क्या मर्सर का प्रमेय उल्टा काम करता है?

एक सहयोगी ने एक समारोह है और हमारे उद्देश्यों के लिए यह एक ब्लैक बॉक्स है। फ़ंक्शन दो वस्तुओं की समानता को मापता है । $s$ $s(a,b)$

हमें यकीन है कि उस के लिए पता इन गुण है: $s$

समानता स्कोर 0 और 1 के बीच वास्तविक संख्याएं हैं, समावेशी हैं।
केवल वे ही वस्तुएं जो स्व-समरूप होती हैं, उनमें 1. का अंक होता है। इसलिए का अर्थ होता है , और इसके विपरीत। $s(a,b)=1$ $a=b$
हम गारंटी देते हैं कि । $s(a,b) = s(b,a)$

अब वह एल्गोरिदम के साथ काम करना चाहता है जिसमें इनपुट के रूप में दूरी की आवश्यकता होती है, और दूरी के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले इनपुट पर निर्भर करता है।

मेरा विचार था कि हम समानता स्कोर का इलाज कर सकते हैं जैसे कि वे कुछ दूरी के साथ आरबीएफ कर्नेल का परिणाम थे (यह एक यूक्लिडियन मानदंड या दूसरी दूरी हो सकती है), यानी हम बस बीजगणित के साथ पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं और मान सकते हैं कि समानता स्कोर का उल्लेख करते हैं कुछ (अज्ञात) समन्वय प्रणाली में अंकों की एक जोड़ी के लिए आरबीएफ कर्नेल।

\begin{aligned} s (x_{i}, x_{j}) & = \exp (- \frac{d (m_{i}, m_{j})^{2}}{r}) \\ \sqrt{- r \log s (x_{i}, x_{j})} & = d (m_{i}, m_{j}) \end{aligned}

$\begin{align} s(x_i,x_j) &= \exp\left(-\frac{d( m_i, m_j)^2}{r}\right) \\ \sqrt{-r \log s(x_i,x_j) } &= d(m_i,m_j) \\ \end{align}$

जहाँ कुछ अज्ञात वेक्टर है, और ब्याज की वस्तु है और कुछ दूरी है। $m_\alpha \in \mathbb{R}^n$ $x_\alpha$ $d$

दूरी के स्वयंसिद्धों के सम्मान के संदर्भ में, स्पष्ट गुण काम करते हैं। परिणाम गैर-नकारात्मक होने चाहिए, और समान वस्तुओं के लिए दूरी केवल 0 है। लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि परिस्थितियों के इस सामान्य सेट का मतलब यह है कि त्रिकोण असमानता का सम्मान करने के लिए पर्याप्त है।

दूसरी ओर, यह थोड़े पागल लगता है।

तो मेरा प्रश्न है "क्या कोई मौजूद है जैसे कि लिए कुछ दूरी मेट्रिक ने ये गुण पर दिए , और वह क्या है ?" $f$ $f(s(a,b))=d(a,b)$ $d$ $s$ $f$

यदि इन सामान्य परिस्थितियों में पर मौजूद नहीं है , तो क्या आवश्यकताओं का एक अतिरिक्त सेट है, जिसके लिए मौजूद है? $f$ $s$ $f$

— साइकोरैक्स का कहना है कि मोनिका को बहाल करो
स्रोत

ध्यान दें कि भले ही आपको जोड़ीदार दूरी का सेट दिया जाता है जो दूरी के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, यह गारंटी नहीं है कि इन दूरी को महसूस करने वाले बिंदुओं के साथ एक यूक्लिडियन स्थान है। ऐसा एम्बेडिंग हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण देखें math.stackexchange.com/questions/1000006 ।

d (a, b)

$d(a,b)$

— अमीबा

यह एक बहुत ही रोचक धागा है! इसे साझा करने के लिए धन्यवाद। अपने आप को एक विशेष दूरी तक सीमित करना मेरा उद्देश्य नहीं था। (चूंकि, विपरीत दिशा में आगे बढ़ रहा है, एक गैर-यूक्लिडियन दूरी के साथ आरबीएफ कर्नेल का उपयोग कर सकता है।)

— साइकोरैक्स ने कहा कि मोनिका

तो आपका प्रश्न सिर्फ यह है कि को कैसे परिवर्तित किया जाए ताकि त्रिभुज असमानता को संतुष्ट कर सके? क्या यह मैट्रिक्स की दूरी एक यूक्लिडियन स्थान में एम्बेड करने योग्य है, आपके लिए मायने नहीं रखता है। सही बात? मेरा अंतर्ज्ञान यह है कि एक मनमाना यह संभव नहीं होगा।

s (a, b)

$s(a,b)$

d (a, b) = f (s (a, b))

$d(a,b)=f(s(a,b))$

d

$d$

s

$s$

— अमीबा

यह सही है। मुझे संदेह है कि यह संभव नहीं है, कम से कम पर अतिरिक्त प्रतिबंध के बिना नहीं ।

s

$s$

— साइकोरैक्स का कहना है कि मोनिका

f : f (x) = I_{x > 0}

$f: f(x) = I_{x>0}$ हमेशा असतत मैट्रिक ( en.wikipedia.org/wiki/Discrete_space ) की ओर जाता है , लेकिन यह शायद इरादा नहीं है इसलिए कुछ शर्तों को जोड़ा जाना चाहिए (?)

— जुहो कोक्कल

जवाबों:

क्या मर्सर का प्रमेय उल्टा काम करता है?

सभी मामलों में नहीं।

विकिपीडिया: "गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण, मर्सर का प्रमेय एक वर्ग पर एक सममित सकारात्मक-निश्चित कार्य का एक प्रतिनिधित्व है जो उत्पाद कार्यों के एक अभिसरण अनुक्रम के योग के रूप में है। यह प्रमेय, (मर्सर 1909) में प्रस्तुत किया गया है। जेम्स मर्सर के काम के सबसे उल्लेखनीय परिणाम। यह अभिन्न समीकरण के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण सैद्धांतिक उपकरण है। इसका उपयोग हिल्बर्ट अंतरिक्ष सिद्धांत में स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए करहुनेन-लोवेव प्रमेय; और इसका उपयोग वर्ण बनाने के लिए भी किया जाता है। एक सममित सकारात्मक अर्ध-निश्चित कर्नेल।

यह एक हिल्बर्ट स्थान पर ' कई से एक मानचित्रण ' है । - एक सकल ओवरसिम्प्लीफिकेशन इसे एक हैश या चेकसम के रूप में वर्णित करता है जिसे आप पहचान निर्धारित करने या न करने के लिए फ़ाइल के खिलाफ परीक्षण कर सकते हैं।

अधिक तकनीकी व्याख्या: विघटन प्रमेय

"गणित में, विघटन प्रमेय माप सिद्धांत और संभाव्यता सिद्धांत का एक परिणाम है। यह प्रश्न में माप स्थान के शून्य सबसेट के माप के गैर-तुच्छ" प्रतिबंध "के विचार को कठोरता से परिभाषित करता है । यह संबंधित है। सशर्त संभाव्यता उपायों का अस्तित्व। एक अर्थ में, "विघटन" एक उत्पाद उपाय के निर्माण की विपरीत प्रक्रिया है। "

यह भी देखें: " द फ़ुबनी-टोनेली प्रमेय ", " हिंग लॉस ", " लॉस फंक्शन ", और " हाउ गुड इज ए कर्नेल जब एक समानता उपाय के रूप में उपयोग किया जाता है? " (जून 2007) नाथन स्रेब्रो द्वारा, सार।

" सार। हाल ही में, बलेन और ब्लम ने सकारात्मक अर्ध-निश्चित गुठली के बजाय सामान्य समानता कार्यों के आधार पर सीखने का एक सिद्धांत सुझाया। हम कर्नेल-आधारित शिक्षा के आधार पर सीखने की गारंटी के बीच अंतर का अध्ययन करते हैं, और उन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। कर्नेल एक समानता फ़ंक्शन के रूप में, जिसे बाल्कन और ब्लम द्वारा खुला छोड़ दिया गया था। हम एक समान फ़ंक्शन के रूप में उपयोग किए जाने पर कर्नेल फ़ंक्शन कितना अच्छा है, इस पर एक बेहतर सुधार प्रदान करते हैं, और परिणाम को अधिक व्यावहारिक रूप से प्रासंगिक काज-हानि के बजाय विस्तारित करते हैं फिर शून्य-एक-त्रुटि-दर। इसके अलावा, हम दिखाते हैं कि यह बाध्य तंग है, और इसलिए स्थापित करते हैं कि वास्तव में मार्जिन के पारंपरिक कर्नेल-आधारित धारणा और नए समानता-आधारित धारणा के बीच एक वास्तविक अंतर है। "

एक सहयोगी ने एक समारोह है और हमारे उद्देश्यों के लिए यह एक ब्लैक बॉक्स है। $s$

देखें: गुठली और समानता (R में)

यह एक ब्लैक बॉक्स है, ताकि आप यह न जान सकें कि कर्नेल का उपयोग किसके लिए किया गया है, यदि यह कर्नेल आधारित है, और आप कर्नेल के कार्यान्वयन के विवरण को नहीं जानते हैं, क्योंकि आपको लगता है कि आपको पता है कि यह कौन सा है। देखें: कर्नेल में आरबीएफ कर्नेल का समीकरण मानक से अलग है? ।

दूसरी ओर, यह थोड़े पागल लगता है।

यह प्रतिबंधित परिस्थितियों में त्वरित और प्रभावी है। एक हथौड़ा की तरह, अगर आप अपने साथ एक हथौड़ा ले जाते हैं, तो लोग आपको पागल कहेंगे?

" कर्नेल विधियों का नाम कर्नेल फ़ंक्शंस के उपयोग के लिए दिया गया है, जो उन्हें उस स्थान में डेटा के निर्देशांक की गणना किए बिना एक उच्च-आयामी, अंतर्निहित फ़ीचर स्थान में संचालित करने में सक्षम बनाता है, लेकिन केवल छवियों के बीच आंतरिक उत्पादों की गणना करके फ़ीचर स्पेस में डेटा के सभी जोड़े। यह ऑपरेशन अक्सर निर्देशांक के स्पष्ट संगणना की तुलना में कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता होता है। इस दृष्टिकोण को "कर्नेल ट्रिक" कहा जाता है। कर्नेल फ़ंक्शन को अनुक्रम डेटा, ग्राफ़, टेक्स्ट, छवियों के रूप में पेश किया गया है । साथ ही वैक्टर ”।

सबक: आपको (कभी-कभी) वह मिलता है जो आप भुगतान करते हैं।

मेरे सवालों का तो "क्या वहाँ एक मौजूद है ऐसी है कि के लिए कुछ दूरी मीट्रिक पर इन गुणों को देखते हुए है, और क्या वह यह है कि ?" $f$ $f(s(a,b))=d(a,b)$ $d$ $s$ $f$

कई, ऊपर लिंक देखें, " लोकप्रिय कर्नेल फ़ंक्शंस ", आरबीएफ , और यहां एक (महंगा) उदाहरण: " समय श्रृंखला के फूरियर ट्रांसफॉर्म के बीच समानता के लिए एक संभावना अनुपात दूरी उपाय " (2005), जनक, बैगनॉल और पॉवेल द्वारा।

यदि इन सामान्य परिस्थितियों में पर मौजूद नहीं है , तो क्या आवश्यकताओं का एक अतिरिक्त सेट है, जिसके लिए मौजूद है? $f$ $s$ $f$

विभिन्न रिक्त स्थान और विधियाँ विशिष्ट समस्याओं की तुलना (और विघटन) को बेहतर ढंग से लक्षित कर सकती हैं, अकेले हिल्बर्ट स्थान के लिए कई विधियाँ हैं।

हां, सूची बड़ी है, ऊपर दिए गए लिंक और (एक उदाहरण के लिए) देखें: कर्नेल हिल्बर्ट स्थान को पुन : प्रस्तुत करना ।

— लूटना
स्रोत

-1

लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि परिस्थितियों के इस सामान्य सेट का मतलब यह है कि त्रिकोण असमानता का सम्मान करने के लिए पर्याप्त है।

$d(a, b) = 1 - s(a, b)$ $x, y, z$ $d(x, y) = \frac{1}{3}$ $d(y, z) = \frac{1}{3}$ $d(x, z) = 1$ $d(x, z) > d(x, y) + d(y, z)$

— Kodiologist
स्रोत

मैं नहीं देखता कि यह कैसे साबित होता है।

— अमीबा

d

$d$

f (α) = 1 - α

$f(\alpha)=1-\alpha$

s

$s$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

m

$m$

s

$s$

d

$d$

f

$f$

m

$m$

1 - s (a, b)

$1-s(a,b)$

x_{α}

$x_\alpha$

m_{α}

$m_\alpha$

s

$s$