क्यों निरंतरता सुधार (कहते हैं, द्विपद वितरण के लिए सामान्य सन्निकटन) काम करता है?

Question

मैं बेहतर तरीके से समझना चाहता हूं कि सामान्य सन्निकटन के लिए द्विपद वितरण में निरंतरता सुधार कैसे हुआ।

यह तय करने के लिए किस विधि का उपयोग किया गया था कि हमें 1/2 (अन्य संख्या क्यों नहीं?) जोड़ना चाहिए। किसी भी स्पष्टीकरण (या सुझाव पढ़ने के लिए एक लिंक, के अलावा अन्य इस , की सराहना की है।)

Answer 1

1. वास्तव में यह हमेशा "काम" नहीं करता है (हमेशा किसी भी पर सामान्य द्वारा द्विपद cdf के सन्निकटन में सुधार करने के अर्थ में $x$)। यदि द्विपद $p$ 0.5 है, तो मुझे लगता है कि यह हमेशा मदद करता है, शायद सबसे चरम पूंछ के लिए छोड़कर। यदि $p$ 0.5 से बहुत दूर नहीं है, तो बड़े $n$ यह आमतौर पर सुदूर पूंछ को छोड़कर बहुत अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन यदि $p$ 0 या 1 के पास है , तो यह बिल्कुल भी मदद नहीं कर सकता है (बिंदु 6. नीचे देखें)

2. एक बात का ध्यान रखें (चित्रण के बावजूद लगभग हमेशा pmfs और pdfs को शामिल करना) यह है कि जिस चीज़ को हम अनुमानित करने की कोशिश कर रहे हैं वह सीएफडी है। यह विचार करने के लिए उपयोगी हो सकता है कि द्विपद की cdf के साथ क्या हो रहा है और सामान्य अनुमान लगा रहा है (जैसे यहाँ $n=20,p=0.5$ ):

   

   सीमा में एक मानकीकृत द्विपद की cdf एक मानक सामान्य पर जाएगी (ध्यान दें कि मानकीकरण x- अक्ष पर स्केल को प्रभावित करता है लेकिन y- अक्ष को नहीं); तेजी से बड़े $n$ द्विपद cdf की छलांग के रास्ते के साथ सामान्य cdf को अधिक समान रूप से फैलाया जाता है।

   आइए ज़ूम करें और इसे उपरोक्त सरल उदाहरण में देखें:

   

   ध्यान दें कि चूंकि अनुमानित सामान्य ऊर्ध्वाधर ऊर्ध्वाधर कूदता है * के बीच से गुजरता है, जबकि सीमा में सामान्य सीएफडी स्थानीय रूप से लगभग रैखिक है और (जैसा कि प्रत्येक कूद के शीर्ष पर द्विपद cdf की प्रगति है); परिणामस्वरूप cdf x + 1 के पास क्षैतिज चरणों को पार करता है । यदि आपपूर्णांकxपरद्विपदीय cdf,F(x)के मान को अनुमानित करना चाहते हैं, तो सामान्य cdfx+1 केपास उस ऊँचाई तक पहुँच जाता है$x+\frac{_1}{^2}$$F(x)$$x$ ।$x+\frac{_1}{^2}$

   * यदि हम मतलब-ठीक किया Bernoulli चर के बेरी-Esseen लागू होते हैं, बेरी-Esseen सीमा बहुत कम लचीलेपन की तुलना में लिए अनुमति देते हैं जब के पास है $p$ औरxμ केपास है- सामान्य सीएफडी को वहां की छलांग के बीच में यथोचित पास करना होगा क्योंकि अन्यथा cdfs में पूर्ण अंतर एक तरफ या दूसरे पर बंधे सबसे अच्छे बेरी-एसेन से अधिक होगा। यह बदले मेंx+1से कितनी दूर से संबंधित है$\frac12$$x$$\mu$ सामान्य cdf द्विपद cdf के चरण-कार्य के क्षैतिज भाग को पार कर सकता है।$x+\frac{_1}{^2}$

3. प्रेरणा पर विस्तार करते हुए कि 1 में। आइए विचार करें कि हम बाहर काम करने के लिए द्विपदीय सीएफडी के लिए एक सामान्य सन्निकटन का उपयोग कैसे करेंगे । जैसे n = 20 , p = 0.5 , k = 9 (ऊपर दूसरा आरेख देखें)। एक ही मतलब और एसडी के साथ हमारे सामान्य तो है एन ( 10 , ( $P(X=k)$$n=20, p=0.5, k=9$। ध्यान दें कि हम लगभग 8.5 और 9.5 के बीच सामान्य cdf में बदलाव से 9 पर cdf में जंप करेंगे।$N(10,(\sqrt{5})^2)$

4. $p(x)$$x$$p(x)$

   

   बॉक्स के नीचे का क्षेत्र बीच सामान्य द्वारा अनुमानित है$x-\frac12$$x+\frac12$$\frac12$

   एक सामान्य व्युत्पत्ति प्राप्त करने के लिए (हालांकि उदाहरण के लिए यहाँ या यहाँ देखें) - डी Moivre की तर्ज पर एक व्युत्पत्ति का उपयोग करके बीजगणितीय रूप से इस दृष्टिकोण को प्रेरित कर सकते हैं (हालांकि यह सीधे डी Moivre के दृष्टिकोण से कुछ अधिक प्रदर्शन किया जा सकता है)।

   ${n \choose x}$$\log(1+x)\approx x-x^2/2$

   $$P(X=x)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi np(1-p)}}\exp(-\frac{(x-np)^2}{2np(1-p)})$$

   $\mu=np$$\sigma^2 = np(1-p)$$x$$x$

   $Y\sim N(np,np(1-p))$$F(y+\frac12)-F(y-\frac12) = \int_{y-\frac12}^{y+\frac12}f_Y(u)du\approx f_Y(y)$$f_Y(x)\approx P(X=x)$$P(X=x)\approx F(x+\frac12)-F(x-\frac12)$

   [एक समान "मिडपॉइंट नियम" प्रकार का सन्निकटन एक निरंतरता सुधार का उपयोग करके घनत्वों द्वारा निरंतर पीएमएफ के अन्य ऐसे अनुमानों को प्रेरित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, लेकिन किसी को हमेशा ध्यान देना चाहिए कि वह उस सन्निकटन को लागू करने के लिए कहां समझ में आता है]

5. ऐतिहासिक नोट: निरंतरता सुधार 1838 में ऑगस्टस डी मॉर्गन के साथ उत्पन्न हुआ प्रतीत होता है, डी मोइवर के सन्निकटन में सुधार के रूप में। उदाहरण के लिए देखें, हल्द (2007) [1]। हल्द के वर्णन से, उनका तर्क आइटम 4 के ऊपर था। ऊपर (यानी अनिवार्य रूप से एक्स-मूल्य पर केंद्रित चौड़ाई 1 के "ब्लॉक" के साथ संभावना स्पाइक को बदलकर पीएमएफ को अनुमानित करने की कोशिश के संदर्भ में)।

6. ऐसी स्थिति का चित्रण जहां निरंतरता सुधार मदद नहीं करता है:

   

   $X$$Y$$F_X(x)\approx F_Y(x+\frac12)$$p(x) \approx F_Y(x+\frac12)-F_Y(x-\frac12)$$F_X(x)\approx F_Y(x)$$p(x) \approx F_Y(x)-F_Y(x-1)$

   [१]: हल्द, एंडर्स (२०० 2007),
   "ए हिस्ट्री ऑफ़ पैरामीट्रिक स्टैटिस्टिकल इन्वेंशन फ्रॉम बर्नौली टू फिशर, १ Fish१३-१९ ३५", सोसाइटी
   एंड स्टडीज़ इन द हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स एंड फिजिकल साइंसेज,
   स्प्रिंगर-वेरांग न्यू यॉर्क

Answer 2

मेरा मानना ​​है कि कारक इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि हम एक निरंतर वितरण की तुलना असतत से कर रहे हैं। इस प्रकार हमें निरंतर वितरण में प्रत्येक असतत मूल्य का अनुवाद करने की आवश्यकता है। हम एक और मूल्य चुन सकते हैं, हालांकि यह दिए गए पूर्णांक के बारे में असंतुलित होगा। (यानी आप 6 से अधिक 7 की ओर होने की संभावना को 5 से अधिक करेंगे।)

मुझे यहां एक उपयोगी लिंक मिला: लिंक