कॉची वितरण के नमूने के वितरण का क्या मतलब है?

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आमतौर पर जब कोई वितरण का यादृच्छिक नमूना औसत (30 से अधिक नमूना आकार के साथ) लेता है, तो औसत मूल्य के आसपास एक सामान्य वितरण को प्राप्त करता है। हालांकि, मैंने सुना है कि कॉची वितरण का कोई मतलब मूल्य नहीं है। कॉची वितरण का नमूना साधन प्राप्त करते समय कोई वितरण क्या प्राप्त करता है?

मूल रूप से एक कॉची वितरण के लिए $\mu_x$ अपरिभाषित है तो क्या है $\mu_{\bar{x}}$ और किसका वितरण है $\bar{x}$ ?

cauchy

— स्टीवन स्टीवर्ट-गैलस
स्रोत

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से विकिपीडिया पृष्ठ , यह आईआईडी कॉची चर का नमूना मतलब की तरह लग रहा नमूने स्वयं के रूप में एक ही वितरण होगा।

— जियोमैट 22

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अगर $X_1, \ldots, X_n$ आइड कौची हैं $(0, 1)$ तो हम दिखा सकते हैं $\bar{X}$ कैची भी है $(0, 1)$ एक विशेषता फ़ंक्शन तर्क का उपयोग करना:

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{i t \bar{X}}) \\ = E (\prod_{j = 1}^{n} e^{i t X_{j} / n}) \\ = \prod_{j = 1}^{n} E (e^{i t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{i t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

जो मानक कॉची वितरण की विशेषता कार्य है। अधिक सामान्य कॉची के लिए प्रमाण $(\mu, \sigma)$ मामला मूल रूप से समान है।

— dsaxton
स्रोत

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उन लोगों की मदद करने के लिए जिन्हें कुछ विवरणों को जोड़ने में परेशानी हो सकती है, दूसरी से तीसरी पंक्ति तक का कदम स्वतंत्रता का उपयोग करता है, अगला एक "पहचान के रूप में वितरित" का उपयोग करता है, अगले को कई तरीकों से किया जा सकता है, लेकिन सबसे आसान यह देखना है कि शक्ति के अंदर की उम्मीद एक कॉची सीएफ के समान ही अभिन्न है लेकिन में

t / n

$t/n$ , तो (यदि आप पहले से ही एक कॉची के लिए सीएफ जानते हैं) तो आपको मिलता है

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$ और फिर लाना

n

$n$ वें शक्ति नीचे

n

$n$ शर्तें रद्द करें

— Glen_b -Reinstate Monica

मुझे अच्छा लगा कि दूसरे उत्तर ने भी समझाया कि इसका मतलब है कि यह एक स्थिर वितरण है ।

— अपोलो मोनिका

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आमतौर पर जब कोई वितरण का यादृच्छिक नमूना औसत (30 से अधिक नमूना आकार के साथ) लेता है, तो औसत मूल्य के आसपास एक सामान्य वितरण को प्राप्त करता है।

बिल्कुल नहीं। आप केंद्रीय सीमा प्रमेय के बारे में सोच रहे हैं, जो बताता है कि एक अनुक्रम दिया गया है $X_n$ परिमित विचरण के साथ IID यादृच्छिक चर (जो स्वयं एक परिमित माध्य अर्थ ), अभिव्यक्ति वितरण में सामान्य वितरण के रूप में हो जाता है। अनन्त तक। इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि चर के किसी भी सूक्ष्म सबसेट का नमूना माध्य सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा। $μ$ $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

हालांकि, मैंने सुना है कि कॉची वितरण का कोई मतलब मूल्य नहीं है। कॉची वितरण का नमूना साधन प्राप्त करते समय कोई वितरण क्या प्राप्त करता है?

जैसे GeoMatt22 ने कहा, नमूना साधन खुद कॉची वितरित किया जाएगा। दूसरे शब्दों में, कॉची वितरण एक स्थिर वितरण है ।

ध्यान दें कि केंद्रीय सीमा प्रमेय काची पर लागू नहीं होता है, क्योंकि वे परिमित माध्य और विचरण नहीं करते हैं।

— Kodiologist
स्रोत

मेरी टिप्पणी "नमूना मतलब भी कॉची है" की तुलना में थोड़ा मजबूत होने का इरादा था, क्योंकि नमूना का मतलब समान पैरामीटर होगा । अर्थात्, सामान्य वितरण के लिए, स्थान पैरामीटर समान होगा, लेकिन सामान्य मामले के विपरीत, स्केल पैरामीटर भी समान होगा (जबकि सामान्य मामले के लिए, स्केल रूप में घटता है ) । कम से कम, यह मेरे लिंक पर सूचीबद्ध पहले 2 परिवर्तन गुणों की मेरी व्याख्या है।

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

— जियोमैट 22

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आपने कहा: " पहले n तत्वों के वितरण में नमूना माध्य एक सामान्य वितरण में परिवर्तित होता है क्योंकि n अनंत तक जाता है " ... बिल्कुल नहीं। सीएलटी के लिए आपकी ज़रूरत से कमज़ोर परिस्थितियों में, माध्य ही निरंतर (बड़ी संख्या के कमजोर कानून द्वारा) में परिवर्तित हो जाता है। आपको सामान्य वितरण में अभिसरण प्राप्त करने के लिए माध्य का मानकीकरण करना होगा।

μ

$\mu$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@DilipSarwate सही किया गया। यह मत भूलो कि आप अन्य लोगों के उत्तरों को संपादित कर सकते हैं।

— कोडियोलॉजिस्ट