पीसीए में पीसीए द्विध्रुवीय में अंतर्निहित चर के तीर

प्रश्न को सॉफ्टवेयर-विशिष्ट बनाने के जोखिम पर, और इसकी सर्वव्यापकता और आदर्शवादिता के बहाने से, मैं biplot()R के फंक्शन के बारे में पूछना चाहता हूं , और, विशेष रूप से, इसके डिफ़ॉल्ट, सुपरमिपल लाल तीरों की गणना और प्लॉटिंग के बारे में, अंतर्निहित चर के लिए।

[कुछ टिप्पणियों की समझ बनाने के लिए, शुरू में पोस्ट किए गए भूखंडों में दुर्लभ ब्याज की समस्या थी, और अब इसे समाप्त कर दिया गया है।]

r pca biplot

— एंटोनी परेलाडा
स्रोत

मैं यह पता नहीं लगा सकता कि आपको वास्तव में अपने हरे तीर कैसे मिले। वे सही नहीं हैं। तथ्य यह है कि s.length हरा लगभग अनुमानित है। s.width ग्रीन की तुलना में दोगुना अधिक समय तक आपको संदेह है कि आप वैक्टर को मानकीकृत नहीं कर रहे चर से संबंधित साजिश रच रहे थे। यह सहसंबंधों के आधार पर पीसीए के द्विपद पर नहीं हो सकता है।

— ttnphns

लाल तीर सही लगता है। देखें: वे समान लंबाई के हैं और PC2 के बारे में सममित हैं। यह एकमात्र संभव स्थिति है जब आप पीसीए को केवल 2 चर के साथ करते हैं और सहसंबंधों (यानी मानकीकृत चर) पर आधारित होते हैं। पीसीए में सहसंबंधों के आधार पर, लोडिंग (तीरों का समन्वय) पीसी और चर के बीच संबंध हैं। आपके उदाहरण में, लोडिंग (पीसी द्वारा vars) हैं .74752, .66424; -.74752, .66424:।

— ttnphns

@ttnphns हां, लाल तीर वे हैं जिन्हें मैं पुन: उत्पन्न करने की कोशिश कर रहा हूं (वे सही हैं), और उन्हें biplot(name_of_the_PCA)कॉल के साथ आर में प्लॉट किया जाता है , जो इस मामले में है biplot(PCA)। मैंने डेटा को केंद्रित और माप लिया था।

— एंटोनी परेलाडा

तो, आपका सवाल क्या है? लाल तीर के लिए निर्देशांक की गणना कैसे करें? उन्हें पीसीए लोडिंग होना चाहिए । कभी-कभी, eigenvectors प्लॉट किए जाते हैं (आपका आर कमांड ने शायद ऐसा किया था ??), हालांकि, लोडिंग को प्लॉट करने के लिए सहमति, सार्थक तरीका है ।

— ttnphns

@ttnphns प्लॉटिंग आइगेनवेक्टर्स (मुझे लगता है कि यह लोडिंग के समान है) मुझे सही ओरिएंटेशन (धन्यवाद) देता है, लेकिन लाल तीर के रूप में एक ही परिमाण नहीं है (मैं ओपी में छवि चिपका रहा हूं)।

— एंटोनी परेलाडा

@ अमीबा और @ttnphns की पोस्ट पर विचार करें । आपकी मदद और विचारों दोनों के लिए धन्यवाद।

निम्नलिखित आर में आइरिस डेटासेट पर निर्भर करता है , और विशेष रूप से पहले तीन चर (कॉलम) Sepal.Length, Sepal.Width, Petal.Length:।

एक बिप्लॉट एक लोडिंग प्लॉट (अनस्टेन्डाइज्ड आईजेनवेक्टर) को जोड़ती है - कंक्रीट में, पहले दो लोडिंग और एक स्कोर प्लॉट (प्रमुख घटकों के संबंध में प्लॉट किए गए और पतले डेटा बिंदु)। एक ही डेटासेट का उपयोग करते हुए, @amoeba पहले और दूसरे प्रमुख घटकों के स्कोर प्लॉट के 3 संभावित सामान्यीकरणों पर आधारित पीसीए बाइप्लॉट के 9 संभावित संयोजनों का वर्णन करता है , और प्रारंभिक चर के लोडिंग प्लॉट (तीर) के 3 सामान्यीकरण । यह देखने के लिए कि आर इन संभावित संयोजनों को कैसे संभालता है, यह biplot()विधि को देखना दिलचस्प है :

पहले रेखीय बीजगणित कॉपी और पेस्ट करने के लिए तैयार:

X = as.matrix(iris[,1:3])             # Three first variables of Iris dataset
CEN = scale(X, center = T, scale = T) # Centering and scaling the data
PCA = prcomp(CEN)

# EIGENVECTORS:
(evecs.ei = eigen(cor(CEN))$vectors)       # Using eigen() method
(evecs.svd = svd(CEN)$v)                   # PCA with SVD...
(evecs = prcomp(CEN)$rotation)             # Confirming with prcomp()

# EIGENVALUES:
(evals.ei = eigen(cor(CEN))$values)        # Using the eigen() method
(evals.svd = svd(CEN)$d^2/(nrow(X) - 1))   # and SVD: sing.values^2/n - 1
(evals = prcomp(CEN)$sdev^2)               # with prcomp() (needs squaring)

# SCORES:
scr.svd = svd(CEN)$u %*% diag(svd(CEN)$d)  # with SVD
scr = prcomp(CEN)$x                        # with prcomp()
scr.mm = CEN %*% prcomp(CEN)$rotation      # "Manually" [data] [eigvecs]

# LOADINGS:

loaded = evecs %*% diag(prcomp(CEN)$sdev)  # [E-vectors] [sqrt(E-values)]

1. लोडिंग प्लॉट (तीर) को पुन: प्रस्तुत करना:

यहाँ @ttnphns द्वारा इस पोस्ट पर ज्यामितीय व्याख्या बहुत मदद करती है। पोस्ट में आरेख की धारणा को बनाए रखा गया है: विषय स्थान में चर के लिए खड़ा है । अंत में प्लॉट किए गए संबंधित तीर है; और निर्देशांक और हैं घटक एक चर को और संबंध में लोड करते हैं : $V$ Sepal L. $h'$ $a_1$ $a_2$ $V$ $\small \text{PC} 1$ $\small \text{PC} 2$

चर के घटक Sepal L.के संबंध में तो हो जाएगा: $\small\text{PC}1$

\begin{aligned} a_{1} & = h \cdot \cos (ϕ) \end{aligned}

$\begin{align} a_1 &= h\cdot\cos(\phi)\\[2ex] \end{align}$

जो, अगर स्कोर के संबंध में - चलो उन्हें फोन - ताकि मानकीकृत कर रहे हैं उनके $\small\text{PC}1$ $\small\text{S}1$

$\Vert\text{S}1\Vert = \sqrt{\sum_1^n \text{scores}_1^2} = 1$ , ऊपर दिया गया समीकरण डॉट उत्पाद के बराबर है : $V\cdot \text{S}1$

\begin{aligned} a_{1} & = V \cdot S 1 \\ = ‖ V ‖ ‖ S 1 ‖ \cos (ϕ) \\ (1) & = h \times 1 \times \cdot \cos (ϕ) \end{aligned}

$\begin{align} a_1 &= V\cdot \text{S}1\\[2ex] &=\Vert V\Vert\,\Vert \text{S}1\Vert\, \cos(\phi)\\[2ex] &= h\times 1\times \cdot\cos(\phi)\tag{1} \end{align}$

चूँकि , $\Vert V \Vert=\sqrt{\small{\sum x^2}}$

\sqrt{Var (V)} = \frac{\sqrt{\sum x^{2}}}{\sqrt{n - 1}} = \frac{‖ V ‖}{\sqrt{n - 1}} ⟹ ‖ V ‖ = h = \sqrt{var (V)} \sqrt{n - 1} .

$\sqrt{\small{\text{Var}(V)}}=\frac{\sqrt{\small{\sum x^2}}}{\sqrt{n-1}}=\frac{\Vert V \Vert}{\sqrt{n-1}} \implies \Vert V\Vert =h=\sqrt{\small{\text{var}(V)}} \sqrt {n-1}.$

इसी तरह,

‖ S 1 ‖ = 1 = \sqrt{var(S 1)} \sqrt{n - 1} .

$\Vert\text{S}1\Vert=1=\sqrt{\small \text{var(S}1)}\sqrt {n-1}.$

वापस ईक पर जा रहे हैं। , $(1)$

a_{1} = h \times 1 \times \cdot \cos (ϕ) = \sqrt{var (V)} \sqrt{var (S 1)} \cos (θ) (n - 1)

$a_1=h\times 1\times \cdot\cos(\phi)=\sqrt{\small{\text{var}(V)}}\,\sqrt{\small{\text{var}(\text{S}1)}}\, \cos(\theta) \;(n-1)$

$\cos(\phi)$ , इसलिए, माना जा सकता है एक पियर्सन की सहसंबंध गुणांक , , चेतावनी है कि मैं की शिकन समझ में नहीं आता के साथ कारक। $r$ $n-1$

नीले रंग के लाल तीर में डुप्लिकेट और अतिव्यापी biplot()

par(mfrow = c(1,2)); par(mar=c(1.2,1.2,1.2,1.2))

biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) # R biplot
# R biplot with overlapping (reproduced) arrows in blue completely covering red arrows:
biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) 
arrows(0, 0,
       cor(X[,1], scr[,1]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       cor(X[,1], scr[,2]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
arrows(0, 0,
       cor(X[,2], scr[,1]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       cor(X[,2], scr[,2]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
arrows(0, 0,
       cor(X[,3], scr[,1]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       cor(X[,3], scr[,2]) * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)

रूचि के बिंदु:

तीर को पहले दो प्रमुख घटकों द्वारा उत्पन्न अंकों के साथ मूल चर के सहसंबंध के रूप में पुन: पेश किया जा सकता है।
वैकल्पिक रूप से, इसे दूसरी पंक्ति में पहले प्लॉट की तरह हासिल किया जा सकता है, @ अमीबा के पद में लेबल किया गया है : $\mathbf{ V*S}$

या आर कोड में:

    biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) # R biplot
    # R biplot with overlapping arrows in blue completely covering red arrows:
    biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) 
    arrows(0, 0,
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[1,1] * 0.8, 
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[1,2] * 0.8, 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
    arrows(0, 0,
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[2,1] * 0.8, 
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[2,2] * 0.8, 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
    arrows(0, 0,
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[3,1] * 0.8, 
       (svd(CEN)$v %*% diag(svd(CEN)$d))[3,2] * 0.8, 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)

या अभी तक ...

    biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) # R biplot
    # R biplot with overlapping (reproduced) arrows in blue completely covering red arrows:
    biplot(PCA, cex = 0.6, cex.axis = .6, ann = F, tck=-0.01) 
    arrows(0, 0,
       (loaded)[1,1] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       (loaded)[1,2] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
    arrows(0, 0,
       (loaded)[2,1] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       (loaded)[2,2] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)
    arrows(0, 0,
       (loaded)[3,1] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       (loaded)[3,2] * 0.8 * sqrt(nrow(X) - 1), 
       lwd = 1, angle = 30, length = 0.1, col = 4)

@ttnphns , या इस अन्य जानकारीपूर्ण पोस्ट द्वारा @ttnphns द्वारा लोडिंग के ज्यामितीय स्पष्टीकरण के साथ जुड़ना ।

एक स्केलिंग कारक है: sqrt(nrow(X) - 1)जो थोड़ा रहस्य बना हुआ है।
$0.8$ लेबल के लिए जगह बनाने के साथ क्या करना है - इस टिप्पणी को यहां देखें :

इसके अलावा, किसी को यह कहना चाहिए कि तीर को ऐसे प्लॉट किए गए हैं कि टेक्स्ट लेबल का केंद्र वह जगह है जहां यह होना चाहिए! तीर को फिर से साजिश रचने से पहले 0.80.8 से गुणा किया जाता है, यानी सभी तीर पाठ लेबल के साथ ओवरलैपिंग को रोकने के लिए संभवतया छोटे होते हैं, (biplot.default के लिए कोड देखें)। मुझे लगता है कि यह बहुत भ्रामक है। - अमीबा 19 मार्च को 10:06 बजे

2. प्लॉट `biplot()`स्कोर (और तीर एक साथ):

कुल्हाड़ियों को इकाई के वर्ग योग में बढ़ाया जाता है , जो @ अमीबा के पद पर पहली पंक्ति के पहले भूखंड के समान होता है , जिसे svd अपघटन के मैट्रिक्स (बाद में) पर पुन: प्लॉट किया जा सकता है - " Columns of : ये मुख्य घटक हैं जो इकाई राशि के वर्ग में स्केल किए जाते हैं। " $\mathbf U$ $\mathbf U$

बिप्लॉट निर्माण में नीचे और ऊपर क्षैतिज कुल्हाड़ियों पर खेलने के दो अलग-अलग पैमाने हैं:

हालांकि सापेक्ष पैमाने तुरंत स्पष्ट नहीं है, कार्यों और विधियों में देरी की आवश्यकता है:

biplot()एसवीडी में कॉलम के रूप में प्लॉट स्कोर , जो ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर हैं: $\mathbf U$

> scr.svd = svd(CEN)$u %*% diag(svd(CEN)$d) 
> U = svd(CEN)$u
> apply(U, 2, function(x) sum(x^2))
[1] 1 1 1

जबकि prcomp()R में फ़ंक्शन उनके आइगेनवैल्यूज़ को प्राप्त स्कोर को लौटाता है:

> apply(scr, 2, function(x) var(x))         # pr.comp() scores scaled to evals
       PC1        PC2        PC3 
2.02142986 0.90743458 0.07113557 
> evals                                     #... here is the proof:
[1] 2.02142986 0.90743458 0.07113557

इसलिए हम eigenvalues द्वारा विभाजित करके से भिन्नता को माप सकते हैं: $1$

> scr_var_one = scr/sqrt(evals)[col(scr)]  # to scale to var = 1
> apply(scr_var_one, 2, function(x) var(x)) # proved!
[1] 1 1 1

लेकिन चूंकि हम चाहते हैं कि वर्गों का योग , इसलिए हमें से विभाजित करना होगा क्योंकि: $1$ $\sqrt{n-1}$

var (scr_var_one) = 1 = \frac{\sum_{1}^{n} scr_var_one}{n - 1}

$\small \text{var}(\text{scr_var_one})= 1 =\frac{\sum_1^n \text{scr_var_one}}{n -1}$

> scr_sum_sqrs_one = scr_var_one / sqrt(nrow(scr) - 1) # We / by sqrt n - 1.
> apply(scr_sum_sqrs_one, 2, function(x) sum(x^2))     #... proving it...
PC1 PC2 PC3 
  1   1   1

ध्यान दें कि स्केलिंग फैक्टर , बाद में बदलकर पर कर दिया जाता है, जब स्पष्टीकरण को परिभाषित करना इस तथ्य में झूठ लगता है कि $\sqrt{n-1}$ $\sqrt{n}$ lan

prcomp का उपयोग करता है : "प्रिंट के विपरीत, variances की गणना सामान्य भाजक साथ की जाती है "। $n-1$ $n - 1$

उन्हें सभी ifबयानों और अन्य घर biplot()वापसी के फुलाने के बाद, निम्नानुसार आगे बढ़ता है:

X   = as.matrix(iris[,1:3])                    # The original dataset
CEN = scale(X, center = T, scale = T)          # Centered and scaled
PCA = prcomp(CEN)                              # PCA analysis

par(mfrow = c(1,2))                            # Splitting the plot in 2.
biplot(PCA)                                    # In-built biplot() R func.

# Following getAnywhere(biplot.prcomp):

choices = 1:2                                  # Selecting first two PC's
scale = 1                                      # Default
scores= PCA$x                                  # The scores
lam = PCA$sdev[choices]                        # Sqrt e-vals (lambda) 2 PC's
n = nrow(scores)                               # no. rows scores
lam = lam * sqrt(n)                            # See below.

# at this point the following is called...
# biplot.default(t(t(scores[,choices])      /  lam), 
#                t(t(x$rotation[,choices]) *   lam))

# Following from now on getAnywhere(biplot.default):

x = t(t(scores[,choices])       / lam)         # scaled scores
# "Scores that you get out of prcomp are scaled to have variance equal to      
#  the eigenvalue. So dividing by the sq root of the eigenvalue (lam in 
#  biplot) will scale them to unit variance. But if you want unit sum of 
#  squares, instead of unit variance, you need to scale by sqrt(n)" (see comments).
# > colSums(x^2)
# PC1       PC2 
# 0.9933333 0.9933333    # It turns out that the it's scaled to sqrt(n/(n-1)), 
# ...rather than 1 (?) - 0.9933333=149/150

y = t(t(PCA$rotation[,choices]) * lam)         # scaled eigenvecs (loadings)


n = nrow(x)                                    # Same as dataset (150)
p = nrow(y)                                    # Three var -> 3 rows

# Names for the plotting:

xlabs = 1L:n
xlabs = as.character(xlabs)                    # no. from 1 to 150 
dimnames(x) = list(xlabs, dimnames(x)[[2L]])   # no's and PC1 / PC2

ylabs = dimnames(y)[[1L]]                      # Iris species
ylabs = as.character(ylabs)
dimnames(y) <- list(ylabs, dimnames(y)[[2L]])  # Species and PC1/PC2

# Function to get the range:
unsigned.range = function(x) c(-abs(min(x, na.rm = TRUE)), 
                                abs(max(x, na.rm = TRUE)))
rangx1 = unsigned.range(x[, 1L])               # Range first col x
# -0.1418269  0.1731236
rangx2 = unsigned.range(x[, 2L])               # Range second col x
# -0.2330564  0.2255037
rangy1 = unsigned.range(y[, 1L])               # Range 1st scaled evec
# -6.288626   11.986589
rangy2 = unsigned.range(y[, 2L])               # Range 2nd scaled evec
# -10.4776155   0.8761695

(xlim = ylim = rangx1 = rangx2 = range(rangx1, rangx2))
# range(rangx1, rangx2) = -0.2330564  0.2255037

# And the critical value is the maximum of the ratios of ranges of 
# scaled e-vectors / scaled scores:

(ratio = max(rangy1/rangx1, rangy2/rangx2)) 
# rangy1/rangx1   =   26.98328    53.15472
# rangy2/rangx2   =   44.957418   3.885388
# ratio           =   53.15472

par(pty = "s")                                 # Calling a square plot

# Plotting a box with x and y limits -0.2330564  0.2255037
# for the scaled scores:

plot(x, type = "n", xlim = xlim, ylim = ylim)  # No points
# Filling in the points as no's and the PC1 and PC2 labels:
text(x, xlabs) 
par(new = TRUE)                                # Avoids plotting what follows separately

# Setting now x and y limits for the arrows:

(xlim = xlim * ratio)  # We multiply the original limits x ratio
# -16.13617  15.61324
(ylim = ylim * ratio)  # ... for both the x and y axis
# -16.13617  15.61324

# The following doesn't change the plot intially...
plot(y, axes = FALSE, type = "n", 
     xlim = xlim, 
     ylim = ylim, xlab = "", ylab = "")

# ... but it does now by plotting the ticks and new limits...
# ... along the top margin (3) and the right margin (4)
axis(3); axis(4)
text(y, labels = ylabs, col = 2)  # This just prints the species

arrow.len = 0.1                   # Length of the arrows about to plot.

# The scaled e-vecs are further reduced to 80% of their value
arrows(0, 0, y[, 1L] * 0.8, y[, 2L] * 0.8, 
       length = arrow.len, col = 2)

जैसा कि अपेक्षित था, biplot()आउटपुट (नीचे दी गई छवि), जैसा कि biplot(PCA)इसके सभी अछूते सौंदर्य संबंधी कमियों में सीधे (बाएं प्लॉट से नीचे) आउटपुट कहा जाता है :

रूचि के बिंदु:

तीर दो प्रमुख घटकों और उनके संबंधित स्केल किए गए अंकों ( ratio) में से हर एक के स्केल किए गए आइजन्वेक्टर के बीच अधिकतम अनुपात से संबंधित पैमाने पर प्लॉट किए जाते हैं । AS @amoeba टिप्पणी:

स्कैटर प्लॉट और "एरो प्लॉट" को ऐसे स्केल किया जाता है कि सबसे बड़ा (निरपेक्ष मान में) x या y एरो कोआर्डिनेशन एरो के बराबर होता है (बिखरे हुए डेटा पॉइंट्स का x या y कोऑर्डिनेशन)

जैसा कि ऊपर अनुमान है, अंक सीधे SVD के मैट्रिक्स में स्कोर के रूप में दिए जा सकते हैं : $\mathbf U$

— एंटोनी परेलाडा
स्रोत

+1, अच्छा अध्ययन। मैंने Rआपके प्रश्न में टैग जोड़ा क्योंकि भ्रमित करने वाला मामला (अर्थात्, स्केलिंग गुणांक) आंशिक रूप से आर-विशिष्ट साबित हुआ। सामान्य तौर पर, आप अपने आप को देख पा रहे थे कि पीसीए बाइप्लॉट घटक स्कोर (पंक्ति निर्देशांक) और घटक दिशा गुणांक (स्तंभ निर्देशांक) का एक ओवरले स्कैल्पलोट है, और चूंकि "जड़ता" (भिन्नता) द्वारा विभिन्न मात्राओं वाले मानक को प्रत्येक पर लागू किया जा सकता है। बहुत अधिक है, इसलिए द्विपद के विभिन्न रूप उत्पन्न हो सकते हैं। जोड़ने के लिए: आमतौर पर (अधिक अर्थ), लोडिंग को कॉलम निर्देशांक (तीर) के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

— ttnphns

(प्रतियोगिता।) बिप्लॉट का मेरा अवलोकन देखें , जो बताते हैं, अलग-अलग शब्दों में, आपने अपने अच्छे उत्तर में क्या दिखाया है।

— ttnphns

+ 1 ट्यूटोरियल लिखने और हमारे लिए प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य कोड के लिए धन्यवाद!

— हायतौ डू

एंटनी, क्या आपने ड्रा किया (जैसे हाथ से) या क्या आपने अपनी तस्वीर में प्लॉट (डेटा में फीड) किया था? आपने किस सॉफ्टवेयर का उपयोग किया? यह अच्छा लगता है।

— ttnphns

@ttnphns धन्यवाद! इसका लिंक यहां दिया गया है । मैं सोच रहा था कि क्या आप इस पर सुधार कर सकते हैं, और लोडिंग और पीसी को एक बेहतर, अधिक उपचारात्मक तरीके से साजिश कर सकते हैं। बदलने के लिए स्वतंत्र महसूस करें (यह एक शानदार उपयोगकर्ता के अनुकूल कार्यक्रम है), और यदि आप करते हैं, तो कृपया साझा करें।

— एंटोनी परेला

पीसीए में पीसीए द्विध्रुवीय में अंतर्निहित चर के तीर

1. लोडिंग प्लॉट (तीर) को पुन: प्रस्तुत करना:

2. प्लॉट biplot()स्कोर (और तीर एक साथ):

2. प्लॉट `biplot()`स्कोर (और तीर एक साथ):