एक ही n, k के सभी संभावित मूल्यों के साथ संयोजन के योग को सरल बनाएं

क्या इस समीकरण को सरल बनाने का कोई तरीका है?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

या अधिक आम तौर पर,

Σ_{क = 1}^{n} (\binom{n}{क})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— IDR
स्रोत

एक आइसक्रीम स्टोर अनफ़्लोर्ड आइसक्रीम का निर्माण करता है और फिर स्टोर में बिक्री के लिए उपलब्ध विभिन्न आइस-क्रीम बनाने के लिए एक या एक से अधिक 5 स्वाद सांद्रता (वेनिला, चॉकलेट, ठगना, पुदीना, जैमोका) में मिलाता है। तो विभिन्न स्वादों की संख्या

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ । हाथ से स्वादों की संख्या की गणना करने का प्रयास करें। अतिरिक्त क्रेडिट के लिए, स्टोर की पहचान करें।

— दिलीप सरवटे

जवाबों:

देख

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

जो कहते हैं

Σ_{क = 0}^{n} (\binom{n}{क}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

आप इसे द्विपद प्रमेय का उपयोग करके साबित कर सकते हैं जहां $x=y=1$ ।

अब, किसी भी लिए के बाद से, यह इस प्रकार है $\binom{n}{0} = 1$ $n$

Σ_{क = 1}^{n} (\binom{n}{क}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

आपके मामले में , इसलिए उत्तर । $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— मैक्रो
स्रोत

धन्यवाद। मैं एक प्रतिगमन के लिए इनपुट सुविधाओं के सभी संभावित सेटों का पता लगाने की कोशिश कर रहा था, इसलिए मेरा दिमाग आंकड़ों के साथ शुरू होता है, लेकिन मुझे लगता है कि यह सवाल प्रति आँकड़े नहीं है।

— इदर

कोई दिक्कत नहीं है। कृपया upvoting और / या उन उत्तरों को स्वीकार करने पर विचार करें जिन्हें आपने मददगार पाया है :)

— मैक्रो

बेशक। इसके अलावा, मेरा मानना है कि आपके i का k होना चाहिए।

— इदर

तुम सही हो - तय।

— मैक्रो

इसे देखने का एक आसान तरीका है: आप प्रत्येक तत्व (1), या नहीं (0) लेंगे। तो आप n बाइट्स के साथ सभी बाइनरी नंबर का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं: 2 ^ n। और यह सब एक आइटम को हटाने के साथ सभी संयोजन के लिए है, और 2 आइटम के साथ सभी संयोजनों को हटा दिया, और इतने पर .. = सी (के / एन) का योग।

— स्निकोलस

घर का पाठ?

संकेत:

द्विपद प्रमेय याद रखें:

(एक्स + y)^{n} = Σ_{क = 0}^{n} (\binom{n}{क}) {एक्स}^{क} y^{n - क}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

अब, यदि आप केवल x और y ज्ञात कर सकते हैं ताकि स्थिर रहे ... $x^ky^{n-k}$

— एरिक
स्रोत