पॉसन पैरामीटर के निष्पक्ष अनुमानक

Question

प्रति दिन दुर्घटनाओं की संख्या पैरामीटर के साथ एक पॉइसन यादृच्छिक चर है $\lambda$, 10 बेतरतीब ढंग से चुने गए दिनों में दुर्घटनाओं की संख्या 1,0,1,1,2,0,2,0,0,0,1 के रूप में देखी गई, एक निष्पक्ष आकलनकर्ता क्या होगा $e^{\lambda}$?

मैंने इस तरह से प्रयास करने की कोशिश की: हम जानते हैं कि $E(\bar{x})=\lambda=0.8$, परंतु $E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$। तब अपेक्षित निष्पक्ष आकलनकर्ता क्या होगा?

Answer 1

अगर $X\sim \text{Pois}(\lambda)$, फिर $P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$, के लिये $k\geq 0$। गणना करना कठिन है

$$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$$ लेकिन गणना करना बहुत आसान है $E[X^{\underline{n}}]$, कहाँ पे $X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$: $$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$$ आप अपने आप से यह साबित कर सकते हैं - यह एक आसान व्यायाम है। इसके अलावा, मैं आपको निम्नलिखित बातों से खुद को साबित करने दूंगा: यदि$X_1,\cdots, X_N$ के रूप में iid हैं $\text{Pois}(\lambda)$, फिर $U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$, इसलिये $$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$$ चलो $Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$। यह इस प्रकार है कि

• $Z_n$आपके मापन के कार्य हैं $X_1$, $\dots$, $X_N$
• $E[Z_n] = \lambda^n$,

जबसे $e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$, हम वह घटा सकते हैं

$$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$$ इसलिए, आपका निष्पक्ष अनुमानक है $W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$, अर्थात, $E[W] = e^\lambda$। हालांकि, गणना करने के लिए$W$, किसी को उस राशि का मूल्यांकन करना चाहिए जो अनंत लगती है, लेकिन ध्यान दें $U\in \mathbb{N}_0$, इसलिये $U^\underline{n} = 0$ के लिये $n>U$। यह इस प्रकार है कि$Z_n = 0$ के लिये $n>U$, इसलिए योग परिमित है।

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हम देख सकते हैं कि इस पद्धति का उपयोग करके, आप किसी भी फ़ंक्शन के लिए निष्पक्ष अनुमानक पा सकते हैं $\lambda$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$।

Answer 2

यह इस प्रकार है कि $Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$। हम अनुमान लगाना चाहते हैं$\theta=e^\lambda$। जैसा कि आप कहते हैं, एक संभावित अनुमानक होगा

$$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$$ का उपयोग कर पल उत्पन्न करने का कार्य $Y$, $$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$$ हम पाते हैं कि $$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$$ इसलिए $\hat\theta$पक्षपाती है। कुछ अनुमान से पता चलता है कि $$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$$ सुधार कारक के उपयुक्त विकल्प के लिए निष्पक्ष हो सकता है $a$। फिर, के mgf का उपयोग कर$Y$ हम पाते हैं कि $$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$$ तो यह निष्पक्ष है अगर $10(e^a - 1) = 1$ जिससे होता है $a=\ln\frac{11}{10}$ तथा $\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$ के एक निष्पक्ष आकलनकर्ता के रूप में $\theta=e^\lambda$।

द्वारा लेहमैन-Scheffé प्रमेय , के बाद से$Y$ के लिए एक पर्याप्त आँकड़ा है $\lambda$अनुमान लगाने वाला $\theta^*$ (का एक समारोह $Y$) के लिए UMVUE है$e^\lambda$।