क्या राशि का विचरण, भिन्न के योग के बराबर है?

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क्या यह (हमेशा) सही है कि

V a r (\sum_{i = 1}^{m} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} V a r (X_{i}) ?

$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$

variance

— अबे
स्रोत

3

नीचे दिए गए उत्तर प्रमाण प्रदान करते हैं। अंतर्ज्ञान को साधारण केस var (x + y) में देखा जा सकता है: यदि x और y को सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध किया जाता है, तो दोनों कुल भिन्नता को बढ़ाते हुए एक साथ बड़े / छोटे हो जाएंगे। यदि वे नकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं, तो वे कुल भिन्नता को कम करते हुए, एक दूसरे को रद्द कर देंगे।

— असद अब्राहिम

91

आपके प्रश्न का उत्तर "कभी-कभी, लेकिन सामान्य रूप से नहीं" होता है।

यह देखने के लिए यादृच्छिक चर (परिमित साथ) हो। फिर, $X_1, ..., X_n$

v a r (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) - {[E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i})]}^{2}

${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$

अब ध्यान दें कि , जो स्पष्ट है यदि आप जब आप गणना करते हैं कि आप क्या कर रहे हैं, इसके बारे में सोचें हाथ से। इसलिए, $(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$ $(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

इसी तरह,

{[E (\sum_{i = 1}^{n} X_{i})]}^{2} = {[\sum_{i = 1}^{n} E (X_{i})]}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i}) E (X_{j})

$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$

इसलिए

v a r (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (E (X_{i} X_{j}) - E (X_{i}) E (X_{j})) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c o v (X_{i}, X_{j})

${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$

कोवरियन की परिभाषा के अनुसार।

अब के बारे में क्या राशि का विचरण भिन्नताओं के योग के बराबर है? :

यदि चर असंबंधित हैं, तो हाँ : यह है, लिए , फिर ${\rm cov}(X_i,X_j)=0$ $i\neq j$
$v a r (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} c o v (X_{i}, X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} c o v (X_{i}, X_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} v a r (X_{i})$ ${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$
यदि चर सहसंबद्ध हैं, तो नहीं, सामान्य रूप से नहीं : उदाहरण के लिए, मान लें कि दो भिन्न चर हैं जिनमें से प्रत्येक में variance और जहाँ । फिर , ताकि पहचान विफल हो जाए। $X_1, X_2$ $\sigma^2$ ${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$ $0 < \rho <\sigma^2$ ${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$
लेकिन यह कुछ उदाहरणों के लिए संभव है : मान लीजिए कि में सहसंयोजक मैट्रिक्स तो $X_1, X_2, X_3$
$(\begin{array}{ccc} 1 & 0.4 & - 0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ - 0.6 & 0.2 & 1 \end{array})$ $\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

इसलिए यदि चर असंबंधित हैं, तो राशि का भिन्न रूप भिन्नता का योग है, लेकिन सामान्य रूप में रूपांतरण सही नहीं है।

— मैक्रो
स्रोत

उदाहरण सहसंयोजक मैट्रिक्स के बारे में, निम्नलिखित सही है: ऊपरी दाएं और निचले बाएं त्रिकोण के बीच समरूपता इस तथ्य को दर्शाती है कि , लेकिन समरूपता ऊपरी बाएं और निचले दाएं के बीच (इस मामले में कि उदाहरण का एक हिस्सा है, लेकिन इसे दो अलग-अलग से बदला जा सकता है संख्याएँ जिनका योग , और ? धन्यवाद फिर से।

cov (X_{i}, X_{j}) = cov (X_{j}, X_{i})

$\text{cov}(X_i,X_j)=\text{cov}(X_j,X_i)$

cov (X_{1}, X_{2}) = cov (X_{2}, X_{3}) = 0.3

$\text{cov}(X_1, X_2) = \text{cov}(X_2,X_3) = 0.3$

0.6

$0.6$

cov (X_{1}, X_{2}) = a

$\text{cov}(X_1, X_2) = a$

cov (X_{2}, X, 3) = 0.6 - a

$\text{cov}(X_2,X,3) = 0.6 -a$

— Abe

41

Var (\sum_{i = 1}^{m} X_{i}) = \sum_{i = 1}^{m} Var (X_{i}) + 2 \sum_{i < j} Cov (X_{i}, X_{j}) .

$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$

तो, यदि सहसंयोजक औसत , जो एक परिणाम होगा यदि चर युग्मक असंबद्ध हैं या यदि वे स्वतंत्र हैं, तो योग का भिन्नता भिन्न का योग है। $0$

एक उदाहरण जहां यह सच नहीं है: Let । चलो । फिर । $\text{Var}(X_1)=1$ $X_2 = X_1$ $\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

— डगलस ज़ारे
स्रोत

यह नमूना संस्करणों के लिए शायद ही कभी सच होगा।

— डीडब्ल्यू

1

@ ड्वाइन, "दुर्लभ" एक समझ है - यदि निरंतर वितरण है, तो संभावना है कि योग का नमूना प्रसरण ठीक 0 में नमूना रूपांतर के योग के बराबर है:

X

$X$

— मैक्रो

15

मैं सिर्फ मैक्रों द्वारा दिए गए प्रमाण का एक अधिक संक्षिप्त संस्करण जोड़ना चाहता था, इसलिए यह देखना आसान है कि क्या चल रहा है। $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

ध्यान दें कि $\Var(X) = \Cov(X,X)$

किसी भी दो यादृच्छिक चर हमारे पास है: $X,Y$

\begin{aligned} Var (X + Y) & = Cov (X + Y, X + Y) \\ = E ((X + Y)^{2}) - E (X + Y) E (X + Y) \\ by expanding, \\ = E (X^{2}) - (E (X))^{2} + E (Y^{2}) - (E (Y))^{2} + 2 (E (X Y) - E (X) E (Y)) \\ = Var (X) + Var (Y) + 2 (E (X Y)) - E (X) E (Y)) \end{aligned}

$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$ इसलिए सामान्य तौर पर, दो यादृच्छिक चर के योग का भिन्न रूप नहीं होता है। हालाँकि, यदि स्वतंत्र हैं, तो , और हमारे पास ।

X, Y

$X,Y$

E (X Y) = E (X) E (Y)

$E(XY) = E(X)E(Y)$

Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y)

$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

ध्यान दें कि हम एक सरल प्रेरण द्वारा यादृच्छिक चर के योग के लिए परिणाम का उत्पादन कर सकते हैं । $n$

— उमर हक
स्रोत

11

हां, अगर की प्रत्येक जोड़ी असंबद्ध है, तो यह सच है। $X_i$

विकिपीडिया पर स्पष्टीकरण देखें

— अबे
स्रोत

मैं सहमत हूँ। आपको इनसाइट थिंग्स पर एक सरल (आर) स्पष्टीकरण भी मिलता है ।

— जनवरी रॉथकेगल