यदि स्थिर है, तो आवश्यक रूप से स्थिर है?

मुझे ARCH मॉडल के गुणों में से एक के लिए एक सबूत मिला है जो कहता है कि अगर , तो स्थिर iff जहां ARCH मॉडल है: $\mathbb{E}(X_t^2) < \infty$ $\{X_t\}$ $\sum_{i=1}^pb_i < 1$

$X_t = \sigma_t\epsilon_t$

$\sigma_t^2 = b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2$

साबित करने का मुख्य विचार यह है कि को AR (p) प्रक्रिया के रूप में लिखा जा सकता है और अगर सत्य है, तो इकाई के बाहर विशेषता बहुपद झूठ की सभी जड़ें हैं। सर्कल और इसलिए स्थिर है। यह तब कहता है कि इसलिए स्थिर है। यह कैसे अनुसरण करता है? $X_t^2$ $\sum_{i=1}^pb_i < 1$ $\{X_t^2\}$ $\{X_t\}$

mathematical-statistics stationarity garch

— छात्र
स्रोत

सामान्य तौर पर, नहीं। आप एक प्रक्रिया की कल्पना कर सकते हैं जहां स्थिर है, लेकिन कुछ अंतराल पर लेकिन कुछ अन्य समय अंतराल पर। शायद दूर, लेकिन एक गणितीय संभावना।

X_{t}

$X_t$

X_{t} = \sqrt{X_{t}^{2}}

$X_t = \sqrt{X_t^2}$

X_{t} = - \sqrt{X_{t}^{2}}

$X_t=-\sqrt{X_t^2}$

— kjetil b halvorsen

दिए गए अनुभाग से मैं समझता हूं कि आप की उस को कैसे देख सकते हैं, मतलब है कि की लेकिन वास्तव में यह केवल निरंतर का । $X^2_t$ $X_t$ $X_t$

उस प्रमाण के लेखक का उपयोग कर रहे थे कि एक तर्क को पूरा करने के लिए जो उन्होंने पहले शुरू किए थे बिना शर्त क्षणों को $X^2_t$ $X_t$

आदेश स्थिर स्थिति को याद करें : $2^{nd}$

$E(X_t)<\infty$ $\forall_{t\in Z}$
$Var(X_t) = m$ $\forall_{t\in Z}$
$Cov(X_t,X_{t+h})= \gamma_x(h)$ $\forall_{h\in Z}$

शर्त 1 को द्वारा सिद्ध किया गया था। $E(X_t)=E(E(X_t|F_{t-1}))=0$

शर्त 3 द्वारा सिद्ध की गई थी $E(X_tX_{t-1})=E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})=E(E(\sigma_t\epsilon_t\sigma_{t-1}\epsilon_{t-1})|F_{t-1})=E(\sigma_{t}\sigma_{t-1}E(\epsilon_{t-1}\epsilon_{t})|F_{t-1}))=0$

लेकिन दूसरी स्थिति को साबित करने के लिए उन्हें निरंतर बिना शर्त को साबित करने की आवश्यकता थी $X_t$

$Var(X_{t})=Var(X_{t-1})=Var(X_{t-2})=...=m$

यह वही है जो की धारणा की ओर ले जाता है, जिसका आपने उल्लेख किया है कि इसका फ़ॉर्म का उपयोग किया गया है । संक्षेप में: यदि X ^ 2_t स्थिर है, तो बहुपद की जड़ें इकाई चक्र से बाहर लेट जाएँगी और यह संभव बनाता है लिखने के लिए: $X^2_{t}$ $AR(p)$

\begin{aligned} V a r (X_{t}) = & E (V a r (X_{t}) | F_{t - 1}) + V a r (E (X_{t} | F_{t - 1})) \\ = & E (V a r (u_{t} | F_{t - 1})) b e c a u s e t h e l a s t t e r m i s 0 \\ = & E (b_{0} + b_{1} X_{t - 1}^{2} + . . . b_{p} X_{t - p}^{2}) \\ = & b_{0} + b_{1} E (X_{t - 1}^{2}) + . . . b_{p} E (X_{t - p}^{2}) \\ = & b_{0} + b_{1} v a r (X_{t - 1}) + . . . b_{p} v a r (X_{t - p}) \end{aligned}

$\begin{align*} Var(X_{t})=&E(Var(X_{t})|F_{t-1}) + Var(E(X_t|F_{t-1}))\\ =&E(Var(u_t|F_{t-1}))\quad because\: the\: last\: term\: is\: 0\\ =&E(b_0 + b_1X_{t-1}^2 + ... b_pX_{t-p}^2)\\ =& b_0 + b_1E(X_{t-1}^2) + ... b_pE(X_{t-p}^2)\\ =&b_0 + b_1var(X_{t-1}) + ... b_pvar(X_{t-p}) \end{align*}$ $\Sigma b_i<1$

v a r (X_{t - 1}) = . . . = v a r (X_{t - p}) = \frac{b_{0}}{1 - b_{1} - . . . - b_{p}} w h i c h i s a l a s c o n s t a n t!

$var(X_{t-1})=... = var(X_{t-p})= \frac{b_0}{1-b_1-...-b_p} \quad which\quad is \quad alas\quad constant!$

— machazthegamer
स्रोत

संदर्भ दस्तावेज लिंक है

— machazthegamer