का प्रयोग करें परिकल्पना परीक्षण है कि के लिए क्योंकि तेजी से अभिसरण दर?

Question

मान लीजिए कि मेरे पास iid हैं और मैं एक परिकल्पना परीक्षण करना चाहता हूं कि 0. है। मान लीजिए कि मेरे पास बड़ा n है और केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं। मैं एक परीक्षण भी कर सकता था कि 0 है, जो परीक्षण के बराबर होना चाहिए कि 0. है। आगे, एक ची-वर्ग में परिवर्तित होता है, जहां एक सामान्य में परिवर्तित होता है। क्योंकि में एक तेज़ अभिसरण दर है, क्या मुझे परीक्षण आँकड़ा के लिए उपयोग नहीं करना चाहिए और इस प्रकार मुझे एक तेज़ अभिसरण दर मिलेगी और परीक्षण अधिक कुशल होगा?$X_1,\ldots,X_n$$\mu$$\mu^2$$\mu$$n(\bar{X}^2 - 0)$$\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$$\bar{X}^2$

मुझे पता है कि यह तर्क गलत है, लेकिन मैं लंबे समय से सोच रहा हूं और खोज रहा हूं और यह पता नहीं लगा सकता कि क्यों।

Comments

यह स्पष्ट नहीं है कि आप क्या पूछ रहे हैं। क्या के अभिसरण दर भावना आप में समझा सकते हैं है "तेजी" की तुलना में ? आप दर को कैसे माप रहे हैं? आप दो परीक्षणों में किन परीक्षण आँकड़ों का उपयोग कर रहे हैं? स्पष्ट रूप से इन विकल्पों से फर्क पड़ सकता है। $\bar X^2$$\bar X$

— whuber

@ प्रश्न के लिए धन्यवाद। मैं "तेज दर" का दावा करता हूं क्योंकि n, n के वर्गमूल से बड़ा है। क्या वह अंतर्ज्ञान गलत है? मेरे दिमाग में स्टैटस्टिक एक्स-बार या एक्स-बार का परीक्षण है।

— जू वांग

मुझे लगता है कि आप गलत बात पर ध्यान केंद्रित कर रहे हैं। यह दर आपको बताती है कि नमूना वितरण कितनी जल्दी सीमित हो जाता है - या तो मानक सामान्य या । चूंकि बड़ी है, इसलिए इसका मूल्य कोई व्यावहारिक अंतर नहीं है - यह अप्रासंगिक है। यह मुद्दा प्रत्येक परीक्षण की शक्ति की चिंता करता है , न कि यह कि परीक्षण आँकड़ा कितना सीमित है। $\chi^2(1)$$n$

— व्हीबेर

इन जानकारियों के लिए @whuber आपको धन्यवाद देता है। मैं उनके बारे में सोचता रहा हूं लेकिन फिर भी समझ नहीं आया। एक्स-बार ^ 2 के अनुमानित संस्करण नहीं होंगे आखिरकार एक्स-बार के अनुमानित संस्करण से छोटा होगा? और क्या एक्स-बार ^ 2 के परिणामस्वरूप एक्स-बार की तुलना में अभिसरण की उच्च दर नहीं है? मुझे अपनी मौलिक गलतफहमियों को न देखने के लिए खेद है। मुझे पता है कि कुछ बड़ा है जो मुझे याद आ रहा है और ऐसी सोच को सही करने की उम्मीद है।

— जू वांग

इससे कोई फर्क नहीं पड़ता है कि अनुमानित संस्करण बड़ा या छोटा है, क्योंकि क्या गणना सांख्यिकीय का वितरण है। इसे देखने के लिए, बनाम साथ लिए एक परीक्षण करें । आँकड़ा हमेशा विचरण 100x होता है जो कि , लेकिन सामान्यीकरण के परिणाम दोनों ही वास्तविक परीक्षण आँकड़ों में वितरित होते । आपके मामले में, याद रखें कि वेरिएंट को स्क्वेर करने से वेरिएंट मिलता है। सीमा पर, इस परिवर्तन का अर्थ है कि दो परीक्षण उनकी शक्ति के संदर्भ में समान हैं जो एक निर्दिष्ट स्तर दिए गए हैं। $\mu = 0$$x \sim N(0,1)$$y \sim N(0,10)$$\bar{y}$$\bar{x}$$t(n-1)$$N(0,1)$$\chi^2$

— 22

Answer 1

आपके द्वारा वर्णित परीक्षणों के दोनों समकक्ष हैं।

अगर मेरे पास दो परिकल्पनाएँ हैं:

$$H_0: \mu=0$$ $$H_1: \mu\neq0$$

तब वे बराबर हैं

$$H_0: \mu^2=0$$ $$H_1: \mu^2\gt 0.$$

यदि डेटा सामान्य होने के लिए जाना जाता है, तो नमूना माध्य माध्य और विचरण (जो ज्ञात या अज्ञात हो सकता है) के साथ भी सामान्य होगा ।$\bar{X}$$\mu$$\sigma^2/n$

यदि डेटा को सामान्य नहीं जाना जाता है, तो आप केंद्रीय सीमा प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं और ऊपर asymptotically सही होगा। आप का दावा है कि एक ची-वर्ग चर "तेजी" से करने के लिए अभिसरण जाएगा एक सामान्य से एक के लिए अभिसरण होगा। यह इस अर्थ में सत्य है कि जैसे अनंत तक जाता है,$\bar{X}^2$$\bar{X}$$n$

$$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$$

लेकिन ये पूरी कहानी नहीं है। हम एक संभावना अनुपात परीक्षण, या कम से कम एक अनुमानित प्रदर्शन कर रहे हैं । अनुपात वही निकलेगा, चाहे हम ची-स्क्वेयर या सामान्य परीक्षण करें। (याद रखें कि एक सामान्य यादृच्छिक चर का वर्ग ची-चुकता वितरण का अनुसरण करता है।) यदि नमूना माध्य प्रासंगिक सामान्य या टी-वितरण के 95 वें प्रतिशतक पर निकलता है, तो राशि का वर्ग होगा 95% प्रतिशत के बराबर होना चाहिए वितरण (जो समान संख्या नहीं है, लेकिन यह कोई फर्क नहीं पड़ता)।$\bar{X}$$\chi^2$