माध्य के वर्ग के लिए निष्पक्ष, सकारात्मक अनुमानक

Question

मान लें कि हमारे पास सच्चे (अज्ञात) माध्य और विचरण साथ वितरण से iid नमूने हैं , और हम का अनुमान लगाना चाहते हैं ।$\mu, \sigma^2$$\mu^2$

हम इस मात्रा का एक निष्पक्ष, हमेशा सकारात्मक अनुमानक कैसे बना सकते हैं?

नमूना का वर्ग लेते हुए माध्य पक्षपाती है और मात्रा, जासूसी को नजरअंदाज कर देगा। अगर 0 के करीब है और बड़ा है।$\tilde{\mu}^2$$\mu$$\sigma^2$

यह संभवतः एक तुच्छ प्रश्न है लेकिन मेरे Google कौशल मुझे estimator of mean-squaredकेवल रिटर्न के रूप में निराश कर रहे हैंmean-squarred-error estimators

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यदि यह मामलों को आसान बनाता है, तो अंतर्निहित वितरण को गौसियन माना जा सकता है।

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समाधान:

• का निष्पक्ष अनुमान लगाना संभव है ; नॉरमेसी का जवाब देखें$\mu^2$
• एक निष्पक्ष, हमेशा सकारात्मक अनुमान लगाना संभव नहीं है रूप में ये आवश्यकताएं संघर्ष में होती हैं जब सही अर्थ 0 होता है; देखें विंक्स का जवाब$\mu^2$

Comments

शायद वर्ग के मतलब के अनुमानक के लिए खोज करें या इसके बजाय वर्ग के अनुमानक का अनुमान लगाएं । जब मैंने आपका शीर्षक पढ़ा, तो मैं भी भ्रमित हो गया (ठीक Google की तरह), इसलिए मैंने इसे और अधिक सहज बनाने के लिए संपादित किया।

— रिचर्ड हार्डी

Answer 1

ध्यान दें कि नमूना मतलब भी सामान्य रूप से मतलब के साथ, वितरित किया जाता है और विचरण । इसका अर्थ यह है कि $\bar{X}$$\mu$$\sigma^2/n$

$$\operatorname E(\bar{X}^2) = \operatorname E(\bar{X})^2 + \operatorname{Var}(\bar{X}) = \mu^2 + \frac{\sigma^2}n$$

यदि आप सभी की परवाह करते हैं तो एक निष्पक्ष अनुमान है, आप इस तथ्य का उपयोग कर सकते हैं कि नमूना विचलन लिए निष्पक्ष है । इसका तात्पर्य यह है कि आकलनकर्ता , लिए निष्पक्ष है । $\sigma^2$

$$\widehat{\mu^2} = \bar{X}^2 - \frac{S^2}n$$ $\mu^2$

Comments

आपके सहयोग के लिए धन्यवाद! यह एक अच्छा अवलोकन है, लेकिन हमेशा सकारात्मक आवश्यकता को पूरा नहीं करता है; नमूने {-1,1} दिए गए हैं, नमूना मतलब 0 है और नमूना विचरण 2 है, जिससे -1 का अनुमान है। $\hat{\mu^2}$

— विंक्स

यह देखते हुए कि न्यूनतम पर्याप्त और पूर्ण है, यह निष्पक्ष अनुमानक न्यूनतम विचरण वाला होना चाहिए। $(\bar{X},S^2)$

— शीआन

@ यह एक बहुत ही बेतुका निष्पक्ष अनुमानक का उदाहरण है ।

— स्टबबोर्नटॉम

बहुत ही रोचक। दो iid अवलोकनों का उपयोग करते हुए एक साधारण असंबद्ध अनुमानक$X_1$ तथा $X_2$ है $X_1X_2$, जैसा $E(X_1 X_2) = E(X_1)E(X_2) = \mu^2$। स्पष्ट रूप से यह उतना अच्छा अनुमानक नहीं है, लेकिन यह स्पष्ट करता है कि कोई भी बहुपद$\mu$मेरे पास एक गैर-अनुमानित अनुमानक है, जो मुझे लगा कि दिलचस्प था।

— पॉल हैरिसन

Answer 2

यह एक अनुमानक का उत्पादन संभव नहीं होना चाहिए जो निष्पक्ष और हमेशा के लिए सकारात्मक हो $\mu^2$।

यदि सही अर्थ 0 है, तो अनुमानक को 0 वापसी की उम्मीद है लेकिन नकारात्मक संख्याओं को आउटपुट करने की अनुमति नहीं है, इसलिए इसे सकारात्मक संख्याओं को आउटपुट करने की भी अनुमति नहीं है क्योंकि यह पक्षपाती होगा। इस मात्रा का एक निष्पक्ष, हमेशा सकारात्मक अनुमानक इसलिए नमूने की परवाह किए बिना, मतलब 0 होने पर हमेशा सही उत्तर वापस करना चाहिए, जो असंभव लगता है।

knrumsey का उत्तर दिखाता है कि अनुमान का निष्पक्ष अनुमान प्राप्त करने के लिए नमूना-माध्य-वर्गीय अनुमानक के पूर्वाग्रह को कैसे ठीक किया जाए$\mu^2$।

Comments

जिम बर्जर द्वारा इस तथ्य को स्थापित करने के बजाय एक पुराना पेपर है, लेकिन मैं इसे ट्रेस नहीं कर सकता। यह समस्या मोंटे कार्लो में रूसी रूले जैसे डिबेटिंग अनुमानकों के साथ भी दिखाई देती है।

— शीआन