किस समस्या या खेल के लिए विचरण और मानक विचलन इष्टतम समाधान हैं?

किसी दिए गए यादृच्छिक चर (या एक आबादी, या एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया) के लिए, गणितीय अपेक्षा एक सवाल का जवाब है क्या बिंदु पूर्वानुमान अनुमानित वर्ग हानि को कम करता है? । इसके अलावा, यह एक गेम का इष्टतम समाधान है एक यादृच्छिक चर का अगला अहसास (या आबादी से एक नया ड्रा), और मैं आपको मूल्य और आपके अनुमान के बीच चुकता दूरी से सजा दूंगा यदि आपके पास शब्दों में रैखिक असमानता है सजा का। माध्य निरपेक्ष हानि के तहत एक संबंधित प्रश्न का उत्तर है और मोड "सभी या कुछ भी नहीं" नुकसान के तहत उत्तर है।

प्रश्न: क्या विचरण और मानक विचलन किसी भी समान प्रश्नों का उत्तर देते हैं? वे क्या हैं?

इस सवाल की प्रेरणा केंद्रीय प्रवृत्ति और प्रसार के बुनियादी उपायों को पढ़ाने से है। जबकि केंद्रीय प्रवृत्ति के उपाय ऊपर से निर्णय-सिद्धांत संबंधी समस्याओं से प्रेरित हो सकते हैं, मुझे आश्चर्य है कि कोई प्रसार के उपायों को कैसे प्रेरित कर सकता है।

— रिचर्ड हार्डी
स्रोत

बहुत ही रोचक सवाल। मेरा प्रारंभिक दृष्टिकोण यह होगा कि "गेम" गुणात्मक रूप से वही है जो आप पहले से ही वर्णन करते हैं, सिवाय इसके कि प्रश्न उम्मीद करता है (कोई वाक्य नहीं) एक बिंदु के बजाय मूल्यों की एक सीमा के बारे में होने का उत्तर , क्योंकि एक बिंदु के बिना फैल गया। संदर्भ अधूरा है (यदि व्यर्थ नहीं है) जानकारी।

— एमिल

ध्यान दें कि विचरण अपने आप में एक उम्मीद है - यदि

Y = (X - μ)^{2}

$Y=(X-\mu)^2$ फिर

Var (X) = E (Y)

$\text{Var}(X)=E(Y)$ ।

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b, आप सही हैं, और मुझे वह मिला (मुझे प्रश्न पाठ में इसे शामिल करना चाहिए था)। "अगले मूल्य और अपेक्षा के बीच अंतर का अनुमान लगाएं और मैं आपको चतुराई से सजा दूंगा" खेल होगा। वहाँ है कि सबसे अच्छा है? बहुत व्यावहारिक या बहुत मजेदार खेल नहीं लगता है, IMHO।

— रिचर्ड हार्डी

यदि मैं इस प्रश्न को पहले से समझ चुका हूं, तो आपके पास एक ऐसी सेटिंग है, जिसमें आप किसी भी यादृच्छिक चर के स्वतंत्र अहसास प्राप्त कर सकते हैं $X$ किसी भी वितरण के साथ $F$ (परिमित विचरण करना $\sigma^2(F)$ )। "खेल" कार्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है $h$ तथा $\mathcal L$ वर्णन किया जाना है। इसमें निम्नलिखित चरण और नियम शामिल हैं:

आपके प्रतिद्वंद्वी ("प्रकृति") से पता चलता है $F.$
जवाब में आप एक नंबर का उत्पादन करते हैं $t(F),$ आपकी "भविष्यवाणी।"

खेल के परिणाम का मूल्यांकन करने के लिए, निम्नलिखित गणना की जाती है:

का एक नमूना $n$ iid के अवलोकन $\mathbf{X}=X_1, X_2, \ldots, X_n$ से लिया गया है $F.$
एक पूर्व निर्धारित कार्य $h$ नमूना के लिए लागू किया जाता है, एक संख्या का उत्पादन $h(\mathbf{X}),$ "आँकड़ा।"
"नुकसान फ़ंक्शन" $\mathcal{L}$ आपकी "भविष्यवाणी" की तुलना करता है $t(F)$ सांख्यिकीय के लिए $h(\mathbf{X}),$ एक गैर-नकारात्मक संख्या का उत्पादन करना $\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X})).$
खेल का परिणाम अपेक्षित नुकसान (या "जोखिम") है
$R_{(L, h)} (t, F) = E (L (t (F), h (X))) .$ $R_{(\mathcal{L}, h)}(t, F) = E(\mathcal{L}(t(F), h(\mathbf{X}))).$

आपका उद्देश्य कुछ निर्दिष्ट करके प्रकृति की चाल का जवाब देना है $t$ यह जोखिम को कम करता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन के साथ खेल में $h(X_1)=X_1$ और फार्म का कोई नुकसान $\mathcal{L}(t, h) = \lambda(t-h)^2$ कुछ सकारात्मक संख्या के लिए $\lambda,$ आपका इष्टतम कदम उठाना है $t(F)$ की अपेक्षा होना $F.$

हमारे सामने सवाल यह है कि,

क्या वहां मौजूद है? $\mathcal{L}$ तथा $h$ जिसके लिए इष्टतम कदम उठाना है $t(F)$ विचरण करना $\sigma^2(F)$ ?

यह अपेक्षा के अनुरूप विचरण को प्रदर्शित करके आसानी से उत्तर दिया जाता है। एक तरीका यह है कि उस पर मुहर लगाई जाए

h (X_{1}, X_{2}) = \frac{1}{2} (X_{1} - X_{2})^{2}

$h(X_1,X_2) = \frac{1}{2}(X_1-X_2)^2$ और द्विघात हानि का उपयोग करना जारी रखें

L (t, h) = (t - h)^{2} .

$\mathcal{L}(t,h) = (t-h)^2.$ जिसका अवलोकन करने पर

E (h (X)) = σ^{2} (F),

$E(h(\mathbf{X})) = \sigma^2(F),$

उदाहरण हमें यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है कि यह $h$ और इस $\mathcal L$ विचरण के बारे में प्रश्न का उत्तर दें।

मानक विचलन के बारे में क्या $\sigma(F)$ ? फिर, हमें केवल एक नमूना सांख्यिकीय की अपेक्षा के रूप में इसे प्रदर्शित करने की आवश्यकता है। हालाँकि, यह संभव नहीं है, क्योंकि जब हम सीमित करते हैं $F$ बर्नोली के परिवार के लिए $(p)$ वितरण हम केवल बहुपद कार्यों के निष्पक्ष अनुमानक प्राप्त कर सकते हैं $p,$ परंतु $\sigma(F) = \sqrt{p(1-p)}$ डोमेन पर एक बहुपद समारोह नहीं है $p\in (0,1).$ (See For the binomial distribution, why does no unbiased estimator exist for $1/p$ ? द्विपद वितरण के बारे में सामान्य तर्क के लिए, इस प्रश्न को औसत के बाद कम किया जा सकता है $h$ के सभी क्रमपरिवर्तन पर $X_i.$ )

— व्हीबर
स्रोत

मेरे प्रश्न के स्पष्ट स्पष्टिकरण और समान रूप से स्पष्ट उत्तर के लिए धन्यवाद। क्या आपके पास भी इसका कोई उदाहरण होगा

h

$h$ यह सब पर निर्भर करता है

n

$n$ नमूना अंक, सिर्फ दो नहीं?

— रिचर्ड हार्डी

वहाँ से जाने के लिए एक मानक तरीका है

2

$2$ सेवा

n

$n$ : सभी जोड़े और औसत के लिए सांख्यिकीय की गणना करें। वास्तव में, यह आँकड़े.स्टैकएक्सचेंज . com / a / 18200 / 919 पर सहसंयोजकता के मेरे लक्षण वर्णन का उत्पादन करता है । इसके औपचारिक सिद्धांत के लिए, यू आँकड़ों के बारे में पढ़ें ।

— whuber

आपका बहुत बहुत धन्यवाद!

— रिचर्ड हार्डी