbb{E}[X]$

— केविन ली

मुझे लगता है कि हमें "समान रूप से" की एक उपयुक्त परिभाषा की आवश्यकता होगी। इसका कारण यह है: दो आयामों में, बिंदुओं का यह समूह कुछ दीर्घवृत्त के साथ है। क्या किसी को उस दीर्घवृत्त से इस तरह से नमूना लेना चाहिए कि समान लंबाई में समान संभावनाएं हैं, या समान कोणों में समान संभावनाएं हैं, या इसलिए कि जब चर मानकीकृत होते हैं तो समान लंबाई समान मौके, या किसी अन्य तरीके से होती है? यदि आप बता सकते हैं कि इस नमूने को प्राप्त करने का उद्देश्य क्या है, तो इससे हमें यह जानने के लिए पर्याप्त जानकारी मिल सकती है कि आप क्या पूछना चाह रहे हैं।

— whuber

मैं समझता हूं कि गोले की सतह से समान रूप से नमूना लेना और फिर इसे दीर्घवृत्त पर मैप करना दीर्घवृत्त पर समान नमूने नहीं देगा। इसलिए मुझे एक ऐसी विधि की आवश्यकता है जो एक दीर्घवृत्त की सतह से समान रूप से नमूना लेती है।

— साचिन वर्नेकर

क्या आप एक दीर्घवृत्त की सतह पर नमूना वर्दी रखना चाहते हैं, इस अर्थ में कि हाइपर-सतह के प्रत्येक क्षेत्र तत्व डीए में समान संभावना द्रव्यमान होता है?

— सेक्सटस एम्पिरिकस

क्यों, कैसे और कहाँ आप इस वर्दी के नमूने को लागू करने जा रहे हैं? इस तरह की जानकारी एक सर्वोत्तम / पर्याप्त रणनीति के साथ आने में मदद कर सकती है। उदाहरण के लिए, जब अलग-अलग दीर्घवृत्तीय अक्ष अधिक भिन्न नहीं होते हैं, तो आप एक क्षेत्र पर (1) नमूने द्वारा अस्वीकृति नमूने का उपयोग कर सकते हैं, (2) इसे एक दीर्घवृत्त में निचोड़कर, (3) उस दर की गणना करें जिसके द्वारा सतह क्षेत्र निचोड़ा गया था। (4) उस दर के व्युत्क्रम के अनुसार नमूनों को अस्वीकार करें।

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

Answer 1

जब अलग-अलग दीर्घवृत्तीय कुल्हाड़ी बहुत अधिक भिन्न नहीं होती हैं, तो अस्वीकृति नमूने का उपयोग करना संभव है (बड़े अंतर के साथ आप इसे बहुत कम अस्वीकार्य बनाने के लिए अस्वीकार करते हैं)

• (1) एक हाइपर क्षेत्र पर नमूना
• (२) इसे हाइपर-एलिपोसिड में निचोड़ना
• (3) उस दर की गणना करें जिसके द्वारा सतह क्षेत्र निचोड़ा गया था
• (4) उस दर के अनुसार नमूनों को अस्वीकार करें।

2 डी उदाहरण

set.seed(1)
#some matrix to transform n-sphere (in this case 2x2)
m <- matrix(c(1, 0.55, 0.55, 0.55), 2)

# sample multinomial with identity covariance matrix
x <- cbind(rnorm(3000, 0, 1), rnorm(3000, 0, 1))
l1 <- sqrt(x[,1]^2 + x[,2]^2)

# perpendicular vector
per <- cbind(x[,2], -x[,1])

# transform x
x <- x %*% m
# transform perpendicular vector (to see how the area transforms)
per2 <- per %*% m

# get onto unit-"sphere"/ellipsoid
x <- x/l1

# this is how the area contracted
contract <- sqrt(per2[,1]^2 + per2[,2]^2) / sqrt(per[,1]^2 + per[,2]^2)

# then this is how we should choose to reject samples 
p <- contract/max(contract)

# rejecting
choose <- which( rbinom(n=length(p), size=1, p=p) == 1)

#plotting
plot(x[1:length(choose), 1], x[1:length(choose), 2],
     xlim=c(-1.2, 1.2), ylim=c(-1.2, 1.2),
     xlab = expression(x[1]), ylab = expression(x[2]),
     bg=rgb(0, 0, 0, 0.01), cex=0.6, pch=21, col=rgb(0, 0, 0, 0.01))
title("squeezed uniform circle \n ")

#plotting
plot(x[choose,1], x[choose,2],
     xlim=c(-1.2, 1.2), ylim=c(-1.2, 1.2),
     xlab = expression(x[1]), ylab = expression(x[2]),
     bg=rgb(0, 0, 0, 0.01), cex=0.6, pch=21, col=rgb(0, 0, 0, 0.01))
title("squeezed uniform circle \n  with rejection sampling")