क्या एक बीटा वितरण के दो मात्रात्मक इसके मापदंडों को निर्धारित करते हैं?

Question

अगर मैं दो मात्राएँ देता हूँ $(q_1,q_2)$ और उनके संबंधित स्थान $(l_1,l_2)$ (प्रत्येक) खुले अंतराल में $(0,1)$, क्या मुझे हमेशा एक बीटा वितरण के पैरामीटर मिल सकते हैं जो निर्दिष्ट स्थानों पर उन मात्रात्मक हैं?

Comments

नहीं, मूल प्रतिपक्ष (q1, q2) = (0,1) और (l1, l2) = (0,1) कोई पैरामीटर की बात नहीं है।

— टिम

@ मुझे लगता है कि मैं आपकी बात देख रहा हूं, लेकिन आपके प्रतिसाद ने मेरे द्वारा निर्दिष्ट शर्तों को पूरा नहीं किया है (उदाहरण के लिए कि स्थान खुले अंतराल में हैं $(0,1)$)।

— कोटा

मुझे लगता है कि आप इसे संख्यात्मक रूप से कर सकते हैं (और यह एक अनूठा समाधान होगा), लेकिन इसमें थोड़ा प्रयास शामिल होगा।

— Glen_b -Reinstate Monica

मुझे भी लगता है - संख्यात्मक समाधान मुश्किल नहीं है, लेकिन विशिष्टता के लिए एक तर्क खोजना आसान नहीं है।

— एल्विस

@ एल्विस वास्तव में, मुझे संदेह है कि दोनों चरों के लॉग को देखकर ऐसा करने का कोई तरीका हो सकता है (ओपी का) $l$ तथा $q$)।

— Glen_b -Reinstate Monica

Answer 1

जवाब हां है, बशर्ते डेटा स्पष्ट स्थिरता आवश्यकताओं को पूरा करे। तर्क सरल है, एक सरल निर्माण पर आधारित है, लेकिन इसके लिए कुछ सेटिंग की आवश्यकता होती है। यह एक सहज रूप से आकर्षक तथ्य के लिए नीचे आता है: पैरामीटर में वृद्धि$a$ एक बीटा में$(a,b)$ वितरण अपने घनत्व (पीडीएफ) के मूल्य को और अधिक बढ़ा देता है $x$ छोटे से $x$; और बढ़ती जा रही है$b$ इसके विपरीत है: छोटा $x$ है, और पीडीएफ का मूल्य बढ़ जाता है।

विवरण का पालन करें।

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इच्छित को दें $q_1$ मात्रात्मक होना $x_1$ और वांछित $q_2$ मात्रात्मक होना $x_2$ साथ में $1 \gt q_2 \gt q_1 \gt 0$ और इसीलिए) $1 \gt x_2 \gt x_1 \gt 0$। फिर अनूठे हैं$a$ तथा $b$ जिसके लिए बीटा$(a,b)$ वितरण में ये मात्राएँ हैं।

इसे प्रदर्शित करने में कठिनाई यह है कि बीटा वितरण में एक पुनर्गणना लगातार स्थिर होती है। परिभाषा याद करें: के लिए$a\gt 0$ तथा $b \gt 0$, बीटा$(a,b)$ वितरण का घनत्व कार्य (PDF) है

$$f(x;a,b) = \frac{1}{B(a,b)} x^{a-1}(1-x)^{b-1}.$$

स्थिरांक स्थिरांक बीटा फ़ंक्शन है

$$B(a,b) = \int_0^1 x^{a-1}(1-x)^{b-1}\,\mathrm{d}x = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.$$

अगर हम अंतर करने की कोशिश करते हैं तो सब कुछ गड़बड़ हो जाता है $f(x;a,b)$ सीधे सम्मान के साथ $a$ तथा $b$, जो प्रदर्शन का प्रयास करने के लिए क्रूर बल तरीका होगा।

बीटा फ़ंक्शन का विश्लेषण करने से बचने का एक तरीका यह है कि क्वांटाइल्स रिश्तेदार क्षेत्र हैं। अर्थात्,

$$q_i = F(x_i;a,b)=\frac{\int_0^{x_i} f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}{\int_0^1 f(x;a,b)\,\mathrm{d}x}$$

के लिये $i=1,2$। यहाँ, उदाहरण के लिए, PDF और संचयी वितरण फ़ंक्शन (CDF) हैं$F$ एक बीटा का$(1.15, 0.57)$ जिसके लिए वितरण $x_1=1/3$ तथा $q_1=1/6$।

घनत्व समारोह $x\to f(x;a,b)$ बाईं ओर स्थित है। $q_1$बाईं ओर वक्र के नीचे का क्षेत्र है$x_1$, वक्र के नीचे कुल क्षेत्र के सापेक्ष लाल रंग में दिखाया गया है। $q_2$ बाईं ओर का क्षेत्र है $x_2$, लाल और नीले क्षेत्रों के योग के बराबर, फिर से कुल क्षेत्र के सापेक्ष । सही पर CDF दिखाता है कि कैसे$(x_1,q_1)$ तथा $(x_2,q_2)$ उस पर दो अलग-अलग बिंदुओं को चिह्नित करें।

इस आंकड़े में, $(x_1,q_1)$ पर तय किया गया था $(1/3,1/6)$, $a$ होने के लिए चुना गया था $1.15$, और फिर का एक मूल्य $b$ जिसके लिए मिला था $(x_1,q_1)$ बीटा पर निहित है$(a,b)$ CDF।

लेम्मा : इस तरह$b$ हमेशा पाया जा सकता है।

विशिष्ट होने के लिए, चलो $(x_1, q_1)$एक बार और सभी के लिए तय हो। (वे उन दृष्टांतों में समान हैं जो अनुसरण करते हैं: तीनों मामलों में, बाईं ओर के सापेक्ष क्षेत्र$x_1$ बराबरी $q_1$।) किसी के लिए $a\gt 0$, लेम्मा का दावा है कि एक अद्वितीय मूल्य है $b$, लिखित $b(a),$ जिसके लिए $x_1$ है $q_1$ बीटा की मात्रा$(a,b(a))$ वितरण।

यह देखने के लिए कि, पहले जैसा ध्यान दें $b$ दृष्टिकोण शून्य, सभी संभावना के मूल्यों के पास ढेर $0$, जहां $F(x_1;a,b)$ दृष्टिकोण $1$। जैसा$b$ अनंतता के करीब पहुंचता है, सभी संभावना के मूल्यों के पास ढेर हो जाता है $1$, जहां $F(x_1;a,b)$ दृष्टिकोण $0$। बीच में, फ़ंक्शन $b\to F(x_1;a,b)$ में सख्ती बढ़ रही है $b$।

यह दावा ज्यामितीय रूप से स्पष्ट है: यह कहने की मात्रा है कि यदि हम वक्र के नीचे बाईं ओर के क्षेत्र को देखते हैं $x\to x^{a-1}(1-x)^{b-1}$ वक्र के तहत कुल क्षेत्र के सापेक्ष और वक्र के तहत सापेक्ष क्षेत्र की तुलना करें$x\to x^{a-1}(1-x)^{b^\prime-1}$ के लिये $b^\prime \gt b$, तो बाद का क्षेत्र अपेक्षाकृत बड़ा है। इन दो कार्यों का अनुपात है$(1-x)^{b^\prime-b}$। यह एक फ़ंक्शन के बराबर है$1$ कब $x=0,$ लगातार गिर रहा है $0$ कब $x=1.$ इसलिए समारोह की ऊंचाइयों $x\to f(x;a,b^\prime)$की ऊँचाई से अपेक्षाकृत बड़े हैं$x\to f(x;a,b)$ के लिये $x$ के बाईं ओर $x_1$ की तुलना में वे कर रहे हैं $x$ के अधिकार के लिए $x_1.$ नतीजतन, बाईं ओर का क्षेत्र$x_1$पूर्व में दाईं ओर के क्षेत्र की तुलना में अपेक्षाकृत बड़ा होना चाहिए$x_1.$ (उदाहरण के लिए, रीमैन योग का उपयोग करके एक कठोर तर्क में अनुवाद करना सीधा है।)

हमने देखा है कि फ़ंक्शन $b\to f(x_1;a,b)$ मूल्यों को सीमित करने के साथ सख्ती से नीरसता बढ़ रही है $0$ तथा $1$ जैसा $b\to 0$ तथा $b\to\infty,$क्रमशः। यह भी (स्पष्ट रूप से) निरंतर है। नतीजतन एक संख्या मौजूद है$b(a)$ कहाँ पे $f(x_1;a,b(a))=q_1$ और यह संख्या अद्वितीय है, लेम्मा साबित करती है।

वही तर्क दिखाता है कि जैसा $b$ बढ़ता है, के बाईं ओर का क्षेत्र $x_2$बढ़ती है। नतीजतन के मूल्यों$f(x_2;a, b(a))$ संख्या के कुछ अंतराल पर सीमा $a$ लगभग प्रगति से $0$ लगभग $\infty.$ की सीमा $f(x_2;a,b(a))$ जैसा $a\to 0$ है $q_1.$

यहाँ एक उदाहरण है जहाँ $a$ इसके करीब है $0$ (यह बराबर है $0.1$)। साथ में$x_1=1/3$ तथा $q_1=1/6$ (जैसा कि पिछले आंकड़े में है) $b(a) \approx 0.02.$ के बीच लगभग कोई क्षेत्र नहीं है $x_1$ तथा $x_2:$

सीडीएफ व्यावहारिक रूप से समतल है $x_1$ तथा $x_2,$ जहां से $q_2$ व्यावहारिक रूप से शीर्ष पर है $q_1.$ के रूप में सीमा में है $a\to 0$, $q_2 \to q_1.$

दूसरे चरम पर, पर्याप्त रूप से बड़े मूल्य $a$ नेतृत्व करने के लिए $F(x_2;a,b(a))$ मनमाने ढंग से पास $1.$ यहाँ एक उदाहरण है $(x_1,q_1)$ पहले जैसा।

यहाँ $a=8$ तथा $b(a)$ लगभग है $10.$ अभी $F(x_2;a,b(a))$ अनिवार्य रूप से है $1:$ के दाईं ओर लगभग कोई क्षेत्र नहीं है $x_2.$

नतीजतन, आप किसी भी का चयन कर सकते हैं $q_2$ के बीच $q_1$ तथा $1$ और समायोजित करें $a$ जब तक $F(x_2;a,a(b))=q_2.$ पहले की तरह, यह $a$अद्वितीय होना चाहिए, QED ।

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Rसमाधान खोजने के लिए वर्किंग कोड बीटा वितरण मापदंडों को निर्धारित करने के लिए पोस्ट किया गया है$\alpha$ तथा $\beta$दो मनमाना बिंदुओं (मात्राओं) से ।

Comments

यह उत्तर दिखाता है कि अगर हमने कोई निश्चित विकल्प चुना है $a$ या $b$हमें एक अद्वितीय संगत मूल्य मिलेगा। उन कार्यों का निर्माण करना संभव होगा जिनमें एक निश्चित क्षेत्र है$[0,x_1]$, $[x_1,x_2]$ तथा $[x_2,1]$। मैं तुरंत नहीं देखता कि यह इस बात की गारंटी क्यों देगा$\alpha$ तथा $\beta$अनोखा है। क्या आप मुझे विस्तृत और प्रबुद्ध करने के लिए तैयार होंगे?

— जन

@ जान बता सकते हैं कि आपके "सेट" से क्या मतलब है $\alpha$ तथा $\beta$? "जो प्रतीकों इस सूत्र में कहीं भी दिखाई नहीं देते।

— whuber