आर में गणना के रूप में बहुभिन्नरूपी ऑर्थोगोनल बहुपद क्या हैं?

Question

अंक के एक एकल समूह में ऑर्थोगोनल बहुपद हैं, बहुपद हैं जो उस बिंदु पर मूल्यों का उत्पादन करते हैं जो एक तरह से इसका डॉट उत्पाद और युग्मक सहसंबंध शून्य है। आर फंक्शन पॉली के साथ ऑर्थोगोनल पॉलीओनियम्स का उत्पादन कर सकता है ।

एक ही फ़ंक्शन में एक वैरिएंट पॉलीम है जो एक बहुभिन्नरूपी बिंदुओं पर ऑर्थोगोनल पॉलीओनियम्स का उत्पादन करता है। वैसे भी परिणामी बहुपद युग्म के शून्य सहसंबंध होने के अर्थ में रूढ़िवादी नहीं हैं। वास्तव में, चूंकि पहले क्रम के बहुपद को केवल मूल चर माना जाता है, इसलिए जब तक कि मूल चर असंबंधित नहीं होते हैं तब तक पहले क्रम के बहुपद ही ओर्थोगोनल नहीं होंगे।

फिर, मेरे प्रश्न हैं:

• आर में पॉलिम द्वारा गणना की गई बहुभिन्नरूपी ऑर्थोगोनल बहुपद क्या हैं? क्या वे यूनीवेट ऑर्थोगोनल पॉलीओनियम्स के उत्पाद हैं? ये किस काम की लिये प्रायोग होते है?
• क्या सच में बहुभिन्नरूपी ऑर्थोगोनल बहुपद हो सकता है? क्या उन्हें उत्पादन करने का एक आसान तरीका है? आर में? क्या वे वास्तव में प्रतिगमन में उपयोग किए जाते हैं?

अपडेट करें

Superpronker की टिप्पणी के जवाब में, मैं एक उदाहरण देता हूं कि मुझे असंबंधित बहुपद के साथ क्या मतलब है:

> x<-rnorm(10000)
> cor(cbind(poly(x,degree=3)))
              1             2             3
1  1.000000e+00 -6.809725e-17  2.253577e-18
2 -6.809725e-17  1.000000e+00 -2.765115e-17
3  2.253577e-18 -2.765115e-17  1.000000e+00

पॉली फ़ंक्शन ऑर्थोगोनल पॉलीओनियल्स का मूल्यांकन अंक x (यहां प्रत्येक बहुपद के लिए 10,000 अंक) में करता है। विभिन्न बहुपद पर मूल्यों के बीच सहसंबंध शून्य (कुछ संख्यात्मक त्रुटि के साथ) है।

बहुभिन्नरूपी बहुपद का उपयोग करते समय, सहसंबंध शून्य से भिन्न होते हैं:

> x<-rnorm(1000)
> y<-rnorm(1000)
> cor(cbind(polym(x,y,degree=2)))
              1.0           2.0           0.1         1.1           0.2
1.0  1.000000e+00  2.351107e-17  2.803716e-02 -0.02838553  3.802363e-02
2.0  2.351107e-17  1.000000e+00 -1.899282e-02  0.10336693 -8.205039e-04
0.1  2.803716e-02 -1.899282e-02  1.000000e+00  0.05426440  5.974827e-17
1.1 -2.838553e-02  1.033669e-01  5.426440e-02  1.00000000  8.415630e-02
0.2  3.802363e-02 -8.205039e-04  5.974827e-17  0.08415630  1.000000e+00

इसलिए, मुझे समझ में नहीं आ रहा है कि उन द्विसंयोजक बहुपदों में कौन सा अर्थ है।

अपडेट २

मैं प्रतिगमन में उपयोग किए गए "ऑर्थोगोनल पॉलीओनियम्स" के अर्थ को स्पष्ट करना चाहता हूं क्योंकि यह संदर्भ किसी न किसी तरह से भ्रामक हो सकता है जब जुड़े अंतरालों में ऑर्थोगोनल पॉलीओमोनियल से विचारों को लागू करते हैं - जैसा कि पिछले सुपरपेंकर की टिप्पणी में है।

मैं जूलियन जे। फ़ारवे की प्रैक्टिकल रिग्रेशन और एनोवा का उपयोग आर पेज 101 और 102 का उद्धरण करता हूं :

ऑर्थोगोनल को आदि को परिभाषित करके इस समस्या का सामना करना जहां गुणांक a, b, c ... चुने जाते हैं। इतना कि जब । Z को ऑर्थोगोनल पॉलीओनामियल कहा जाता है।

$$z_1=a_1+b_1x$$ $$z_2= a_2+b_2x+c_2x^2$$ $$z_3= a_3+b_3x+c_3x^2+d_3x^3$$ $z_i^T·z_j=0$$i \neq j$

भाषा के एक मामूली दुरुपयोग के द्वारा, यहाँ लेखक बहुपद के लिए का उपयोग करता है (एक फ़ंक्शन के रूप में) और मानों के वेक्टर के लिए बहुपद सेट के बिंदुओं में लेता है । या शायद यह भाषा का दुरुपयोग भी नहीं है क्योंकि पुस्तक की शुरुआत के बाद से भविष्यवक्ता रहा है (उदाहरण के लिए भविष्यवक्ता द्वारा लिए गए मूल्यों का समुच्चय)।$z_i$$x$$x$

रूढ़िवादी बहुपद का यह अर्थ वास्तव में एक अंतराल पर रूढ़िवादी बहुपद से अलग नहीं है। हम किसी भी माप फ़ंक्शन के साथ किसी भी औसत दर्जे के सेट पर सामान्य रूप से (इंटीग्रल का उपयोग करके) ऑर्थोगोनल पॉलीओनियम्स को परिभाषित कर सकते हैं। यहां हमारे पास एक परिमित सेट ( ) है और हम इंटीग्रल के बजाय डॉट उत्पाद का उपयोग कर रहे हैं, लेकिन यह अभी भी ऑर्थोगोनल पॉलीओनियम्स है यदि हम अपने परिमित सेट के बिंदुओं में डिराक डेल्टा के रूप में हमारे माप फ़ंक्शन को लेते हैं।$x$

और सहसंबंध के संबंध में: में ऑर्थोगोनल वैक्टर के डॉट उत्पाद (एक सीमित सेट पर ऑर्थोगोनल वैक्टर की छवि)। यदि दो वैक्टरों का डॉट उत्पाद शून्य है, तो सहसंयोजक शून्य है, और यदि सहसंयोजक शून्य है सहसंबंध शून्य है। रेखीय मॉडल के संदर्भ में "ओर्थोगोनल" और "असंबद्ध" से संबंधित बहुत उपयोगी है, जैसा कि "प्रयोगों के ऑर्थोगोनल डिजाइन" में है।$R^n$

Comments

जब आप कहते हैं कि एक बिंदु पर बहुपद असंबद्ध हैं तो आपका क्या मतलब है? स्टोकेस्टिक चर असंबंधित हो सकते हैं; वैक्टर में डॉट उत्पाद शून्य के बराबर हो सकते हैं।

— सुपरप्रोकर

जब बिंदुओं के एक निश्चित सेट पर मूल्यांकन किया जाता है, तो हमें प्रत्येक बहुपद के लिए मूल्यों का एक सेट मिलता है। हम मूल्यों के उन सेटों के बीच सहसंबंध की गणना कर सकते हैं और रूढ़िवादी बहुपद के लिए हमें शून्य सहसंबंध मिलता है। चूंकि सहसंबंध सहसंयोजक से संबंधित है और सहसंयोजक डॉट उत्पाद से संबंधित है, मेरा मानना ​​है कि शून्य सहसंबंध और शून्य डॉट उत्पाद समान हैं।

— पेरे

क्षमा करें यदि मैं गलत समझ रहा हूं, लेकिन मैं अभी भी अनुसरण नहीं करता हूं। सहसंबंध दो वैक्टरों के बीच होता है, जहां आप कहते हैं, प्रत्येक के एन अवलोकन। क्या आपका मतलब है कि पहला और दूसरा आदेश शब्द असंबद्ध होना चाहिए? फिर यह उन बिंदुओं पर निर्भर करता है जहां आप मूल्यांकन करते हैं। [-1; 1] पर वे नहीं हैं, लेकिन [0; 1] पर वे हैं। मुझे लगता है कि आप रूढ़िवादिता और असंबद्धता के बीच संबंध के लिए अंतर्ज्ञान सटीक नहीं है।

— सुपरप्रोकर

मैंने इसके साथ प्रश्न को अद्यतन किया, हालांकि प्रतिगमन orthogonality और असंबद्धता के संदर्भ में लगभग समानार्थी शब्द हैं। मैंने एक स्रोत को जोड़ा। और हां, यह उन बिंदुओं पर निर्भर करता है जिनका हम मूल्यांकन कर रहे हैं। ऑर्डर पॉली का पहला तर्क उन बिंदुओं का वेक्टर है जिनका हम मूल्यांकन कर रहे हैं और मेरे उदाहरणों का पहला चरण मूल्यांकन करने के लिए बिंदुओं के एक वेक्टर की पीढ़ी है। प्रतिगमन में हम अपने भविष्यवक्ता के मूल्यों में रूढ़िवादी वैक्टर में रुचि रखते हैं।

— Pere

मुझे लगता है कि नोटेशन का दुरुपयोग अधिक समस्याग्रस्त है जितना लगता है; दो बहुपद की orthogonality को परिभाषित नहीं किया जाता है क्योंकि डॉट उत्पाद शून्य नहीं होता है जहाँ आप बहुपद का मूल्यांकन करते हैं। बल्कि, यह है कि दो बहुपद शब्दों (विभिन्न आदेशों के) में एक "फ़ंक्शन अर्थ" में शून्य डॉट उत्पाद होना चाहिए; और फ़ंक्शंस के लिए डॉट उत्पाद आम तौर पर इंटीग्रल हैं कुछ उपाय (यानी वजन फ़ंक्शन)। En.m.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_polynomials देखें । अगर मैं सही हूं, तो यह भ्रम की व्याख्या करता है। लेकिन विकी पर क्षणों के संबंध पर एक टिप्पणी है।

— सुपरप्रोकर

Answer 1

आइए जानें क्या हो रहा है। मुझे यकीन है कि आप पहले से ही निम्नलिखित में से अधिकांश सामग्री को जानते हैं, लेकिन संकेतन और परिभाषाओं को स्थापित करने और विचारों को स्पष्ट करने के लिए, मैं प्रश्न का उत्तर देने से पहले बहुपद प्रतिगमन की मूल बातें कवर करूंगा। यदि आप पसंद करते हैं, Rतो इस पोस्ट में लगभग दो-तिहाई रास्ते के शीर्षक "क्या करता है" पर जाएं, और फिर किसी भी परिभाषा के लिए वापस छोड़ें जिसकी आपको आवश्यकता हो सकती है।

सेटिंग

हम कुछ प्रकार के प्रतिगमन में संभावित व्याख्यात्मक चर के $n\times k$ मॉडल मैट्रिक्स $\mathbb X$ पर विचार कर रहे हैं । इस का मतलब है कि हम के स्तंभों में से रहे हैं सोच $\mathbb X$ होने के रूप में $n$ -vectors $X_1, X_2, \ldots, X_k$ और हम उनमें से रैखिक संयोजन के गठन किया जाएगा, $\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \cdots + \beta_k X_k,$ एक प्रतिक्रिया का अनुमान लगाने या अनुमान लगाने के लिए।

कभी-कभी गुणांक द्वारा $X$ विभिन्न स्तंभों को एक दूसरे से गुणा करके बनाए गए अतिरिक्त स्तंभों को प्रस्तुत करके एक प्रतिगमन में सुधार किया जा सकता है । इस तरह के उत्पादों को "मोनोमियल" कहा जाता है और इसे लिखा जा सकता है

$$X_1^{d_1} X_2^{d_2} \cdots X_k^{d_k}$$

जहां प्रत्येक "पॉवर" $d_i$ शून्य या अधिक है, यह दर्शाता है कि उत्पाद में प्रत्येक $X_1$ कितनी बार दिखाई देता है। सूचना है कि $X^0$ एक है $n$ निरंतर गुणांकों के -vector ( $1$ ) और $X^1=X$ ही। इस प्रकार, मोनोमियल (वैक्टर के रूप में) एक वेक्टर स्थान उत्पन्न करता है जिसमें $\mathbb X.$ का मूल स्तंभ स्थान शामिल होता है । संभावना है कि यह एक बड़ा वेक्टर स्थान हो सकता है यह प्रक्रिया रैखिक संयोजनों के साथ प्रतिक्रिया को मॉडल करने के लिए अधिक गुंजाइश देता है।

हम मूल मॉडल मैट्रिक्स $\mathbb X$ को मोनोमियल के संग्रह रैखिक संयोजनों द्वारा बदलने का इरादा रखते हैं । जब इनमें से कम से कम एक मोनोमियल की डिग्री $1,$ से अधिक हो जाती है , तो इसे बहुपद प्रतिगमन कहा जाता है ।

बहुपद की ग्रेडिंग

एक मोनोमियल की डिग्री इसकी शक्तियों का योग है, $d_1+d_2+\ldots+d_k.$ मोनोमियल (एक "बहुपद") के रैखिक संयोजन की डिग्री गैर-गुणांक वाले मोनोमियल शब्दों के बीच सबसे बड़ी डिग्री है। डिग्री का एक आंतरिक अर्थ है, क्योंकि जब आप मूल वेक्टर अंतरिक्ष के आधार को बदलते हैं, तो प्रत्येक वेक्टर $X_i$ को सभी वैक्टरों के रैखिक संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है; एकपदीयों $X_1^{d_1} X_2^{d_2} \cdots X_k^{d_k}$इस प्रकार एक ही डिग्री के बहुपद बन जाते हैं; और फलस्वरूप किसी भी बहुपद की डिग्री अपरिवर्तित होती है।

डिग्री इस बहुपद बीजगणित के लिए एक प्राकृतिक "ग्रेडिंग" प्रदान करती है: डी + 1 तक और $X$ सहित डिग्री के एक्स के सभी रैखिक संयोजनों द्वारा उत्पन्न वेक्टर अंतरिक्ष , जिसे "[या अप करने के लिए] डिग्री डी + 1 " कहा जाता है । एक्स , " एक्स में डिग्री डी तक बहुपद के वेक्टर स्थान का विस्तार करता है ।$d+1,$$d+1$$X,$$d$$X.$

बहुपद प्रतिगमन का उपयोग

अक्सर, बहुपद प्रतिगमन इस अर्थ में खोजपूर्ण है कि हम शुरू में नहीं जानते कि किन मोनोमियल को शामिल करना है। मोनोमियल से नए मॉडल मैट्रिसेस बनाने और प्रतिगमन को फिर से फिट करने की प्रक्रिया को कई बार दोहराने की आवश्यकता हो सकती है, शायद कुछ मशीन सीखने की सेटिंग्स में कई बार खगोलीय संख्या।

इस दृष्टिकोण के साथ मुख्य समस्याएं हैं

1. मोनोमियल्स अक्सर नए मॉडल मैट्रिक्स में "मल्टीकोलीनैरिटी" की समस्याग्रस्त मात्रा का परिचय देते हैं, मुख्य रूप से क्योंकि एक एकल चर की शक्तियां अत्यधिक टकराहट होती हैं। (दो अलग-अलग चरों की शक्तियों के बीच सामंजस्य अप्रत्याशित है, क्योंकि यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे चर किस तरह से संबंधित हैं, और इसलिए कम अनुमानित है।)

2. मॉडल मैट्रिक्स के सिर्फ एक कॉलम को बदलना, या एक नया परिचय देना, या एक को हटाना, प्रतिगमन प्रक्रिया के "कोल्ड पुनरारंभ" की आवश्यकता हो सकती है, संभवतः कम्प्यूटेशन के लिए एक लंबा समय लग सकता है।

बहुपद बीजगणियों की ग्रेडिंग दोनों समस्याओं को दूर करने का एक तरीका प्रदान करती है।

एक चर में रूढ़िवादी बहुपद

यह देखते हुए एक एकल स्तंभ वेक्टर $X,$ के लिए "ओर्थोगोनल बहुआयामी पद" का एक सेट $X$ है स्तंभ वैक्टर का एक अनुक्रम $p_0(X), p_1(X), p_2(X),\ldots$ में एकपदीयों के रैखिक संयोजन के रूप में गठन $X$ अकेले - क्या है, $X$ शक्तियों के रूप में - निम्नलिखित गुणों के साथ:

1. प्रत्येक डिग्री के लिए $d=0, 1, 2, \ldots,$ वैक्टर $p_0(X), p_1(X), \ldots, p_d(X)$$X^0, X^1, \ldots, X^d.$ रूप में एक ही वेक्टर अंतरिक्ष उत्पन्न करते हैं। । (कि सूचना $X^0$ है $n$ वालों के -vector और $X^1$ बस है $X$ अपने आप।)

2. $p_i(X)$ परस्पर हैं ओर्थोगोनल इस अर्थ में कि के लिए $i\ne j,$

   $$p_i(X)^\prime p_j(X) = 0.$$

आमतौर पर, प्रतिस्थापन मॉडल मैट्रिक्स

$$\mathbb{P} = \pmatrix{p_0(X) & p_1(X) & \cdots & p_d(X)}$$ इन एकपदीयों से गठित होने के लिए चुना जाता है orthonormal इकाई लंबाई करने के लिए अपने कॉलम को सामान्य से: $$\mathbb{P}^\prime \mathbb{P} = \mathbb{I}_{d+1}.$$ का प्रतिलोम क्योंकि $\mathbb{P}^\prime \mathbb{P}$ सबसे प्रतिगमन समीकरण में प्रकट होता है और पहचान मैट्रिक्स का प्रतिलोम $\mathbb{I}_{d+1}$ अपने आप में, यह एक विशाल कम्प्यूटेशनल लाभ का प्रतिनिधित्व करता है।

ऑर्थोनॉर्मलिटी बहुत लगभग $p_i(X).$ निर्धारित करती है । आप इसे निर्माण द्वारा देख सकते हैं:

• पहले बहुपद, $p_0(X),$ की एक बहु होना चाहिए $n$ -vector $\mathbf{1}=(1,1,\ldots,1)^\prime$ इकाई लंबाई की। वहाँ केवल दो विकल्प हैं, $\pm \sqrt{1/n}\mathbf{1}.$ यह सकारात्मक वर्गमूल लेने की प्रथा है।

• दूसरा बहुपद, $p_1(X),$ ऑर्थोगोनल से $\mathbf{1}.$ होना चाहिए । यह regressing द्वारा प्राप्त किया जा सकता $X$ के खिलाफ $\mathbf{1},$ जिसका समाधान मतलब मूल्यों का वेक्टर है एक्स = ˉ एक्स 1 । तो बच ε = एक्स - एक्स नहीं हूबहू शून्य, वे केवल दो संभव समाधान देने के पी 1 ( एक्स ) = ± ( 1 / | | ε | |$\hat X = \bar{X}\mathbf{1}.$$\epsilon = X - \hat X$$p_1(X) = \pm \left(1/||\epsilon||\right)\,\epsilon.$

...

• आम तौर पर, $p_{d+1}(X)$पी 0 ( एक्स ) , पी 1 ( एक्स ) , … , पी डी ( एक्स ) के खिलाफ $X^{d+1}$ प्राप्त करके और अवशेषों को इकाई लंबाई का वेक्टर बनाने के लिए प्राप्त किया जाता है। जब अवशिष्ट सभी शून्य नहीं होते हैं तो संकेत के दो विकल्प होते हैं। अन्यथा, प्रक्रिया समाप्त होती है: एक्स की किसी भी उच्च शक्तियों को देखने के लिए यह बेकार होगा । (यह एक अच्छा प्रमेय है, लेकिन इसके प्रमाण की हमें यहाँ ध्यान भंग करने की आवश्यकता नहीं है।)$p_0(X), p_1(X), \ldots, p_d(X)$$X.$

यह ग्राम-श्मिट प्रक्रिया है जो वैक्टर $X^0, X^1, \ldots, X_d, \ldots.$ के आंतरिक क्रम पर लागू होती है । आमतौर पर यह एक क्यूआर अपघटन का उपयोग करके गणना की जाती है , जो लगभग एक ही चीज है लेकिन एक संख्यात्मक रूप से स्थिर तरीके से गणना की जाती है।

यह निर्माण मॉडल मैट्रिक्स में शामिल करने पर विचार करने के लिए अतिरिक्त कॉलम का एक क्रम देता है। एक चर में बहुपद प्रतिगमन इसलिए आमतौर पर इस क्रम के तत्वों को एक-एक करके जोड़ते हुए आगे बढ़ता है, जब तक कि प्रतिगमन में कोई और सुधार प्राप्त नहीं होता है। क्योंकि प्रत्येक नया स्तंभ पिछले वाले के लिए रूढ़िवादी है, इसमें पिछले गुणांक अनुमानों में से कोई भी परिवर्तन नहीं करता है। यह एक कुशल और आसानी से व्याख्या करने योग्य प्रक्रिया के लिए बनाता है।

कई चर में बहुपद

खोजपूर्ण प्रतिगमन (साथ ही साथ मॉडल फिटिंग) आमतौर पर पहले (जो) मूल चर को एक मॉडल में शामिल करने पर विचार करके आगे बढ़ता है; फिर यह आकलन करना कि क्या उन चरों को संवर्धित किया जा सकता है, उनमें से विभिन्न परिवर्तनों को शामिल किया जा सकता है, जैसे मोनोमियल; और फिर इन चरों के उत्पादों और उनके पुन: भावों से बने "इंटरैक्शन" को शुरू करना।

इस तरह के एक कार्यक्रम को अंजाम देना, तब, एक्स के स्तंभों में अलग-अलग$\mathbb X$ ऑर्थोगोनल पॉलीओनियम्स बनाने के साथ शुरू होगा । प्रत्येक स्तंभ के लिए एक उपयुक्त डिग्री का चयन करने के बाद, आप फिर बातचीत शुरू करेंगे।

इस बिंदु पर, एकतरफा कार्यक्रम के कुछ हिस्से टूट जाते हैं। जब तक एक उपयुक्त मॉडल की पहचान नहीं हो जाती है, तब तक आप एक-दूसरे पर किस प्रकार का इंटरैक्शन लागू करेंगे? इसके अलावा, अब जब कि हम वास्तव में बहुविकल्पीय विश्लेषण के दायरे में प्रवेश कर चुके हैं, उपलब्ध विकल्पों की संख्या और उनकी बढ़ती जटिलता का सुझाव है कि बहुभिन्नरूपी ऑर्थोगोनल बहुपद के अनुक्रम के निर्माण में कम रिटर्न हो सकता है । यदि, हालांकि, आपके मन में ऐसा क्रम था, तो आप इसे क्यूआर अपघटन का उपयोग करके गणना कर सकते हैं।

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क्या Rकरता है

बहुपद प्रतिगमन के लिए सॉफ्टवेयर इसलिए अविभाजित ऑर्थोगोनल बहुपद अनुक्रमों की गणना पर ध्यान केंद्रित करता है । यह Rइस तरह के समर्थन को स्वचालित रूप से संभव के रूप में विस्तारित करने के लिए एकात्मक बहुपद के समूहों के लिए विशेषता है। यह क्या polyकरता है (इसका साथी polymअनिवार्य रूप से एक ही कोड है, जिसमें कम घंटियाँ और सीटी होती हैं; दोनों कार्य समान काम करते हैं)

विशेष रूप से, polyएक एकल वेक्टर $X,$ दिए जाने पर, एक निर्दिष्ट डिग्री $d.$ पर रोकते हुए , एकतरफा ऑर्थोगोनल पॉलीओनियम्स के अनुक्रम की गणना करेगा । (यदि $d$ बहुत बड़ा है - और यह मुश्किल भविष्यवाणी करने के लिए कितना बड़ा बहुत बड़ा है हो सकता है -। यह दुर्भाग्य से एक त्रुटि फेंकता) जब किसी दिए गए सेट वैक्टर की $X_1, \ldots, X_k$ एक मैट्रिक्स के रूप में $\mathbb X,$ यह वापस आ जाएगा

1. $p_1(X_j), p_2(X_j), \ldots, p_d(X_j)$$j$$d.$$p_0(X_i)$R

2. $d.$

$d.$$2$$d=2,$ R

$$p_1(X_1),\quad p_2(X_1),\quad p_1(X_2),\quad p_1(X_1)p_1(X_2),\quad p_2(X_2).$$

R $p_2(X_1)p_1(X_2),$ $p_1(X_1)p_2(X_2)$$p_1(X_2)p_2(X_2)$formula

$p_1(X_1)p_1(X_2).$$p_1(X_1)$$p_1(X_2)$

एक उदाहरण

$$\mathbb{X} = \pmatrix{1 & 3 \\ 5 & 6 \\ 2 & 4}.$$

$X_1 = (1,5,2)^\prime$$X_1^0= (1,1,1)^\prime$$p_0(X_1) = (1,1,1)^\prime/\sqrt{3} \approx(0.58,0.58,0.58)^\prime.$$X_1^1 = X_1$$p_0(X_1),$$X_1$$p_0(X_1)$$p_1(X_1)$$X_1$$p_1(X_1) = (-0.57,0.79,-0.23)^\prime.$$X_1^2 = (1,25,4)$$p_0(X_1)$$p_1(X_1)$$X_1$$n=3$$X_1,$$(t-1)(t-5)(t-4),$$3,$$3$ या कम शक्तियों के रैखिक संयोजन बड़े होते हैं और वे निम्न शक्तियाँ रैखिक रूप से स्वतंत्र होती हैं।)

$X_1$

$$\mathbb{P_1} = \pmatrix{0.58 & -0.57 & 0.59 \\ 0.58 & 0.79 & 0.20 \\ 0.58 & -0.23 & -0.78}$$

(दो महत्वपूर्ण आंकड़ों के लिए)।

$X_2$

$$\mathbb{P_2} = \pmatrix{0.58 & -0.62 & 0.53 \\ 0.58 & 0.77 & 0.27 \\ 0.58 & -0.15 & -0.80}.$$

$(0.35, 0.61, 0.035)^\prime.$polypolym

$$\mathbb{P} = \pmatrix{-0.57 & 0.59 & -0.62 & 0.35 & 0.53 \\ 0.79 & 0.20&0.77& 0.61& 0.27 \\ -0.23 & -0.78 & -0.15 & 0.035 & -0.80}.$$

$X_1$$X_2$$\mathbb{P}^\prime\mathbb{P},$$(1,2), (2,1), (3,5),$$(5,3)$$(1,1), (2,2), (3,3),$$(5,5)$$(4,4)$

$$\mathbb{P}^\prime\,\mathbb{P} = \pmatrix{\color{blue}{\bf 1} & \color{red}{\bf 0} & 1 & 0.28 & 0.091 \\ \color{red}{\bf 0} & \color{blue}{\bf 1} & -0.091 & 0.3 & 1 \\ 1 & -0.091 & \color{blue}{\bf 1} & 0.25 & \color{red}{\bf 0} \\ 0.28 & 0.3 & 0.25 & 0.5 & 0.32 \\ 0.091 & 1 & \color{red}{\bf 0} & 0.32 & \color{blue}{\bf 1}}.$$

$\mathbb P$$10^{-17}$

Comments

R$p_1(X_1)p_{\color{red}{2}}(X_2)$$p_1(X_1)p_{\color{red}{1}}(X_2)$

@ कूल गुड कैच - अब तय।

— whuber

उस महान उत्तर के लिए धन्यवाद। तथ्य यह है कि जवाब आने के काफी समय बाद मैंने इसमें खोई हुई आशा को खो दिया है, यह एक बहुत ही सुखद आश्चर्य है।

— पेरे

$X_1=X$$X^1=X$

एकदम सही। मैं आभारी हूं कि आप पाठ को इतनी बारीकी से पढ़ रहे हैं कि आपको ये त्रुटियां लगती हैं!

— whuber