भारित माध्य अनुमान में मानक त्रुटि की गणना करना

मान लें कि और कुछ वितरणों से खींचे गए iid हैं , जिनमें स्वतंत्र । सख्ती से सकारात्मक रहे हैं। आप सभी निरीक्षण करते हैं , लेकिन नहीं ; बल्कि आप निरीक्षण करते हैं । मुझे इस जानकारी से का अनुमान लगाने में दिलचस्पी है । स्पष्ट रूप से आकलनकर्ता निष्पक्ष है, और गणना की जा सकती है हाथ में जानकारी दी। $w_1,w_2,\ldots,w_n$ $x_1,x_2,...,x_n$ $w_i$ $x_i$ $w_i$ $w_i$ $x_i$ $\sum_i x_i w_i$ $\operatorname{E}\left[x\right]$

\bar{x} = \frac{\sum_{i} w_{i} x_{i}}{\sum_{i} w_{i}}

$\bar{x} = \frac{\sum_i w_i x_i}{\sum_i w_i}$

मैं इस अनुमानक की मानक त्रुटि की गणना कैसे कर सकता हूं? उप-मामले के लिए जहां केवल मान 0 और 1 लेता है, मैंने भोलेपन मूल रूप से में परिवर्तनशीलता की अनदेखी कर रहा है , लेकिन यह पाया कि यह लगभग 250 से छोटे नमूना आकार के लिए खराब प्रदर्शन किया। (और यह संभवतः के विचरण पर निर्भर करता है ।) ऐसा लगता है कि शायद मेरे पास पर्याप्त जानकारी नहीं है। एक 'बेहतर' मानक त्रुटि की गणना करें। $x_i$

s e \approx \frac{\sqrt{\bar{x} (1 - \bar{x}) \sum_{i} w_{i}^{2}}}{\sum_{i} w_{i}},

$se \approx \frac{\sqrt{\bar{x}(1-\bar{x})\sum_i w_i^2}}{\sum_i w_i},$

w_{i}

$w_i$

w_{i}

$w_i$

standard-error weighted-mean

— shabbychef
स्रोत

जवाबों:

मैं हाल ही में इसी मुद्दे पर भाग गया। निम्नलिखित है जो मैंने पाया:

समान भार के साथ एक साधारण यादृच्छिक नमूने के विपरीत, भारित माध्य की मानक त्रुटि की व्यापक रूप से स्वीकृत परिभाषा नहीं है। इन दिनों, बूटस्ट्रैप करना और माध्य का अनुभवजन्य वितरण प्राप्त करना सीधे-सीधे होगा, और उस आधार पर मानक त्रुटि का अनुमान लगाया जाएगा।

क्या होगा अगर कोई इस अनुमान को करने के लिए एक सूत्र का उपयोग करना चाहता है?

डोनाल्ड एफ। Gatz और लूथर स्मिथ द्वारा इस पत्र का मुख्य संदर्भ है , जहां बूटस्ट्रैप परिणामों के साथ 3 सूत्र आधारित अनुमानकर्ताओं की तुलना की जाती है। बूटस्ट्रैप परिणाम के लिए सबसे अच्छा अनुमान कॉचरन (1977) से आता है:

$(SEM_w)^2={\dfrac{n}{(n-1)(\sum {P_i})^2}}[\sum (P_i X_i-\bar{P}\bar{X}_w)^2-2 \bar{X}_w \sum (P_i-\bar{P})(P_i X_i-\bar{P}\bar{X}_w)+\bar{X}^2_w \sum (P_i-\bar{P})^2]$

निम्नलिखित इसी R कोड है जो इस R सूची थ्रेड से आया है ।

weighted.var.se <- function(x, w, na.rm=FALSE)
#  Computes the variance of a weighted mean following Cochran 1977 definition
{
  if (na.rm) { w <- w[i <- !is.na(x)]; x <- x[i] }
  n = length(w)
  xWbar = weighted.mean(x,w,na.rm=na.rm)
  wbar = mean(w)
  out = n/((n-1)*sum(w)^2)*(sum((w*x-wbar*xWbar)^2)-2*xWbar*sum((w-wbar)*(w*x-wbar*xWbar))+xWbar^2*sum((w-wbar)^2))
  return(out)
}

उम्मीद है की यह मदद करेगा!

— मिंग के
स्रोत

यह बहुत अच्छा है, लेकिन अपनी समस्या के लिए मैं

निरीक्षण नहीं करता, बल्कि मैं

का योग देखता

। मेरा प्रश्न बहुत अजीब है क्योंकि इसमें कुछ जानकारी विषमता शामिल है (एक तीसरा पक्ष राशि की रिपोर्ट कर रहा है, और शायद कुछ जानकारी छिपाने की कोशिश कर रहा है)।

P_{i} X_{i}

$P_iX_i$

\sum_{i} P_{i} X_{i}

$\sum_i P_iX_i$

— shabbychef

गोश, आप सही कह रहे हैं, क्षमा करें, मैंने आपके द्वारा प्रस्तुत प्रश्न को पूरी तरह से नहीं समझा। हम सबसे सामान्य स्थिति है, जहां सभी के लिए अपनी समस्या नीचे उबाल मान लीजिए

Bernoulli आर.वी. कर रहे हैं। तब आप अनिवार्य रूप से

RVs के यादृच्छिक उपसमूह का योग देख रहे हैं । मेरा अनुमान है कि अनुमान लगाने के लिए यहां बहुत सारी जानकारी नहीं है। तो आपने अपनी मूल समस्या के लिए क्या किया?

w_{i}

$w_i$

n

$n$

— मिंग के

@ मिंग-चिहकाओ यह कोचरन सूत्र दिलचस्प है, लेकिन जब आप इस पर एक विश्वास अंतराल का निर्माण करते हैं, जब डेटा सामान्य नहीं होता है तो कोई सुसंगत व्याख्या सही नहीं है? आप गैर-सामान्य भारित औसत औसत आत्मविश्वास अंतराल को कैसे संभालेंगे? भारित मात्राएँ?

— user3022875

मुझे लगता है कि फ़ंक्शन के साथ कोई त्रुटि है। यदि आप स्थानापन्न हैं w=rep(1, length(x)), तो weighted.var.se(rnorm(50), rep(1, 50))के बारे में है 0.014। मुझे लगता है कि सूत्र sum(w^2)अंश में याद आ रहा है , जब से P=1, विचरण है 1/(n*(n-1)) * sum((x-xbar)^2)। मैं उद्धृत लेख की जांच नहीं कर सकता क्योंकि यह एक भुगतान के पीछे है, लेकिन मुझे लगता है कि सुधार। अजीब तरह से, विकिपीडिया का (अलग) समाधान पतित हो जाता है जब सभी भार समान होते हैं: en.wikipedia.org/wiki/… ।

— मैक्स कैंडोसिया

ये सामान्य रूप से बेहतर काम कर सकते हैं: एनालिटिकलग्रुप.

— com/download/WEIGHTED_MEAN.pdf

अपने अनुमान के विचरण दिया है $w_i$ क्योंकि आपके अनुमान से किसी के लिए निष्पक्ष है, अपने सशर्त माध्य का विचरण शून्य है। इसलिए, अपने अनुमान के विचरण है

\frac{\sum w_{i}^{2} V a r (X)}{(\sum w_{i})^{2}} = V a r (X) \frac{\sum w_{i}^{2}}{(\sum w_{i})^{2}} .

$\frac{\sum w_i^2 Var(X)}{(\sum w_i)^2} = Var(X) \frac{\sum w_i^2 }{(\sum w_i)^2}.$

w_{i}

$w_i$

देखे गए सभी आंकड़ों के साथ, अनुभवजन्य रूप से अनुमान लगाना आसान होगा। लेकिन

के स्थान के केवल माप के साथ, और उनके प्रसार को नहीं, मैं यह नहीं देखता कि

का अनुमान प्राप्त करना कैसे संभव हो सकता है, बल्कि गंभीर धारणाएं बनाए बिना।

V a r (X) E (\frac{\sum w_{i}^{2}}{(\sum w_{i})^{2}})

$Var(X) \mathbb{E}\left(\frac{\sum w_i^2 }{(\sum w_i)^2}\right)$

X_{i}

$X_i$

V a r (X)

$Var(X)$

— अतिथि
स्रोत

x_{i}

$x_i$

x

$x$

\bar{x} (1 - \bar{x})

$\bar{x}(1-\bar{x})$