मानक त्रुटि कैसे काम करती है?

Question

मैं हाल ही में मानक त्रुटि के आंतरिक कामकाज में देख रहा हूं, और मैंने खुद को यह समझने में असमर्थ पाया कि यह कैसे काम करता है। मानक त्रुटि के बारे में मेरी समझ यह है कि यह नमूना साधनों के वितरण का मानक विचलन है। मेरे प्रश्न हैं:

• हम कैसे जानते हैं कि मानक त्रुटि नमूना का मानक विचलन है जब हम आमतौर पर सिर्फ एक नमूना लेते हैं?

• मानक त्रुटि दर्पण की गणना एकल समीकरण के लिए मानक विचलन समीकरण क्यों नहीं करता है?

Comments

जब आप कहते हैं "एकल नमूना" क्या आपका मतलब एक नमूना सेट या वास्तव में 1 का नमूना आकार है?

— एरिक

इन्हें एक सरल लेकिन रोचक समस्या (आँकड़ों की प्रतिक्रिया के लिए) को सादा, गैर-सांख्यिकीय भाषा के लिए कहा जाता है ।ysts.stackexchange.com / a / 18609 पर ।

— whuber

Answer 1

हां, माध्य (एसईएम) की मानक त्रुटि, साधनों का मानक विचलन (एसडी) है। (मानक त्रुटि एक नमूना वितरण के एसडी कहने का एक और तरीका है। इस मामले में, नमूना वितरण एक निश्चित आकार के नमूनों के लिए साधन है, एन कहते हैं।) SEM और जनसंख्या के बीच एक गणितीय संबंध है SD: SEM = जनसंख्या SD / N का वर्गमूल। यह गणितीय संबंध बहुत सहायक है, क्योंकि हमारे पास SEM का प्रत्यक्ष अनुमान नहीं है, लेकिन हमारे पास जनसंख्या का एक अनुमान है SD (अर्थात् हमारे नमूने का एसडी)। आपके दूसरे प्रश्न के अनुसार, यदि आप आकार N के कई नमूने एकत्र करना चाहते थे और प्रत्येक नमूने के लिए माध्य की गणना कर सकते थे तो आप SEM का अनुमान केवल एसडी के साधनों की गणना करके लगा सकते थे। तो SEM के लिए सूत्र वास्तव में एक एकल नमूने के एसडी के लिए सूत्र को प्रतिबिंबित करता है।

Answer 2

मान लीजिए कि स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं। यह वह स्थिति है जिसका मुझे पूरा यकीन है कि आप इसका उल्लेख कर रहे हैं। उनकी आम मतलब हो μ और उनके सामान्य विचरण हो σ 2 ।$X_1, X_2, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$

अब नमूना का मतलब । अपेक्षा की रैखिकता से पता चलता है कि एक्स बी का मतलब भी μ है । स्वतंत्रता धारणा का तात्पर्य है एक्स बी का विचरण इसकी शर्तों के प्रकारों का योग है । ऐसी प्रत्येक अवधि एक्स मैं / n विचरण है σ 2 / n 2 (क्योंकि एक निरंतर समय की विचरण एक यादृच्छिक चर रहा है लगातार चुकता बार यादृच्छिक चर का विचरण)। हमने $X_b=\sum_i X_i/n$$X_b$$\mu$$X_b$$X_i/n$$\sigma^2/n^2$$n$ ने इस तरह के चर को योग के लिए वितरित किया है, इसलिए प्रत्येक शब्द का एक ही रूप है। नतीजतन, हम पाते हैं नमूना माध्य का विचरण के लिए।$n \sigma^2/n^2 = \sigma^2/n$

आम तौर पर हम नहीं जानते कि और इसलिए हम डेटा से यह अनुमान लगाने चाहिए। सेटिंग के आधार पर, ऐसा करने के विभिन्न तरीके हैं। दो सबसे आम, सामान्य उद्देश्य अनुमान σ 2 हैं नमूना प्रसरण रों 2 = $\sigma^2$$\sigma^2$ और यह का एक छोटा सा एकाधिक,एस 2 यू =$s^2 = \frac{1}{n}\sum_i(X_i-X_b)^2$(जिनमें से एक निष्पक्ष आकलनकर्ता हैσ2)। के स्थान पर इनमें से किसी एक का उपयोगσ2पूर्ववर्ती पैरा में और वर्गमूल लेने के रूप में मानक त्रुटि देता हैरों/$s_u^2 = \frac{n}{n-1}s^2$$\sigma^2$$\sigma^2$ याsu/$s/\sqrt{n}$ ।$s_u/\sqrt{n}$

Comments

यह बहुत अच्छा है। क्या आपके पास सोच कौशल के समान रेखा विकसित करने के लिए पुस्तकों या रीडिंग के लिए सुझाव हैं। धन्यवाद।

— q126y

सुरुचिपूर्ण जवाब!

— जिंहुआ वांग

Answer 3

+1 दोनों @JoelW को। & @MichaelChernick मैं @ जोएलडब्ल्यू के उत्तर में एक विवरण जोड़ना चाहता हूं। वह नोट करते हैं कि "हमारे पास लगभग SEM का प्रत्यक्ष अनुमान नहीं है", जो अनिवार्य रूप से सच है, लेकिन यह उस कथन को स्पष्ट रूप से पहचानने के लायक है। विशेष रूप से, जब एक अध्ययन कई समूहों / उपचारों (उदाहरण के लिए, प्लेसबो बनाम मानक दवा बनाम नई दवा) की तुलना करता है, तो एक एनोवा का उपयोग आमतौर पर यह देखने के लिए किया जाता है कि क्या वे सभी समान हैं। अशक्त परिकल्पना यह है कि प्रत्येक समूह को एक ही जनसंख्या से खींचा गया है, और इस प्रकार, तीनों साधन जनसंख्या के अनुमान के अनुमान हैं। यही है, एक मानक एनोवा में शून्य परिकल्पना मानती है कि आपके पास SEM का प्रत्यक्ष अनुमान है। साधनों के नमूना वितरण के विचरण के समीकरण पर विचार करें:

$$\sigma^2_{\bar x}=\frac{\sigma^2_{pop}}{n_j},$$ कहाँ पे $\sigma^2_{pop}$ is the population variance, and $n_j$ is the number of groups. Although we don't usually perform the calculations in this way, we could simply use standard formulas to plug in estimated values, and with minimal algebraic reshuffling, form the $F$ statistic like so: $$F=\frac{n_j\times s^2_{\bar x}}{s^2_{\text{pooled within group}}}$$ In this case, we really would be using the standard formula (only applied over the group means), that is: $$s^2_{\bar x}=\frac{\sum_{j=1}^{n_j}(\bar x_j-\bar x_.)^2}{n_j-1},$$ with $x_.$ being the mean of the group means.

In that we typically believe the null hypothesis is not true, @JoelW.'s point is right, but I work through this point, because I think the clarity it affords is helpful for understanding these issues.

Comments

I think your comment is basically the same as this one, which was written with less mathematical notation: stats.stackexchange.com/questions/32206/…

— Joel W.