क्या विचलन मानक विचलन की तुलना में अधिक मौलिक अवधारणा है?

Question

पर इस psychometrics वेबसाइट मुझे लगता है कि पढ़ने के लिए

[ए] टा गहरे स्तर का विचलन मानक विचलन की तुलना में अधिक मौलिक अवधारणा है।

साइट वास्तव में आगे यह नहीं बताती है कि विचलन मानक विचलन से अधिक मौलिक क्यों है, लेकिन इसने मुझे याद दिलाया कि मैंने इस साइट पर कुछ इसी तरह की चीजें पढ़ी हैं।

उदाहरण के लिए, इस टिप्पणी में @ kjetil-b-halvorsen लिखते हैं कि "मानक विचलन व्याख्या, रिपोर्टिंग के लिए अच्छा है। सिद्धांत विकसित करने के लिए विचरण बेहतर है"।

मुझे लगता है कि ये दावे जुड़े हुए हैं, लेकिन मैं वास्तव में उन्हें नहीं समझता। मैं समझता हूं कि नमूना प्रसरण का वर्गमूल जनसंख्या मानक विचलन का एक निष्पक्ष अनुमानक नहीं है, लेकिन निश्चित रूप से इससे अधिक होना चाहिए।

शायद इस साइट के लिए "मौलिक" शब्द बहुत अस्पष्ट है। उस स्थिति में, शायद हम अपने प्रश्न का संचालन कर सकते हैं, यह पूछते हुए कि क्या सांख्यिकीय विकास के दृष्टिकोण से मानक विचलन से अधिक महत्वपूर्ण है। क्यों नहीं?

Comments

क्या वे सिर्फ एक ही चीज नहीं हैं? यह 1 की तरह है + 1 2 * 1 के समान है?

— स्मालचेयर

विचरण दूसरा cumulant है, । Cumulants पर विकिपीडिया लेख कैसे प्राकृतिक और महत्वपूर्ण वे कर रहे हैं, न केवल यादृच्छिक परिवर्तनीय के अध्ययन के लिए, लेकिन यह भी भौतिकी और साहचर्य में के साथ किसी को प्रभावित करना चाहिए। मल्टीलाइनरिटी संपत्ति (जो गणना करने के लिए मौलिक है), साथ ही बहुभिन्नरूपी वितरण के लिए क्यूमुलेंट का विस्तार, मानक विचलन द्वारा आनंद नहीं लिया जाता है। $\kappa_2$

— व्हीबर

Answer 1

रॉबर्ट के और बीवाई के उत्तर कहानी का हिस्सा देते हैं (यानी क्षणों को वितरण के मूल गुणों के रूप में माना जाता है, और पारंपरिक रूप से मानक विचलन को दूसरे केंद्रीय क्षण के बजाय अन्य तरीकों से परिभाषित किया जाता है), लेकिन हद यह कि चीजें वास्तव में मौलिक हैं आंशिक रूप से इस बात पर निर्भर करती हैं कि हम शब्द से क्या मतलब है।

उदाहरण के लिए, अगर हमारी रूढ़ियां दूसरे रास्ते पर चली गईं, तो कोई अकल्पनीय समस्या नहीं होगी - सामान्य क्षणों के स्थान पर पारंपरिक रूप से मात्रा के कुछ अन्य अनुक्रम को परिभाषित करने से हमें कोई रोक नहीं सकता है, के लिए पी $E[(X-\mu)^p]^{1/p}$(ध्यान दें कि$p=1,2,3,...$$\mu$दोनों पल अनुक्रम में फिट बैठता है और यह पहले कार्यकाल के रूप में) और फिर क्षणों को परिभाषित करता है - और क्षणों के संबंध में गणना के सभी तरीके - उनके संदर्भ में। ध्यान दें कि इन मात्रा सभी मूल इकाइयों में मापा जाता है, क्षणों (जो कर रहे हैं पर एक फायदा है जो मूल इकाइयों की मई की शक्तियों, और इतना कठिन व्याख्या करने के लिए)। इससे जनसंख्या मानक विचलन परिभाषित मात्रा और भिन्नता के रूप में परिभाषित होगा।$p$

हालांकि, यह पल उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन (या ऊपर परिभाषित नई मात्राओं से संबंधित कुछ समतुल्य) को कम "प्राकृतिक" की तरह बना देगा, जो चीजों को थोड़ा और अजीब बना देगा (लेकिन कुछ सम्मेलनों की तरह थोड़ा सा है)। एमजीएफ के कुछ सुविधाजनक गुण हैं जो दूसरे तरीके से सुविधाजनक नहीं होंगे।

मेरे दिमाग में (लेकिन इससे संबंधित) अधिक बुनियादी, यह है कि विचरण के कई मूल गुण हैं जो कि मानक विचलन के गुणों के रूप में लिखे जाने की तुलना में विचरण के गुणों के रूप में लिखे जाने पर अधिक सुविधाजनक होते हैं (उदाहरण के लिए स्वतंत्र के रूपांतरों का विचरण) रैंडम वैरिएबल वेरिएंस का योग है)।

यह लत एक संपत्ति है जिसे फैलाव के अन्य उपायों द्वारा साझा नहीं किया गया है और इसके कई महत्वपूर्ण परिणाम हैं।

[अन्य सहकर्मियों के बीच समान संबंध हैं, इसलिए यह एक ऐसी भावना है जिसमें हम आमतौर पर क्षणों के संबंध में चीजों को परिभाषित करना चाहते हैं।]

ये सभी कारण यकीनन या तो कन्वेंशन या सुविधा हैं लेकिन कुछ हद तक यह देखने की बात है (उदाहरण के कुछ बिंदुओं से कुछ क्षण बहुत महत्वपूर्ण मात्रा में हैं, अन्य से वे सभी महत्वपूर्ण नहीं हैं)। यह हो सकता है कि "गहरे स्तर पर" बिट का उद्देश्य केजिल के "सिद्धांत विकसित करते समय" से अधिक कुछ भी नहीं है।

मैं केजेटिल की बात से सहमत होगा जो आपने अपने प्रश्न में उठाया था; कुछ हद तक यह जवाब केवल एक हाथ से लहराती चर्चा है।

Comments

मैं कहूंगा कि दोनों एक-दूसरे के बराबर हैं, प्रत्येक का अपना-अपना सेट है।

— JM एक सांख्यिकीविद नहीं है

Answer 2

वितरण के पहले और दूसरे क्षणों में भिन्नता को परिभाषित किया जाता है। इसके विपरीत, मानक विचलन एक पल की तुलना में "मानक" की तरह अधिक है। क्षण एक वितरण के मूलभूत गुण हैं, जबकि मानदंड केवल एक भेद बनाने के तरीके हैं।

Answer 3

विचलन मानक विचलन से अधिक मौलिक है क्योंकि मानक विचलन को 'विचरण के वर्गमूल' के रूप में परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए इसकी परिभाषा पूरी तरह से विचरण पर निर्भर करती है।

दूसरी ओर, वैरिएन को परिभाषित किया गया है - पूरी तरह से स्वतंत्र रूप से - 'एक नमूने और माध्य के बीच चुकता अंतर की अपेक्षा' के रूप में।

Comments

मैं इसे उन तरीकों पर एक रिपोर्ट के रूप में देखता हूं, जिनमें हम (अक्सर) शब्दों का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए शिक्षण में, न कि मौलिक क्या है। विचरण (अभी तक) का उल्लेख किए बिना मानक विचलन को लागू करना पूरी तरह से संभव है और कई ग्रंथों और पाठ्यक्रमों ने ठीक ही किया है, जैसे कि आप पाइथागोरस के प्रमेय के बारे में बात कर सकते हैं बिना चुकता मात्रा के लिए किसी विशेष नाम का उपयोग करने की आवश्यकता के बिना। ऐतिहासिक रूप से, अपने सांख्यिकीय अर्थों में विचरण शब्द मानक विचलन को स्थगित करता है, इसलिए शब्दों का यह रूप कुछ दशकों तक असंभव था।

— निक कॉक्स

मुझे विचलन से पहले एक मानक के रूप में उत्पन्न होने वाले विचलन के बारे में पता चल गया, जबकि ग्लेन की अब हटाई गई टिप्पणी पर प्रतिक्रिया तैयार करने की कोशिश करते समय - मैंने उस समय परिलक्षित किया कि पुराने शब्द को आमतौर पर नए शब्द के संदर्भ में परिभाषित किया गया था नए शब्द के दावे ने उन्हें कमजोर करने के बजाय अधिक मौलिक होने का दावा किया है।

— रॉबर्ट डी ग्रेफ

सभी तरह के स्पष्टीकरण मिल सकते हैं। SD (भूगोलवेत्ताओं के लिए, जिनमें से सभी गणितीय रूप से मजबूत नहीं हैं) के मेरे परिचयात्मक शिक्षण में, मैं शब्द विचलन का उपयोग नहीं करता। मुझे यह इंगित करने के लिए जल्दी है कि एसडी सामान्य (गाऊसी) के वितरण के लिए एक प्राकृतिक पैमाने पर माप है, मतलब फ़ंक्शन के घनत्व और घनत्व समारोह के बीच की दूरी के रूप में। मुझे संदेह है कि छात्रों की तुलना में मेरे अपने मनोरंजन और आनंद के लिए यह अधिक है। '

— निक कॉक्स

Answer 4

यहां दिए गए जवाबों के अलावा, कोई यह बता सकता है कि अगर हम किसी (जैसे सामान्य) आबादी से अनुमान पर विचार करते हैं, तो विचलन मानक विचलन से अधिक 'मौलिक' है। आकार नमूने के लिए$n$$X$$\mathrm{Var}[X] = \sigma^2$$S^2$$\sigma^2$$S$$\sigma$

$$\mathrm{E}[S^2] = \sigma^2\,,\ \mathrm{E}[S]\neq \sigma\,,$$

Comments

$n$$n - 1$। आप ऐसा कर सकते हैं, लेकिन तब संपूर्ण तर्क में परिवर्तनशीलता आ जाती है, कि एक आकलनकर्ता निष्पक्ष होना वास्तव में निष्पक्ष है। इसके अलावा, यहाँ तर्क यह मानने में विवादास्पद है कि निष्पक्ष होना पक्षपाती होना सर्वथा श्रेयस्कर है। अधिकतम संभावना का उपयोग करते हुए, उदाहरण के लिए, जो बहुत से अधिक गहन सिद्धांत के रूप में मानते हैं, निष्पक्ष अनुमानकर्ताओं का उपयोग करते हुए, अक्सर पक्षपाती अनुमानकों की ओर जाता है।

— निक कॉक्स

सच सच। निष्पक्ष हमेशा बेहतर नहीं होता है, मैं कभी भी अन्यथा सुझाव नहीं देना चाहता था। रिकॉर्ड के लिए, मैं यहां सभी के साथ सहमत हूं कि मानक देव के साथ काम करने के लिए कोई गणितीय आपत्ति नहीं होगी। विचरण के बजाय मौलिक अवधारणा के रूप में। सुंदरता देखने वाले की नजर में है। लेकिन क्या glen_b की उपयोगी गुणों के बारे में टिप्पणी है$\mathrm{Var}[]$, उदाहरण के लिए $\mathrm{Var}[\sum_i X_i] = \sum_i \mathrm{Var}[X_i]$ स्वतंत्र के लिए $X_i$? यह सुंदर "प्राकृतिक" प्रतीत होता है।

— StijnDeVuyst

वास्तव में, स्वतंत्र रूपांतरों की संवेदनशीलता एक मौलिक संपत्ति है, लेकिन यह आपका तर्क नहीं है।

— निक कॉक्स

शायद यह दिलचस्प है कि, मतलब के साथ, आप एक विशेष वितरण को निर्दिष्ट किए बिना विचरण के एक निष्पक्ष अनुमानक का निर्माण कर सकते हैं (मानक विचलन के निष्पक्ष अनुमान वितरण-विशिष्ट हैं।)

— स्कॉर्टि - रिंनेट मोनिका