मानक विचलन बनाने के लिए हम विचरण का वर्गमूल क्यों लेते हैं?

Question

क्षमा करें यदि यह कहीं और उत्तर दिया गया है, तो मैं इसे नहीं पा सका हूं।

मैं सोच रहा हूं कि मानक विचलन बनाने के लिए हम विशेष रूप से, वर्गमूल को क्यों लेते हैं ? यह वर्गमूल लेने के बारे में क्या है जो एक उपयोगी मूल्य पैदा करता है?

Comments

निकटता से संबंधित: आंकड़े.stackexchange.com/questions/35123/…

— कहना है कि मोनिका

यूक्लिडियन वेक्टर मानक के रूप में मानक विचलन के बारे में सोचें और फिर वर्ग के रूप में विचरण करें। विचरण और मानक विचलन की यह परिभाषा उपयोगी विश्लेषणात्मक गुण है।

— theideasmith

Answer 1

कुछ अर्थों में यह एक तुच्छ प्रश्न है, लेकिन दूसरे में, यह वास्तव में काफी गहरा है!

• दूसरों के रूप में उल्लेख किया है, वर्गमूल लेने का अर्थ है के रूप में ही इकाइयां हैं ।$\operatorname{Stdev}(X)$$X$

• वर्गमूल लेने से आपको पूर्ण समरूपता उर्फ पूर्ण मापनीयता मिलती है । किसी भी स्केलर और यादृच्छिक चर , हमारे पास: निरपेक्ष एकरूपता एक है आवश्यक संपत्ति एक के आदर्श । मानक विचलन को एक मानक के रूप में व्याख्या किया जा सकता है (मतलब शून्य यादृच्छिक चर के वेक्टर स्थान पर) एक समान तरीके से कि एक त्रि-आयामी में मानक यूक्लिडियन मानदंड है अंतरिक्ष। मानक विचलन एक यादृच्छिक चर और इसके माध्य के बीच की दूरी का एक माप है।$\alpha$$X$

  $$\operatorname{Stdev}[\alpha X] = |\alpha| \operatorname{Stdev}[X]$$ $\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$

मानक विचलन और मानदंड$L_2$

परिमित आयाम मामला:

एक में आयामी वेक्टर अंतरिक्ष, उर्फ मानक Euclidian आदर्श आदर्श के रूप में परिभाषित किया गया है:$n$$L_2$

$$\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_i x_i^2}$$

अधिक मोटे तौर पर, -norm निरपेक्ष पाने के लिए मूल को लेता है। समरूपता: ।$p$ $\|\mathbf{x}\|_p = \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{\frac{1}{p}}$$p$$\|\alpha \mathbf{x}\|_p = \left( \sum_i |\alpha x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = | \alpha | \left( \sum_i |x_i|^p \right)^\frac{1}{p} = |\alpha | \|\mathbf{x}\|_p$

यदि आपके पास वज़न तो भारित योग भी एक मान्य मानदंड है। इसके अलावा, यह मानक विचलन है यदि संभावनाओं और$q_i$$\sqrt{\sum_i x_i^2 q_i}$$q_i$$\operatorname{E}[\mathbf{x}] \equiv \sum_i x_i q_i = 0$

अनंत आयाम मामला:

अनंत आयामी हिल्बर्ट स्पेस में हम इसी तरह मानक को परिभाषित कर सकते हैं :$L_2$

$$\|X\|_2 = \sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$$

यदि माध्य शून्य यादृच्छिक चर है और प्रायिकता माप है, तो मानक विचलन क्या है? यह समान है: ।$X$$P$$\sqrt{\int_\omega X(\omega)^2 dP(\omega) }$

सारांश:

वर्गमूल लेने का मतलब है कि मानक विचलन पूर्ण समरूपता को संतुष्ट करता है , एक मानक की आवश्यक संपत्ति ।

यादृच्छिक चर का एक अंतरिक्ष पर, एक है आंतरिक उत्पाद और आदर्श उस आंतरिक उत्पाद से प्रेरित है । इस प्रकार मानक विचलन एक डिमैन्ड रैंडम वैरिएबल का मानक है: यह माध्य से दूरी का एक माप है। से ।$\langle X, Y \rangle = \operatorname{E}[XY]$‖ एक्स ‖ 2 = √$\|X\|_2 = \sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$ stdev[एक्स]=‖एक्स-ई[एक्स]‖2ई[एक्स]एक्स

$$\operatorname{Stdev}[X] = \|X - \operatorname{E}[X]\|_2$$ $\operatorname{E}[X]$$X$

(तकनीकी बिंदु: जबकि एक आदर्श है, मानक विचलन सामान्य रूप से यादृच्छिक चर पर एक मानदंड नहीं है क्योंकि एक मानक वेक्टर स्थान के लिए एक आवश्यकता है अगर और केवल अगर । एक मानक विचलन 0 doesn '। टी का मतलब यादृच्छिक चर शून्य तत्व है।)$\sqrt{\operatorname{E}[X^2]}$$\sqrt{\operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]}$$\|x\| = \mathbf{0}$$x = \mathbf{0}$

Comments

यह उत्तर वास्तव में इस मुद्दे के दिल में मिलता है, जिससे यह वर्तमान में स्वीकृत एक से अधिक जानकारीपूर्ण है।

— 00prometheus

Answer 2

वेरिएंस को रूप में परिभाषित किया गया है , इसलिए यह एक्स और इसके अपेक्षित मूल्य के बीच एक अंतर वर्ग की उम्मीद है।$X$$V(X) = E(X-E(X))^2$

यदि सेकंड में समय है, सेकंड में है, लेकिन में है और सेकंड में पुन: है।$X$$X-E(X)$$V(X)$$\mbox{seconds}^2$$\sqrt{V(X)}$

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आह, मैं देख रहा हूं, यह केवल उस पैमाने में बदलाव को पूर्ववत कर रहा है जो भिन्नता के कारण, भिन्नता की गणना में है?

— डेव

सही - लेकिन आयाम में परिवर्तन , पैमाने में नहीं।

— जीन-फ्रांकोइस कॉर्बेट

लेकिन ऐसा नहीं है कि वहाँ एक ही शब्द है: वहाँ कई हैं और जब सत्ता में 2, अन्य शर्तों की तुलना में अधिक या कम लाता है। लेकिन जब हम वर्गमूल लेते हैं, तो हम उस अंतर की उपेक्षा करते हैं, है न? हमें शुरुआती अंश नहीं मिलेगा, इस तरह से सभी अंतरों का योग। क्या प्रत्येक व्यक्तिगत शब्द का वर्गमूल लेना बेहतर नहीं होगा?

— पारसीक

$\hat{V}$$\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n x_i = 0$

$\sqrt{a^2} = \lvert a \rvert$$a$

Answer 3

इसका सरल उत्तर यह है कि इकाइयाँ माध्य के समान ही होती हैं। उदाहरण: मेरा अनुमान है कि माध्यमिक छात्र के लिए 20 सेमी के मानक विचलन (एसडी) के साथ 160 सेमी होना चाहिए। यह है intuitively साथ 400cm ^ 2 के विचरण से एसडी भिन्नता के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए आसान।

Answer 4

अधिक सरल शब्दों में, मानक विचलन हमें एक सकारात्मक संख्या देने के लिए डिज़ाइन किया गया है जो हमारे डेटा के प्रसार के बारे में कुछ कहता है।

यदि हम माध्य से सभी बिंदुओं की दूरी को जोड़ना चाहते हैं, तो सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं में बिंदु इस तरह से संयोजित होंगे, जो वापस माध्य की ओर प्रवृत्त होंगे और हम प्रसार के बारे में जानकारी खो देंगे। यही कारण है कि हम पहले विचरण को मापते हैं, ताकि सभी दूरियों को सकारात्मक मात्रा के रूप में संरक्षित किया जा सके और वे एक दूसरे को रद्द न कर सकें। अंत में हम एक सकारात्मक मूल्य चाहते हैं जो हमारे द्वारा शुरू की गई इकाइयों का प्रतिनिधित्व करता है - यह पहले से ही ऊपर टिप्पणी की गई है - इसलिए हम सकारात्मक वर्गमूल लेते हैं।

Answer 5

यह एक ऐतिहासिक मूर्खता है जिसे हम बौद्धिक आलस्य के कारण जारी रखते हैं। माइनस साइन से छुटकारा पाने के लिए उन्होंने अंतर से वर्ग को चुना। फिर उन्होंने वर्गमूल को लिया ताकि इसे माध्य के समान पैमाने पर लाया जा सके।

किसी को नए आंकड़े उत्पन्न करने चाहिए, मापांक और एसडी को मापांक या माध्य से पूर्ण विचलन के पूर्ण मानों का उपयोग करना चाहिए। इससे इस पूरे वर्ग से छुटकारा मिल जाएगा और फिर वर्गमूल का व्यवसाय हो जाएगा।

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हमारे पास पहले से ही, मतलब (या मंझला) निरपेक्ष विचलन, एल 1 मानदंडों, और इस तरह के रूप में है। हालांकि, पारंपरिक दृष्टिकोण का प्रमुख लाभ यह है कि है, शुद्ध मान के विपरीत, यह जो आप विश्लेषणात्मक को कम करने और अधिकतम बातें करने की अनुमति देता विभेदक है,।

— मैट क्राउज

आप अपने रुख के लिए पर्याप्त औचित्य प्रदान करने में विफल रहते हैं, कृपया स्पष्ट रूप से निर्धारित गणितीय तर्क प्रदान करें। पूर्ण मानों का योग वर्गों के योग के वर्गमूल में बहुत भिन्नता है। उत्तरार्द्ध चरम मूल्यों के योगदान पर जोर देता है, जो एक उपयोगी संपत्ति है। इसके अलावा, SSQ कम से कम वर्ग विश्लेषणात्मक तरीकों के लिए केंद्रीय है। कृपया एसडी की समस्याओं के विस्तार के लिए समय निकालें और विकल्प की तुलना कैसे करें ताकि पाठक आपकी बात समझ सकें। ।

— रेनेबट

(-1) "ऐतिहासिक मूर्खता" और "बौद्धिक आलस्य" जैसे वाक्यांशों को स्वयं-संदर्भ के रूप में पढ़ना बहुत आसान है।

— whuber