क्या डोमेन और सीमा के साथ एस-आकार के वक्र के लिए एक सूत्र है [0,1]

Question

मूल रूप से मैं समानता के उपायों को वजन में परिवर्तित करना चाहता हूं जो भविष्यवक्ताओं के रूप में उपयोग किए जाते हैं। समानताएं [0,1] पर होंगी, और मैं [0,1] पर होने वाले भार को भी सीमित कर दूंगा। मुझे एक पैरामीट्रिक फ़ंक्शन चाहिए जो इस मैपिंग को करता है जिसे मैं संभवतः ढाल वंश का उपयोग करके अनुकूलित करूँगा। आवश्यकताएं हैं कि 0 नक्शे से 0 तक, 1 से 1 तक के नक्शे और यह सख्ती से बढ़ रहा है। एक साधारण व्युत्पन्न की भी सराहना की जाती है। अग्रिम में धन्यवाद

संपादित करें: अब तक की प्रतिक्रियाओं के लिए धन्यवाद, वे बहुत उपयोगी हैं। मेरे उद्देश्य को अधिक स्पष्ट करने के लिए, कार्य भविष्यवाणी है। मेरी टिप्पणियों में अनुमान लगाने के लिए एक ही आयाम के साथ अत्यंत विरल वैक्टर हैं। मेरे इनपुट आयामों का उपयोग समानता की गणना करने के लिए किया जाता है। मेरी भविष्यवाणी तब भविष्यवक्ता के लिए अन्य टिप्पणियों के मूल्य का एक भारित योग है जहां वजन समानता का एक कार्य है। मैं अपने वजन को सरलता के लिए [0,1] पर बांध रहा हूं। यह अब स्पष्ट रूप से स्पष्ट है कि मुझे 0 से 0 से 1 के लिए, 1 से 1 के लिए मानचित्र की आवश्यकता क्यों है, और इसके लिए सख्ती से बढ़ रही है। जैसा कि व्हीबर ने f (x) = x का उपयोग करके बताया है कि ये आवश्यकताएं पूरी करती हैं और वास्तव में बहुत अच्छी तरह से काम करती हैं। हालांकि इसका अनुकूलन करने के लिए कोई पैरामीटर नहीं है। मेरे पास बहुत सारे अवलोकन हैं इसलिए मैं बहुत सारे मापदंडों को सहन कर सकता हूं। मैं ग्रेडिंग वंश को कोडित करूँगा, इसलिए एक साधारण व्युत्पन्न के लिए मेरी प्राथमिकता।

उदाहरण के लिए, दी गई प्रतिक्रियाओं में से अधिकांश सममित हैं। 5। पैरामीटर को बाएं / दाएं स्थानांतरित करने के लिए उपयोगी होगा (जैसे कि बीटा वितरण के साथ)

Comments

$f(x)=x$ आपकी प्रत्येक आवश्यकता को पूरा करता है।

— whuber

मैंने बाएं-दाएं पारी को नियंत्रित करने के बारे में आपके संपादन के जवाब में थोड़ा जोड़ा है। मेरी तस्वीर में सभी तीन उदाहरण परिवारों को नियंत्रित करने का एक सीधा तरीका है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 1

यहां एक है:

$y=\frac{1}{1+\left ( \frac{x}{1-x} \right )^{-\beta}}$

जहां है$\beta$$>0$

] २

Comments

क्या यह के की तरह एक मानक कार्य है ? मुझे वेड में इसे पहचानने की दिलचस्पी है लेकिन मैं नहीं कर पाया। क्या आप कृपया एक संदर्भ दे सकते हैं? $tanh$$sin$

— डार्कमर

डार्क डार्कमोर, मुझे "व्युत्क्रम लॉगिट फ़ंक्शन" के साथ खेलकर यह बराबरी मिली। आप देख सकते हैं कि यह y = उलटा logit (x) = 1 / (1 + e ^ -x) जैसा दिखता है क्योंकि logit नक्शे (0,1) imgur.com/a/H0kGF

— इसम हुडा

आप समायोजन का एक अतिरिक्त स्तर जोड़ सकते हैं ताकि आप उस स्थिति को ट्यून कर सकें जिस पर y = 1 / (1+ (x ^ r / (1-x ^ r)) ^ - b का उपयोग करके फ़ंक्शन .5 के बराबर है। । फिर, x0 सेट r = -log (2) / लॉग (x0) पर y = .5 प्राप्त करने के लिए। या, यदि आप यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि y = k कुछ k के लिए 0 और 1 के बीच x = x0 पर तो r = -log ((1 / k - 1) ^ ^ (1 / b) +1) / log (x0) सेट करें

— wmsmith

Answer 2

जैसा कि पहले ही @whuber द्वारा फंक्शन बताई गई तीन आवश्यकताओं को पूरा करता है, जिसका आपने उल्लेख किया है (यानी 0 मैप्स टू 0, 1 मैप्स टू 1 और फंक्शन सख्ती से बढ़ रहा है)। अपने प्रश्न के शीर्षक में, आप संकेत देते हैं कि आप एस-आकार के होने के नाते भी कार्य में रुचि रखते हैं, जैसा कि सिगमॉइड / लॉजिक वक्र में है। क्या ये सही है? उस मामले में, आपको निश्चित रूप से निम्नलिखित लॉजिस्टिक फ़ंक्शन का प्रयास करना चाहिए जो आपके द्वारा निर्दिष्ट सभी 4 मानदंडों को पूरा करेगा: ।$f(x)=x$

$$\frac{1}{1+e^{-k(x-0.5)}}$$

इस समीकरण में अपने वक्र के ढलान का नियंत्रण रहेगा। बदलने से आपको यह नियंत्रित करने की अनुमति मिलेगी कि क्रमशः और 0 और 1 के कितने पास हैं। उदाहरण के लिए , और ।$k$$k$$f(0)$$f(1)$$k=20$$f(0)=4.539787e-05$$f(1)=0.9999546$

इस फ़ंक्शन की व्युत्पत्ति आसानी से इस प्रकार की गई है: इस फ़ंक्शन की और जानकारी https://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_function पर देखें

$$\frac{ke^{-k(x-0.5)}}{(1+e^{-k(x-0.5)})^2}$$

Comments

यह फ़ंक्शन 1 -> 1. वास्तव में x -> - के रूप में f -> 1 को मैप नहीं करता है। K पर निर्भर करता है x = 1 पर f का मान काफी छोटा हो सकता है, लेकिन यह कभी भी ठीक नहीं होगा 0. वास्तव में, यह ई ^ का उपयोग करने का मुख्य कारण है ... हर में, यानी ताकि संबंधित डोमेन है [0,1] के बजाय [0, ∞)।

— wmsmith

Answer 3

मुझे आवश्यकताओं के अनुरूप सबसे सामान्य समाधान की पेशकश करें: जो आपको चुनने और अनुकूलन करने के लिए सबसे अधिक लचीलापन देगा।

हम "एस-आकार" को एक नीरस रूप से बढ़ते हुए वक्र के रूप में व्याख्या कर सकते हैं (क्योंकि परिवर्तन एक-से-एक होना चाहिए) जिसमें एक भाग ऊपर की ओर और दूसरा भाग नीचे की ओर अवतल हो। हम बाएं आधे अवतल को बनाने पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं, क्योंकि अन्य प्रकार (बाएं आधे अवतल ऊपर के साथ) इन परिवर्तनों को प्राप्त करने के माध्यम से प्राप्त किया जाता है।

चूंकि परिवर्तन को अलग माना जाता है, इसलिए इसे बाएं आधे में घटते हुए और दाएं आधे में एक व्युत्पन्न व्युत्पन्न होना चाहिए । भले ही, व्युत्पन्न गैर-संवेदनशील होना चाहिए और एक पृथक बिंदु पर शून्य हो सकता है (यदि सभी पर: व्युत्पन्न का न्यूनतम मूल्य परिवर्तन का कम से कम ढलान देता है।)$f$$f^\prime$

यह आवश्यक नहीं है कि व्युत्पन्न भिन्न हो, लेकिन एक व्यावहारिक बात के रूप में हम मान सकते हैं कि यह व्युत्पन्न साथ लगभग हर जगह भिन्न है । $f^{\prime\prime}$

यह दूसरा व्युत्पन्न व्यावहारिक रूप से कुछ भी कर सकता है : बस हमें इसकी आवश्यकता है

• यह पूर्णांक है,

• कुछ बाएं-बाएं अंतराल , और में सभी मूल्यों के लिए शून्य से कम या बराबर है$[0, k)$

• दाहिने हाथ के अंतराल में सभी मूल्यों के लिए शून्य से अधिक या बराबर है ।$(k, 1]$

ऐसे फ़ंक्शंस (और उनके व्युत्क्रम) सभी समाधानों के सेट को मापते हैं। $f^{\prime\prime}$ (कुछ अतिरेक है: इसे नीचे वर्णित अंतिम सामान्यीकरण चरण द्वारा ध्यान दिया जाता है।)

पथरी के मौलिक सिद्धांत हमें ऐसे किसी भी विनिर्देशन से को पुनर्प्राप्त करने में सक्षम बनाते हैं । अर्थात्,$f$

$$f^\prime(x) = \int_0^x f^{\prime\prime}(t) dt$$

तथा

$$f(x) = \int_0^x f^\prime(t) dt.$$

पर स्थितियां गारंटी देती हैं कि अपने न्यूनतर से कुछ अधिकतम से एकात्मक रूप से उगता । अंत में, द्वारा पूर्ववर्ती अभिन्न के मूल्यों को विभाजित करके को सामान्य करें ।$f^{\prime\prime}$$f$$f(0)$$f(1) = C$$f$$C$

---

यहाँ एक चित्रण है जो दूसरे व्युत्पन्न के लिए एक यादृच्छिक चलने के संस्करण के साथ शुरू होता है। इसमें, डेरिवेटिव को सामान्य नहीं किया गया है, लेकिन परिवर्तन किया गया है।$f$

इस दृष्टिकोण को लागू करने के लिए, आप लिए एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के साथ शुरू कर सकते हैं , शायद मापदंडों की एक सीमित संख्या से भिन्न। आप इसे अपने ग्राफ के साथ कुछ बिंदु देकर और उनके बीच में प्रक्षेपित करके भी निर्दिष्ट कर सकते हैं - बशर्ते कि प्रक्षेपक मानों की नकारात्मकता का सम्मान करता है और सकारात्मकता पर । उत्तरार्द्ध विधि है। चित्रण उत्पन्न करने के लिए। संबंधित कोड (नीचे) गणना का विवरण प्रदान करता है।$f^{\prime\prime}$$[0,k)$$(k,1]$R

यह दृष्टिकोण आपको अपनी पसंद के किसी भी परिवर्तन को डिजाइन करने में सक्षम बनाता है। आप S- वक्र को स्केच करके शुरू कर सकते हैं, इसके (सापेक्ष) ढलानों का अनुमान लगाते हुए और उसकी ढलानों का अनुमान लगा सकते हैं। उस बाद की तस्वीर से मिलान करने के लिए कुछ निर्दिष्ट करें , फिर Prime की गणना करें और फिर ।$f^\prime$$f^{\prime\prime}$$f^\prime$$f$

ध्यान दें कि जो पहले अवतल होते हैं और फिर अवतल में शुरू में को नकार कर भी प्राप्त किया जा सकता है । एस-आकार का वक्र बनाने के लिए महत्वपूर्ण स्थिति यह है कि (माप शून्य के सेट पर संभावित भ्रमण के अलावा) वास्तव में एक बार में शून्य को पार कर सकता है ।$f$$f^{\prime\prime}$$f^{\prime\prime}$

संयोग से, समाधान उत्पन्न होता है लगभग हर जगह, स्थिर और सकारात्मक बनाकर , whence रैखिक है; सामान्यीकरण ढलान और अवरोधन । ( स्थिर और नकारात्मक बनाना समाधान उत्पन्न करता है ।)$f(x)=x$$f^{\prime\prime}(x)=0$$f^\prime$$f$$1$$0$$f^\prime$$f(x)=1-x$

n <- 51                      # Number of interpolation points
k.1 <- floor(n * 2/3)        # Width of the left-hand interval
k.2 <- n - k.1               # ............ right-hand interval
x <- seq(0, 1, length.out=n) # x coordinates
set.seed(17)

# Generate random values of the second derivative that are first negative,
# then positive.  Modify to suit.
y.2 <- (c(runif(k.1, -1, 0), 0.5*runif(k.2, 0, 1))) * abs(cos(3*pi * x)) + 
  c(rep(-.1, k.1), rep(.5,k.2))

# Recover the first derivative and then the transformation.  Control the 
# minimum slope of the transformation.
y.1 <- cumsum(y.2)
y.1 <- y.1 - min(y.1) + 0.005 * diff(range(y.1))
y <- cumsum(y.1)
y <- (y - y[1]) / (y[n] - y[1]) # Normalize the transformation

#
# Plot the graphs.
par(mfrow=c(1,3))
plot(x, y.2, type="l", bty="n", main="Second derivative")
points(x, y.2, pch=20, cex=0.5)
abline(h=0, col="Red", lty=3)
plot(x, y.1, type="l", bty="n", lwd=2, main="First derivative")
abline(h=0, col="Red", lty=3)
plot(x, y, type="l", lwd=2, main="Transformation")

Answer 4

इसके लिए आप जो उपयोग करने का प्रयास कर रहे हैं वह मेरे लिए विशेष रूप से स्पष्ट नहीं है इसलिए मैं यह नहीं कह सकता कि क्या यह करने के लिए समझ में आता है लेकिन आपके सभी मानदंडों को पूरा करना काफी तुच्छ लगता है।

• s- आकार का वक्र

• पैरामीट्रिक फ़ंक्शन

• 0 से 0 तक के नक्शे, 1 से 1 तक के नक्शे, सख्ती से बढ़ते हुए

• सरल व्युत्पन्न

तो क्यों न आप किसी भी सुविधाजनक विशिष्ट परिवार को लगातार अनिमॉडल * डिस्ट्रीब्यूशन पर ले लें [0,1] जिसका पीडीएफ "सरल" है? ऐसा लगता है कि आप वहां जो भी सूचीबद्ध करते हैं, उसके हर हिस्से को पूरा करते हैं।

* (जिसका मोड एंडपॉइंट से दूर होता है)

• एस के आकार का वक्र - असमानता द्वारा गारंटी (मोड के साथ समापन बिंदु पर नहीं)

• पैरामीट्रिक - किसी भी विशिष्ट परिवार को देकर जिसके पास पैरामीटर हैं

• 0 से 0 तक के नक्शे, 1 से 1 के नक्शे में सख्ती बढ़ रही है - यही है [0,1] पर वितरण कार्य; आपको बस घनत्व की आवश्यकता है> 0 में (0,1)

• सरल व्युत्पन्न - वह पीडीएफ है, इसलिए यदि आप जो भी मानदंड के अनुसार पीडीएफ "सरल" हैं, तो आप कर रहे हैं।

इनकी एक अनंत संख्या है (जैसा कि एलेक्स आर ने कहा है)। वह जिस बीटा का उल्लेख करता है वह एक स्पष्ट है, लेकिन cdf अधूरा बीटा फ़ंक्शन है, इसलिए आपको मूल्यांकन करने के लिए कुछ चाहिए होगा --- यह कई पैकेजों में एक मानक फ़ंक्शन है (लगभग सभी सभ्य आँकड़े पैकेजों सहित) इसलिए मुझे संदेह है कि होगा मुश्किल हो सकता है। हालांकि ध्यान दें कि सभी बिट्स अनइमोडल नहीं होते हैं (मोड अंत में नहीं होते हैं), इसलिए परिवार भी सीडीएफ को शामिल करता है जो "आकार" नहीं हैं।

यहाँ तीन साधारण परिवारों की तस्वीरें हैं:

कई अन्य विकल्प हैं और नए आसानी से बनाए जा सकते हैं।

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प्रश्न को संपादित करने के जवाब में:

ध्यान दें कि तीनों परिवारों ने त्रिकोणीय वितरण के लिए बाएं-दाएं पारियों (i) को प्राप्त करने के लिए एक सरल तरीका के चित्र , पैरामीटर सीधे वक्र को बाएं या दाएं ले जाता है (यानी विषमता की डिग्री को नियंत्रित करता है, सममित मामला है); Logitnormal के लिए पैरामीटर विषमता को नियंत्रित करता है; बीटा डिस्ट्रीब्यूशन के लिए, का चिह्न (समकक्ष, ) का इसे नियंत्रित करता है।$c=\frac12$$\mu$${\alpha-\beta}$$\frac{\alpha}{\alpha+\beta}-\frac12$