मैं द्विपद के विचरण को नहीं समझता

मुझे लगता है कि इस तरह के एक बुनियादी सवाल पूछने पर भी गूंगा महसूस होता है:

यदि मेरे पास एक यादृच्छिक चर जो मान और ले सकता है , और , तो अगर मैं इसमें से नमूने निकालता हूं, तो मुझे मिलेगा एक द्विपद वितरण। $X$ $0$ $1$ $P(X=1) = p$ $P(X=0) = 1-p$ $n$

वितरण का मतलब है

$\mu = np = E(X)$

वितरण का विचरण है

$\sigma^2 = np(1-p)$

यहीं से मेरी परेशानी शुरू होती है:

वेरिएंस को परिभाषित किया गया है । क्योंकि दो संभावित परिणामों का वर्ग कुछ भी नहीं बदलता है ( और ), इसका अर्थ है कि , इसलिए इसका अर्थ है $\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2$ $X$ $0^2 = 0$ $1^2 = 1$ $E(X^2) = E(X)$

$\sigma^2 = E(X^2) - E(X)^2 = E(X) - E(X)^2 = np - n^2p^2 = np(1-np) \neq np(1-p)$

अतिरिक्त कहां जाता है ? जैसा कि आप शायद बता सकते हैं कि मैं आँकड़ों पर बहुत अच्छा नहीं हूँ, इसलिए कृपया जटिल शब्दावली का उपयोग न करें: एस $n$

variance binomial

— dain
स्रोत

यदि और ये स्वतंत्र हैं तो । लेकिन इससे भी आसान मार्ग है so इसलिए स्वतंत्रता के साथ

X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$X=X_1+X_2+\cdots +X_n$

E [X^{2}] = E [X_{1}^{2} + X_{1} X_{2} + \dots + X_{1} X_{n} + X_{2} X_{1} + X_{2}^{2} + \dots] = n (n - 1) p^{2} + n p

$E[X^2]=E[X_1^2+X_1X_2 +\cdots+X_1X_n+X_2X_1+X_2^2+\cdots]=n(n-1)p^2 +np$

E [X_{1}]^{2} = p

$E[X_1]^2=p$

V a r [X_{1}] = p - p^{2}

$Var[X_1]=p-p^2$

V a r [X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}] = n (p - p^{2})

$Var[X_1+X_2+\cdots+X_n]=n(p-p^2)$

— हेनरी

जवाबों:

एक यादृच्छिक चर मूल्यों लेने और संभावनाओं के साथ और पैरामीटर के साथ एक Bernoulli यादृच्छिक चर कहा जाता है । इस रैंडम वैरिएबल में मान लीजिए आप एक नमूने के तौर पर है आकार के से , और एक नया यादृच्छिक चर को परिभाषित , फिर के वितरण को द्विपद कहते हैं, जिसके पैरामीटर हैं $X$ $0$ $1$ $P(X=1)=p$ $P(X=0)=1-p$ $p$

\begin{array}{rcl} E (X) & = & 0 \cdot (1 - p) + 1 \cdot p = p \\ E (X^{2}) & = & 0^{2} \cdot (1 - p) + 1^{2} \cdot p = p \\ V a r (X) & = & E (X^{2}) - (E (X))^{2} = p - p^{2} = p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(X)&=&0\cdot (1-p) + 1\cdot p = p\\ E(X^2)&=&0^2\cdot(1-p) + 1^2\cdot p = p\\ Var(X)&=& E(X^2)-(E(X))^2=p-p^2=p(1-p) \end{eqnarray*}$

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

$X_{1},X_{2},\cdots,X_{n}$

n

$n$

B e r n o u l l i (p)

$Bernoulli(p)$

Y = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}

$Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}$

Y

$Y$

n

$n$ और । द्विपद रैंडम वैरिएबल Y का माध्य और विचलन

p

$p$

\begin{array}{rcl} E (Y) & = & E (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = \underset{n}{\underset{⏟}{p + p + \dots + p}} = n p \\ V a r (Y) & = & V a r (X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}) = V a r (X_{1}) + V a r (X_{2}) + \dots + V a r (X_{n}) \\ (as X_{i}'s are independent) \\ = & \underset{n}{\underset{⏟}{p (1 - p) + p (1 - p) + \dots + p (1 - p)}} (as X_{i}'s are identically distributed) \\ = & n p (1 - p) \end{array}

$\begin{eqnarray*} E(Y)&=&E(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=\underbrace{ p+p+\cdots +p}_{n}=np\\ Var(Y)&=& Var(X_{1}+X_{2}+\cdots + X_{n})=Var(X_{1})+Var(X_{2})+\cdots + Var(X_{n})\\ & &\text{ (as $X_{i}$'s are independent)} \\ &=&\underbrace{p(1-p)+p(1-p)+\cdots+ p(1-p)}_{n}\quad \text{ (as $X_{i}$'s are identically distributed)} \\ &=&np(1-p) \end{eqnarray*}$

— LVRao
स्रोत

यह प्रश्न का उत्तर कैसे देता है, जो "अतिरिक्त एन कहां जाता है?"।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@amoeba आपकी टिप्पणी के लिए बहुत बहुत धन्यवाद। जैसा कि ओपी बर्नौली और बिनोमियल यादृच्छिक चर के बीच अंतर नहीं कर सका, मैंने उसे आवश्यक परिभाषाओं और आवश्यक अभिव्यक्तियों को प्राप्त करने की प्रक्रिया को याद दिलाने के बारे में सोचा।

— एलवीराओ

मैं सिर्फ इतना कह रहा हूं कि यदि आप ओपी के तर्क में गलती को इंगित करते हैं तो आपका जवाब (मेरी राय में) बेहतर होगा। आपका उत्तर सही फ़ार्मुलों को प्राप्त करता है, लेकिन यह नहीं दिखाता है कि ओपी गलत कहाँ गया था।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@ बेमबा सच। कुछ दिशा देना, उन्हें खुद को सही बनाना भी कभी-कभी मदद करता है।

— LVRao

आपके साबित करने की प्रक्रिया में दो गलतियाँ:

1: पहले पैराग्राफ में के साथ तुलना अलग परिभाषा है लेख के बाकी हिस्सों में। $X$ $X$

2: इस शर्त के तहत कि ~ , । से काम करने की कोशिश करो $X$ $Bin(p, n)$ $E(X^2) \ne E(X)$ $E(X^2) = \sum {\left(x^2\Pr(X=x)\right)}$

— user158565
स्रोत

यदि आपको अपनी आँखें ब्लीड करना पसंद है, तो मैंने अपने बहुत सारे नोट्स ग्रेडेड स्कूल से ट्रांसफ़र किए। यह विशेष लिंक E (X) और E (X ^ 2) की व्युत्पत्ति को दर्शाता है। Nutterb.github.io/ItCanBeShown/…

— बेंजामिन