"वास्तव में" का मतलब क्या है?

Question

मैं आँकड़ों में एक noob हूँ, तो क्या आप लोग यहाँ कृपया मेरी मदद कर सकते हैं।

मेरा प्रश्न निम्नलिखित है: वास्तव में पूलित विचरण का क्या अर्थ है?

जब मैं इंटरनेट में पूल किए गए विचरण के लिए एक सूत्र की तलाश करता हूं, तो मुझे निम्न सूत्र का उपयोग करके बहुत सारे साहित्य मिलते हैं (उदाहरण के लिए, यहां: http://math.tntech.edu/ISR/Mathematical_Statistics/Introduction -to_Statutic_Tests / thispage / newnode19.html ):

$$\begin{equation} \label{eq:stupidpooledvar} \displaystyle S^2_p = \frac{S_1^2 (n_1-1) + S_2^2 (n_2-1)}{n_1 + n_2 - 2} \end{equation}$$

लेकिन यह वास्तव में क्या गणना करता है ? क्योंकि जब मैं इस फॉर्मूले का उपयोग अपने जमा हुए विचरण की गणना करने के लिए करता हूं, तो यह मुझे गलत उत्तर देता है।

उदाहरण के लिए, इन "मूल नमूने" पर विचार करें:

$$\begin{equation} \label{eq:parentsample} 2,2,2,2,2,8,8,8,8,8 \end{equation}$$

इस माता पिता नमूने के विचरण है है, और उसके मतलब है ˉ एक्स पी = 5 ।$S^2_p=10$$\bar{x}_p=5$

अब, मान लीजिए कि मैंने इस मूल नमूने को दो उप-नमूनों में विभाजित किया है:

1. पहले उप नमूना माध्य साथ 2,2,2,2,2 है और विचरण एस 2 1 = 0 ।$\bar{x}_1=2$$S^2_1=0$
2. दूसरा उप नमूना माध्य साथ 8,8,8,8,8 है और विचरण एस 2 2 = 0 ।$\bar{x}_2=8$$S^2_2=0$

अब, स्पष्ट रूप से, इन दो उप-नमूनों के जमा / अभिभावक विचलन की गणना करने के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करने से शून्य का उत्पादन होगा, क्योंकि और एस 2 = 0 । तो यह सूत्र वास्तव में क्या गणना करता है?$S_1=0$$S_2=0$

दूसरी ओर, कुछ लंबी अवधि के व्युत्पन्न के बाद, मुझे सूत्र मिला जो सही जमा / अभिभावक का सही उत्पादन करता है:

$$\begin{equation} \label{eq:smartpooledvar} \displaystyle S^2_p = \frac{S_1^2 (n_1-1) + n_1 d_1^2 + S_2^2 (n_2-1) + n_2 d_2^2} {n_1 + n_2 - 1} \end{equation}$$

उपरोक्त सूत्र में, और डी 2 = ¯ एक्स 2 - ˉ एक्स पी ।$d_1=\bar{x_1}-\bar{x}_p$$d_2=\bar{x_2}-\bar{x}_p$

मुझे उदाहरण के लिए मेरा एक समान सूत्र यहां मिला, http://www.emathzone.com/tutorials/basic-statistics/combined-variance.html और विकिपीडिया में भी। हालांकि मुझे यह स्वीकार करना होगा कि वे मेरे जैसे बिल्कुल नहीं दिखते हैं।

तो फिर, वास्तव में पूलित विचरण का क्या अर्थ है? इसका मतलब यह नहीं होना चाहिए कि दो उप-नमूनों में से माता-पिता के नमूने का विचरण? या मैं यहाँ पूरी तरह से गलत हूँ?

पहले ही, आपका बहुत धन्यवाद।

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EDIT 1: कोई कहता है कि मेरे दो उप-नमूने पैथोलॉजिकल हैं क्योंकि उनके पास शून्य विचरण है। खैर, मैं आपको एक अलग उदाहरण दे सकता हूं। इस मूल नमूने पर विचार करें:

$$\begin{equation} \label{eq:parentsample2} 1,2,3,4,5,46,47,48,49,50 \end{equation}$$

इस मूल नमूने का विचरण , और इसका माध्य of x p = 25.5 है ।$S^2_p=564.7$$\bar{x}_p=25.5$

अब, मान लीजिए कि मैंने इस मूल नमूने को दो उप-नमूनों में विभाजित किया है:

1. पहले उप नमूना माध्य साथ 1,2,3,4,5 है और विचरण एस 2 1 = 2.5 ।$\bar{x}_1=3$$S^2_1=2.5$
2. दूसरा उप-नमूना 46,47,48,49,50 मतलब और विचरण S 2 2 = 2.5 है ।$\bar{x}_2=48$$S^2_2=2.5$

अब, यदि आप "साहित्य के फॉर्मूले" का उपयोग करते हैं, तो जमा किए गए संस्करण की गणना करने के लिए, आपको 2.5 मिलेगा, जो पूरी तरह से गलत है, क्योंकि मूल / जमाव वाला संस्करण 564.7 होना चाहिए। इसके बजाय, यदि आप "मेरे सूत्र" का उपयोग करते हैं, तो आपको सही उत्तर मिलेगा।

कृपया समझें, मैं लोगों को यह दिखाने के लिए यहां अत्यधिक उदाहरणों का उपयोग करता हूं कि सूत्र वास्तव में गलत है। यदि मैं "सामान्य डेटा" का उपयोग करता हूं, जिसमें बहुत अधिक विविधताएं (चरम मामले) नहीं हैं, तो उन दो सूत्रों से परिणाम बहुत समान होंगे, और लोग गोल त्रुटि के कारण अंतर को खारिज कर सकते हैं, इसलिए नहीं कि सूत्र ही है गलत।

Comments

मदद करने के लिए कुछ संबंधित लिंक: आँकड़ें ।stackexchange.com / q / 214834 / 3277 , ysts.stackexchange.com / q / 12330 / 3277 , ysts.stackexchange.com / q / 43159 / 3277 ।

— ttnphns

Answer 1

सीधे शब्दों में कहें, पूल किए गए विचरण प्रत्येक नमूने के भीतर विचरण का एक (निष्पक्ष) अनुमान है, इस धारणा / बाधा के तहत कि वे संस्करण समान हैं।

यह समझाया प्रेरित, और में कुछ विस्तार से विश्लेषण किया जाता है जमा विचरण के लिए विकिपीडिया प्रविष्टि ।

यह एक नए "मेटा-सैंपल" के विचलन का अनुमान नहीं लगाता है, जैसे कि आप दो व्यक्तिगत नमूनों को मिलाते हैं। जैसा कि आप पहले ही खोज चुके हैं, यह अनुमान लगाना कि पूरी तरह से अलग सूत्र की आवश्यकता है।

Comments

"समानता" की धारणा (अर्थात, समान जनसंख्या ने उन नमूनों को महसूस किया) सामान्य रूप से यह परिभाषित करने के लिए आवश्यक नहीं है कि यह क्या है - "पूल"। तालित का अर्थ है औसतन, सर्वग्राही (टिम के लिए मेरी टिप्पणी देखें)।

— ttnphns

@ttnphns मुझे लगता है कि समता की धारणा को समुन्नत विचरण को वैचारिक अर्थ देने के लिए आवश्यक है (जो ओपी ने पूछा है) जो कि मौखिक रूप से नमूने के वेरिएंस पर किए जाने वाले गणितीय ऑपरेशन का वर्णन करते हुए मौखिक रूप से परे चला जाता है। यदि जनसंख्या भिन्नताओं को समान नहीं माना जाता है, तो यह स्पष्ट नहीं है कि हम पूल किए गए विचरण को एक अनुमान के रूप में क्या मान सकते हैं। बेशक, हम सिर्फ इसके बारे में सोच सकते हैं कि दो भिन्नताओं का समामेलन किया जा सकता है और इसे उस पर छोड़ दिया जा सकता है, लेकिन पहली जगह में भिन्नताओं को संयोजित करने के लिए किसी प्रेरणा की अनुपस्थिति में यह शायद ही ज्ञानवर्धक है।

— जेक वेस्टफॉल

जेक, मैं उस से असहमत नहीं हूं, ओपी के विशिष्ट प्रश्न को देखते हुए, लेकिन मैं "पूलेड" शब्द की परिभाषा के बारे में बोलना चाहता था, इसीलिए मैंने कहा, "सामान्य रूप से"।

— ttnphns

@JakeWestfall आपका जवाब अब तक का सबसे अच्छा जवाब है। धन्यवाद। हालांकि मैं अभी भी एक बात के बारे में स्पष्ट नहीं हूं। विकिपीडिया के अनुसार, पूलित विचरण कई अलग-अलग आबादी के विचरण का अनुमान लगाने की एक विधि है जब प्रत्येक जनसंख्या का अर्थ भिन्न हो सकता है , लेकिन कोई यह मान सकता है कि प्रत्येक जनसंख्या का विचरण समान है ।

— हैनियनग

@ जेकवेस्टफॉल: तो अगर हम दो अलग-अलग आबादी से अलग-अलग साधनों से पूल किए गए विचरण की गणना कर रहे हैं, तो यह वास्तव में क्या गणना करता है? क्योंकि पहला संस्करण पहले माध्य के संबंध में भिन्नता को माप रहा है, और दूसरा विचरण दूसरे माध्य के संबंध में है। मुझे नहीं पता कि इसकी गणना करने से क्या अतिरिक्त जानकारी प्राप्त की जा सकती है।

— हैनकिनग

Answer 2

"समग्र" भिन्नता प्राप्त करने के लिए, पूल किए गए विचरण का उपयोग विभिन्न नमूनों से अलग-अलग नमूनों को एक साथ जोड़कर किया जाता है । आपके उदाहरण के साथ समस्या यह है कि यह एक रोग संबंधी मामला है, क्योंकि प्रत्येक उप-नमूने में शून्य के बराबर विचरण है। इस तरह के रोग का मामला आम तौर पर हमारे द्वारा सामना किए जाने वाले डेटा के साथ बहुत कम होता है, क्योंकि हमेशा कुछ परिवर्तनशीलता होती है और अगर कोई परिवर्तनशीलता नहीं है, तो हम ऐसे चर के बारे में परवाह नहीं करते हैं क्योंकि वे कोई जानकारी नहीं रखते हैं। आपको यह ध्यान देने की आवश्यकता है कि यह एक बहुत ही सरल विधि है और पदानुक्रमित डेटा संरचनाओं में विचरण का अनुमान लगाने के अधिक जटिल तरीके हैं जो इस तरह की समस्याओं से ग्रस्त नहीं हैं।

$n$$k$$x_{1,1},x_{2,1},\dots,x_{n-1,k},x_{n,k}$$i$$x_{i,j}$$j$-th index stands for group indexes. There are several scenarios possible, you can assume that all the points come from the same distribution (for simplicity, let's assume normal distribution),

$$x_{i,j} \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2) \tag{1}$$

you can assume that each of the sub-samples has its own mean

$$x_{i,j} \sim \mathcal{N}(\mu_j, \sigma^2) \tag{2}$$

or, its own variance

$$x_{i,j} \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2_j) \tag{3}$$

or, each of them have their own, distinct parameters

$$x_{i,j} \sim \mathcal{N}(\mu_j, \sigma^2_j) \tag{4}$$

Depending on your assumptions, particular method may, or may not be adequate for analyzing the data.

In the first case, you wouldn't be interested in estimating the within-group variances, since you would assume that they all are the same. Nonetheless, if you aggregated the global variance from the group variances, you would get the same result as by using pooled variance since the definition of variance is

$$\mathrm{Var}(X) = \frac{1}{n-1} \sum_i (x_i - \mu)^2$$

and in pooled estimator you first multiply it by $n-1$, then add together, and finally divide by $n_1 + n_2 - 1$.

In the second case, means differ, but you have a common variance. This example is closest to your example in the edit. In this scenario, the pooled variance would correctly estimate the global variance, while if estimated variance on the whole dataset, you would obtain incorrect results, since you were not accounting for the fact that the groups have different means.

In the third case it doesn't make sense to estimate the "global" variance since you assume that each of the groups have its own variance. You may be still interested in obtaining the estimate for the whole population, but in such case both (a) calculating the individual variances per group, and (b) calculating the global variance from the whole dataset, can give you misleading results. If you are dealing with this kind of data, you should think of using more complicated model that accounts for the hierarchical nature of the data.

The fourth case is the most extreme and quite similar to the previous one. In this scenario, if you wanted to estimate the global mean and variance, you would need a different model and different set of assumptions. In such case, you would assume that your data is of hierarchical structure, and besides the within-group means and variances, there is a higher-level common variance, for example assuming the following model

$$\begin{align} x_{i,j} &\sim \mathcal{N}(\mu_j, \sigma^2_j) \\ \mu_j &\sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma^2_0) \\ \sigma^2_j &\sim \mathcal{IG}(\alpha, \beta) \end{align} \tag{5}$$

where each sample has its own means and variances $\mu_j,\sigma^2_j$ that are themselves draws from common distributions. In such case, you would use a hierarchical model that takes into consideration both the lower-level and upper-level variability. To read more about this kind of models, you can check the Bayesian Data Analysis book by Gelman et al. and their eight schools example. This is however much more complicated model then the simple pooled variance estimator.

Comments

I have updated my question with different example. In this case, the answer from "literature's formula" is still wrong. I understand that we are usually dealing with "normal data" where there is no extreme case like my example above. However, as mathematicians, shouldn't you care about which formula is indeed correct, instead of which formula applies in "everyday/common problem"? If some formula is fundamentally wrong, it should be discarded, especially if there is another formula which holds in all cases, pathological or not.

— Hanciong

Btw you said there are more complicated ways of estimating variance. Could you show me these ways? Thank you

— Hanciong

Tim, pooled variance is not the total variance of the "combined sample". In statistics, "pooled" means weighted averaged (when we speak of averaged quantities such as variances, weights being the n's) or just summed (when we speak of sums such as scatters, sums-of-squares). Please, reconsider your terminology (choice of words) in the answer.

— ttnphns

Albeit off the current topic, here is an interesting question about "common" variance concept. stats.stackexchange.com/q/208175/3277

— ttnphns

Hanciong. I insist that "pooled" in general and even specifically "pooled variance" concept does not need, in general, any assumption such as: groups came from populations with equal variances. Pooling is simply blending (weighted averaging or summing). It is in ANOVA and similar circumstances that we do add that statistical assumption.

— ttnphns

Answer 3

The problem is if you just concatenate the samples and estimate its variance you're assuming they're from the same distribution therefore have the same mean. But we are in general interested in several samples with different mean. Does this make sense?

Answer 4

The use-case of pooled variance is when you have two samples from distributions that:

• may have different means, but
• which you expect to have an equal true variance.

An example of this is a situation where you measure the length of Alice's nose $n$ times for one sample, and measure the length of Bob's nose $m$ times for the second. These are likely to produce a bunch of different measurements on the scale of millimeters, because of measurement error. But you expect the variance in measurement error to be the same no matter which nose you measure.

In this case, taking the pooled variance would give you a better estimate of the variance in measurement error than taking the variance of one sample alone.

Comments

Thank you for your answer, but I still don't understand about one thing. The first data gives you the variance with respect to Alice's nose length, and the second data gives you the variance with respect to Bob's nose length. If you are calculating a pooled variance from those data, what does it mean actually? Because the first variance is measuring the variation with respect to Alice's, and the second with respect to Bob's, so what additional information can we gained by calculating their pooled variance? They are completely different numbers.

— Hanciong

Answer 5

Through pooled variance we are not trying to estimate the variance of a bigger sample, using smaller samples. Hence, the two examples you gave don't exactly refer to the question.

Pooled variance is required to get a better estimate of population variance, from two samples that have been randomly taken from that population and come up with different variance estimates.

Example, you are trying to gauge variance in the smoking habits of males in London. You sample two times, 300 males from London. You end up getting two variances (probably a bit different!). Now since, you did a fair random sampling (best to your capability! as true random sampling is almost impossible), you have all the rights to say that both the variances are true point estimates of population variance (London males in this case).

But how is that possible? i.e. two different point estimates!! Thus, we go ahead and find a common point estimate which is pooled variance. It is nothing but weighted average of two point estimates, where the weights are the degree of freedom associated with each sample.

Hope this clarifies.