जेम्स-स्टीन अनुमानक को "संकोचन" अनुमानक क्यों कहा जाता है?

Question

मैं जेम्स-स्टीन अनुमानक के बारे में पढ़ रहा हूं। यह परिभाषित किया गया है, इस नोट्स में , जैसा कि

$$\hat{\theta}=\left(1 - \frac{p-2}{\|X\|^2}\right)X$$

मैंने प्रमाण पढ़ा है लेकिन मैं निम्नलिखित कथन को नहीं समझता:

ज्यामितीय रूप से, जेम्स-स्टीन अनुमानक प्रत्येक घटक को मूल की ओर सिकोड़ता है ...$X$

" मूल के प्रति प्रत्येक घटक को सिकोड़ता है" क्या वास्तव में इसका मतलब है? मैं कुछ ऐसा सोच रहा था जैसे जो इस मामले में सच है जब तक , ‖ θ - 0 ‖ 2 < ‖ एक्स - 0 ‖ 2 , ( पी + 2 ) < ‖ एक्स ‖ 2 ‖ θ ‖ = ‖ एक्स ‖ 2 - ( पी + 2 $X$

$$\|\hat{\theta} - 0\|^2 < \|X - 0\|^2,$$ $(p+2) < \|X\|^2$ $$\|\hat{\theta}\| = \frac{\|X\|^2 - (p+2)}{\|X\|^2} \|X\|.$$

क्या इसका मतलब है कि जब लोग कहते हैं कि "शून्य की ओर सिकुड़ते हैं" क्योंकि मानक अर्थ में, JS अनुमानक तुलना में शून्य के करीब है ?$L^2$$X$

22/09/2017 तक अपडेट करें : आज मुझे महसूस हुआ कि शायद मैं चीजों को उलझा रहा हूं। ऐसा लगता है कि लोगों को वास्तव में मतलब है कि एक बार आप $X$ को किसी चीज से गुणा करते हैं जो 1 से छोटा है $1$, अर्थात्, शब्द $\frac{\|X\|^2 - (p + 2)}{\|X\|^2}$ , X का प्रत्येक घटक पहले की $X$तुलना में छोटा होगा।

Answer 1

एक तस्वीर कभी-कभी एक हजार शब्दों के लायक होती है, इसलिए मुझे आपके साथ साझा करने दें। नीचे आप ब्रैडले एफ्रॉन (1977) के पेपर स्टीन के विरोधाभास से प्राप्त एक चित्र देख सकते हैं । जैसा कि आप देख सकते हैं, स्टीन के अनुमानक क्या करते हैं, प्रत्येक मूल्यों को भव्य औसत के करीब ले जाता है। यह मूल्यों को भव्य औसत से बड़ा बनाता है, और भव्य औसत से छोटा मान, अधिक से अधिक। संकोचन से हमारा मतलब है कि मूल्यों को औसत की ओर ले जाना , या कुछ मामलों में शून्य की ओर - जैसे नियमित प्रतिगमन - जो शून्य के प्रति मापदंडों को सिकोड़ता है।

बेशक, यह केवल खुद को सिकोड़ने के बारे में नहीं है, लेकिन स्टीन (1956) और जेम्स और स्टीन (1961) ने क्या साबित किया है, कि स्टीन का अनुमानक कुल चुकता त्रुटि के मामले में अधिकतम संभावना अनुमानक पर हावी है,

$$E_\mu(\| \boldsymbol{\hat\mu}^{JS} - \boldsymbol{\mu} \|^2) < E_\mu(\| \boldsymbol{\hat\mu}^{MLE} - \boldsymbol{\mu} \|^2)$$

जहाँ , , स्टीन का अनुमानक और , जहाँ दोनों अनुमानक नमूने पर अनुमानित हैं । मूल कागजात और आपके द्वारा संदर्भित कागज के परिशिष्ट में प्रमाण दिए गए हैं। सादे अंग्रेजी में, उन्होंने जो दिखाया है वह यह है कि यदि आप एक साथ अनुमान लगाते हैं, तो कुल चुकता त्रुटि के संदर्भ में, आप उन्हें छोटा करके बेहतर करेंगे, जैसा कि आपके प्रारंभिक अनुमानों से चिपका है।' μ जम्मू एस मैं μ एम एल ई मैं = एक्स मैं एक्स 1 , एक्स 2 , ... , एक्स पी पी > $\boldsymbol{\mu} = (\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_p)'$$\hat\mu^{JS}_i$$\hat\mu^{MLE}_i = x_i$$x_1,x_2,\dots,x_p$$p > 2$

अंत में, स्टीन का अनुमानक निश्चित रूप से एकमात्र अनुमानक नहीं है जो संकोचन प्रभाव देता है। अन्य उदाहरणों के लिए, आप इस ब्लॉग प्रविष्टि , या जेलमैन एट अल द्वारा संदर्भित बायेसियन डेटा विश्लेषण पुस्तक की जांच कर सकते हैं । आप नियमित प्रतिगमन के बारे में थ्रेड्स की जांच भी कर सकते हैं, जैसे कि संकोचन विधियों से क्या समस्या हल होती है? , या प्रतिगमन के लिए नियमितीकरण विधियों का उपयोग कब करें? , इस आशय के अन्य व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए।

Comments

लेख सहायक लगता है और मैं इसे पढ़ूंगा। मैंने अपने विचारों को और समझाने के लिए अपने सवाल को अपडेट किया है। क्या आप देख सकते हैं? धन्यवाद!

— 3x89g2

@ मुझे लगता है कि मिसाकोव तर्क वैध है कि जेम्स-स्टीन अनुमानक एमटीए की तुलना में शून्य से करीब के अनुमानक को लाता है । शून्य इस अनुमानक में एक केंद्रीय और केंद्रित भूमिका निभाता है और जेम्स-स्टीन अनुमानक का निर्माण किया जा सकता है जो अन्य केंद्रों या यहां तक ​​कि उप-प्रजाति की ओर सिकुड़ते हैं (जैसा कि जॉर्ज, 1986 में)। उदाहरण के लिए, एफ्रॉन और मॉरिस (1973) आम माध्य की ओर सिकुड़ते हैं, जो विकर्ण उप-प्रजाति की मात्रा है। $\theta$

— शीआन