मार्कोव चेन के लिए केंद्रीय सीमा प्रमेय

Question

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}}$$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT) में कहा गया है कि स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (iid) और , योग एक सामान्य वितरण में : $X_1,X_2,\dots$$\E[X_i]=0$$\operatorname{ Var} (X_i)<\infty$$n\to\infty$

$$\sum_{i=1}^n X_i \to N\left(0, \sqrt{n}\right).$$

इसके बजाय मान लें कि एक स्थिर वितरण-मार्कोव श्रृंखला बनाते हैं जिसमें एक स्थिर वितरण साथ अपेक्षा 0 और सीमाबद्ध विचरण है। क्या इस मामले के लिए सीएलटी का एक सरल विस्तार है?$X_1,X_2,\dots$$\P_\infty$

मार्कोव चेन के लिए सीएलटी पर मैंने जो पेपर पाए हैं, वे आम तौर पर बहुत अधिक सामान्य मामलों का इलाज करते हैं। मैं प्रासंगिक सामान्य परिणाम के लिए एक संकेतक के लिए बहुत आभारी हूं और यह कैसे लागू होता है, इसका स्पष्टीकरण।

Comments

डीप डायनामिक्स से लिन और टेगमार्क का पेपर क्रिटिकल बिहेवियर मार्कोव प्रक्रियाओं और विश्लेषण की "सीमाओं" के बारे में कुछ गहराई में जाता है ... यहाँ उपलब्ध है ... ai2-s2-pdfs.s3.amazonaws.com/5ba0- "

— माइक हंटर

Answer 1

एलेक्स आर। का उत्तर लगभग पर्याप्त है, लेकिन मैं कुछ और विवरण जोड़ता हूं। में मार्कोव श्रृंखला केन्द्रीय सीमा प्रमेय पर - Galin एल जोन्स , यदि आप प्रमेय 9 को देखो, यह कहते हैं,

यदि स्टेशनरी वितरण साथ हैरिस एर्गोडिक मार्कोव श्रृंखला है , तो लिए एक CLT धारण यदि समान रूप से ergodic और ।$X$$\pi$$f$$X$$E[f^2] < \infty$

परिमित राज्य रिक्त स्थान के लिए, सभी अप्रासंगिक और एपेरियोडिक मार्कोव श्रृंखला समान रूप से ergodic हैं। इसके लिए प्रमाण में मार्कोव श्रृंखला सिद्धांत में कुछ महत्वपूर्ण पृष्ठभूमि शामिल है। एक अच्छा संदर्भ यहाँ प्रमेय 18 के तल पर, पृष्ठ 32 होगा ।

इसलिए, मार्कोव श्रृंखला CLT किसी भी कार्य के लिए पकड़ होगा एक परिमित दूसरे पल है। सीएलटी के रूप में निम्नानुसार वर्णित है।$f$

Let , का समय औसत अनुमानक है , तो एलेक्स आर। इंगित करता है, , $\bar{f}_n$$E_{\pi}[f]$$n \to \infty$

$$\bar{f}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(X_i) \overset{\text{a.s.}}{\to} E_\pi[f].$$

मार्कोव श्रृंखला CLT

$$\sqrt{n} (\bar{f}_n - E_\pi[f]) \overset{d}{\to} N(0, \sigma^2),$$

जहाँ

$$\sigma^2 = \underbrace{\operatorname{Var}_\pi(f(X_1))}_\text{Expected term} + \underbrace{2 \sum_{k=1}^\infty \operatorname{Cov}_\pi(f(X_1), f(X_{1+k}))}_\text{Term due to Markov chain}.$$

चार्ल्स गीयर के MCMC नोटों के पृष्ठ 8 और पेज 9 पर शब्द के लिए एक व्युत्पत्ति प्राप्त की जा सकती है ।$\sigma^2$

Comments

धन्यवाद, यह बहुत स्पष्ट है! क्या एक आसान तर्क है कि क्यों परिमित अवस्था, अप्रासंगिक और एपेरियोडिक मार्कोव श्रृंखला समान रूप से क्षीण हैं? (ऐसा नहीं है कि मुझे आप पर भरोसा नहीं है ^ ^)।

— टॉमहिवरिट

@ tom4everitt दुर्भाग्य से, "आसान" की परिभाषा व्यक्तिपरक है। यदि आप मार्कोव श्रृंखला के लिए बहाव और लघुकरण की स्थिति से परिचित हैं, तो तर्क आसान है। यदि नहीं, तो यह एक लंबा तर्क होगा। मैं कोशिश करूंगा और इसके बजाय एक संदर्भ ढूंढूंगा। कुछ समय लग सकता है।

— ग्रीनपार्क 5

वह तो जबर्दस्त होगा। यदि आपको कोई नहीं मिलता है, तो मुख्य चरणों में संकेत देने वाले कुछ वाक्य अभी भी सहायक होंगे।

— tom4everitt

@ tom4everitt ने उत्तर के लिए एक संदर्भ जोड़ा। आशा है कि पर्याप्त है।

— ग्रीनपार्क

@Greenparker क्या मैं आपको यह समझने में मदद के लिए पूछ सकता हूं कि आपके उत्तर में भिन्नता कैसे निकाली गई है। मैंने आपके उत्तर में संदर्भ को देखा, लेकिन मुझे वहाँ व्युत्पत्ति नहीं मिली। मेरे पास MCsist के लिए एक स्रोत, MC है, लेकिन मुझे पूरी तरह से समझ में नहीं आता है कि यह कैसे होता है। वह है, कैसा है$\sigma^2$पद व्युत्पन्न? धन्यवाद!

— LeastSquaresWonderer

Answer 2

मार्कोव चेन के लिए "सामान्य" परिणाम बिरखॉफ एर्गोडिक प्रमेय है, जो कहता है कि

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nf(X_i)\rightarrow E_{\pi}[f],$$

कहाँ पे $\pi$ स्थिर वितरण है, और $f$ संतुष्ट $E|f(X_1)|<\infty$, और अभिसरण लगभग सुनिश्चित है।

दुर्भाग्य से इस अभिसरण के उतार-चढ़ाव आम तौर पर काफी कठिन होते हैं। यह मुख्य रूप से कितनी जल्दी पर कुल भिन्नता सीमा को पता लगाने की अत्यधिक कठिनाई के कारण है$X_i$ स्थिर वितरण में परिवर्तित होना $\pi$। ऐसे मामलों में जाना जाता है जहां उतार-चढ़ाव सीएलटी के अनुरूप होते हैं, और आप बहाव पर कुछ स्थितियां पा सकते हैं जो अनुरूप पकड़ बनाते हैं: मार्कोव चेन सेंट्रल लिमिट प्रमेय पर - गैलिन एल जोन्स (सिद्धांत 1 देखें)।

उदाहरण के लिए, दो राज्यों के साथ एक श्रृंखला है, जहां एक अवशोषित होता है (यानी $P(1\rightarrow 2)=1$ तथा $P(2\rightarrow 1)=0$। इस मामले में कोई उतार-चढ़ाव नहीं है, और आप एक सामान्य सामान्य वितरण (एक स्थिर) के लिए अभिसरण प्राप्त करते हैं।

Comments

मुझे नहीं लगता कि वह लगभग सुनिश्चित अभिसरण के बारे में पूछ रहा है। मुझे लगता है कि वह सामान्य स्थानों पर CLTs में से कुछ का 'अनुवाद' चाहता है: संभवत: परिमित राज्य अंतरिक्ष श्रृंखलाओं के विशिष्ट संदर्भ में आवश्यक धारणाओं का क्या अर्थ है

— टेलर

धन्यवाद। क्या एक सामान्य, अच्छा, परिमित राज्य मार्कोव श्रृंखला तुच्छ स्थिति में बहाव को संतुष्ट करेगा? मैं इसे केवल दो-राज्य श्रृंखला के लिए जानकर भी खुश होऊंगा, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि यह कैसे साबित किया जाए।

— tom4everitt